北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明及其应用知识点总结+单元测试题以及答案

三角形的证明及其应用知识点第1节：三角形内角和定理（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。（2）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。（3）全等三角形的对应边相等，对应角相等。。（4）外角定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角。（5）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。。（6）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。。（7）多边形的内角和定理：180°·（n－2）。（8）多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角；在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。（9）多边形的外角和定理：360°。第2节：等腰三角形（1）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。。（3）等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角等于60°。（4）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。（6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。第3节：直角等三角形（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）有两个角互余的三角形是直角三角形。（4）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（5）如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（6）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为逆命题。（7）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。第4节：线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.第5节角平分线（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（3）三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。单元测试题时间：40分钟满分：100分一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.已知△ABC,AB=c,AC=b,BC=a,则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 ()A.a∶b∶c=3∶4∶5B.∠A+∠B=∠CC.a=2,b=2,c=3D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶32.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ()A.32 

B.2

C.3

D.3.下列命题的逆命题是真命题的是 ()A.如果两个角是直角,那么它们相等B.若a2>b2,则a>bC.两直线平行,内错角相等D.对顶角相等4.如图,AB⊥AC,CD⊥BD,若直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DCB全等,则可以添加的条件是 ()A.AE=CE

B.AB=CDC.∠A=∠D

D.BE=CE5.如图,一张多边形纸片的内角和为1620°,按图示的剪法剪去一个内角后,所得新多边形的边数为() A.12

B.11

C.10

D.96.如图,将一个含30°角的直角三角尺OAB的斜边OA放在x轴上,O为坐标原点,观察尺规作图的痕迹,若点A的坐标为(-2,0),则点C的横坐标为 () A.-3

B.-1

C.1

D.37.如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB的长为12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢 ()A.(24-123)m

B.(24-83)mC.(24-63)m

D.(24-43)m8.如图,已知△ABC,∠BAC>90°,AC>AB,DE垂直平分AC,垂足为D,交BC于点E,点F在BC上,且DF=DC,连接AE,AF.下面四个结论中,正确的是 ()A.DF=AE

B.AF=BFC.∠FAE=∠C

D.∠AFD=∠AED二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)9.用反证法证明“同位角不相等,两直线不平行”时应先假设_____________________.10.若直角三角形的两个锐角的比是2∶1,斜边长为8,则较短的直角边长为_________.11.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于 BE的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF=__________°.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D为AB边上一动点(不与点A,B重合),当△BCD为等腰三角形时,∠ACD的度数是______________.三、解答题(共40分)13.(10分)如图,在△ABC中,∠B=40°,AE是∠BAC的平分线,外角∠ACD=110°,求∠AEC的度数.14.(14分)如图,已知直线l1∥l2.(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.15.(16分)【探究】(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.【运用】(2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=23.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.答案1.C2.C3.C4.B5.A6.A7.D8.D9.同位角不相等,两直线平行10.411.1012.30°或15°13.解析∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠B+∠BAC,∵∠B=40°,∠ACD=110°,∴∠BAC=70°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= ∠BAC=35°,∵∠AEC是△ABE的外角,∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°.14.解析

(1)如图1,直线l即为所求作的直线.(2)①当∠BAC=90°,AB=AC时,如图2,已知l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,根据图形的对称性可知BC=2,∴AB=AC=2,∴S△ABC=12②当∠ABC=90°,BA=BC时,如图3,分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足分别为M,N,∴∠AMB=∠BNC=90°,∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,∴CN=2,AM=1,∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,∴∠MAB=∠NBC,∴△AMB≌△BNC(AAS),∴BM=CN=2,在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,∴AB=5,∴S△ABC=12AB·BC=2.5③当∠ACB=90°,CA=CB时,如图4,同②可得S△ABC=2.5.综上所述,△ABC的面积为1或2.5.15.解析

(1)①CE+CD=CA.理由如下:∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中, ,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD,∵BD+CD=BC,∴CE+CD=CA.②CA+CD=CE.理由:∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴CE=BD,∵CB+CD=BD,∴CA+CD=CE.(2)BD的长为6-3或6+23.详解:过E作EH∥AB,交BC于H,易知△EHC为等边三角形.分情况讨论:①当点D在点H左侧时,如图1,∵△EHC,△DEF为等边三角形,

∴ED=EF,EH=EC,∠DEF=∠HEC=60°,∴∠DEF-∠HEF=∠HEC-∠HEF,∴∠DEH=∠FEC,∴△EDH≌△EFC(SAS),∴∠ECF=∠EHD=120°,此时△CEF不可能为直角三角形.②当点D在点H右侧,且在线段CH上时,如图2,∵△EHC,△DEF为等边三角形,∴ED=EF,EH=EC,∠DEF=∠HEC=60°,∴∠DEF-∠DEC=∠HEC-∠DEC,∴∠DEH=∠FEC,∴△EDH≌△EFC(SAS),∴∠FCE=