安徽省合肥市第三十中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省合肥三十中九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.二次函数y=3（x-1）2的顶点坐标是（）A.（0，-1） B.（0，1） C.（-1，0） D.（1，0）3.关于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）A.图象位于第一、三象限

B.当x＞0时，y随x的增大而增大

C.图象与坐标轴无交点

D.若点（a,b）在该函数图象上，则点（-a,-b）也在该函数图象上4.如图，DE∥BC，且EC：BD=3：4，AD=8，则AE的长为（）A.3

B.4

C.6

D.95.在Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanB=（）A.1 B. C. D.26.已知△ABC∽△A′B′C′，若△ABC的三边长分别为1，，，△A′B′C′的其中两边长分别为和.则△A′B′C′的第三边长为（）A. B.2 C. D.7.如图，∠C=15°，且，则∠E的度数为（）A.30°

B.35°

C.40°

D.45°8.如图，已知α，β均为锐角，且tanβ=3，请计算：α+β=（）A.45°

B.90°

C.120°

D.135°9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③0＞c＞-1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为.其中正确的结论个数有（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3，点C为平面内一动点，，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：AM=1：2，则OM的最大值为（）A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知，则=

.12.若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为

.13.已知点C、点D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=2，则CD=

（结果保留根号）.14.已知二次函数y=ax2-4ax+6（a＞0）

（1）该二次函数图象的对称轴为直线

；

（2）若△ABC的顶点坐标为A（1，3）、B（2，5）、C（3，3），且此函数图象与△ABC只有两个交点，则a的取值范围是

.三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

计算：2cos30°-sin45°cos45°+|tan60°-2|.16.(本小题8分)

已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点（-3，4）和（1，-4）.

（1）求b,c的值；

（2）若点A（-1，m）在函数y=-2x2+bx+c的图象上，求m的值.17.(本小题8分)

《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，求直径AB的长.

18.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1.其中点B坐标为（4，2）.

（1）画出△DEF；

（2）点E坐标为______；

（3）线段AC上一点（x,y）经过变换后对应的点的坐标为______.19.(本小题10分)

如图，已知反比例函数与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，直线AB交x轴于点M.

（1）求一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围.20.(本小题10分)

【材料阅读】：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射.我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即n=，已知光线从空气进入水中时的折射半为.【问题解答】：

如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线，测得折射角∠NOQ=37°，NQ=12cm.若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

（1）sin∠CON=______；

（2）求CQ的长.（结果精确到0.1cm）21.(本小题12分)

如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD=CE.

（1）求证：DC与⊙O相切.

（2）若AB=10，tan∠BDC=，求CE的长.22.(本小题12分)

如图1，在矩形ABCD中，点E为CD的中点.点F是BC上一点，连接BE，AF，且BE⊥AF于点G.

（1）求证：△ABF∽△BCE；

（2）若BG=1，，求GE的长.

（3）在（2）的条件下，如图2，连接DG，求证：∠BAF=∠DGE.

23.(本小题14分)

已知在平面直角坐标系中有抛物线y=mx2-x（m≠0）.

（1）若此抛物线对称轴为直线x=1，求m的值；

（2）另有直线y=-x+m与此抛物线交于A，B两点（点A在点B的左边），点C为抛物线与y轴的交点.

①在△ABC中，当∠ABC为直角时，求m的值；

②当m为何值时，△ABC的面积为2.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】2-4

14.【答案】x=2或a=1，

15.【答案】．

16.【答案】

m=8

17.【答案】26寸．

18.【答案】作图见解析过程；

（2，1）

．

19.【答案】y=-x+2；

6；

-2＜x＜0或x＞4．

20.【答案】

9.3cm

21.【答案】（1）证明：连接OD，

∵CE⊥AC，

∴∠ACE=90°，

∴∠A+∠E=90°，

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE，

∴∠A+∠CDE=90°，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC与⊙O相切；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

又∵∠BDC+∠ODB=90°，

∴∠BDC=∠A，

∵∠BCD=∠ACD，

∴△BCD∽△DCA，

∴，

∵tan∠BDC=tan∠A=，

设CB=x，则CD=2x，

∴CD2=CB•CA，

∴（2x）2=x•（x+10），

∴x=，

∴CD=CE=．

22.【答案】证明：在矩形ABCD中，∠ABF=∠BCE=90°，

∵BE⊥AF，

∴∠BGF=90°，

∴∠BFG=∠BEC=90°-∠FBG，

∴△ABF∽△BCE

GE=4

证明：如图，过D作DH⊥AG于点H，

则∠BAF=∠ADH=90°-∠DAH，

∴sin∠BAF=sin