人教版九年级上册数学：第二十二章 二次函数 讲义

人教版九年级上册数学：第二十二章二次函数讲义第01讲二次函数(2个知识点+3个考点+易错分析) 模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理(吃透教材) 3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量列二次函数表达式概念1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a、a≠0)也叫做二次函数的一般形式.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.【例1-1】下列函数中是二次函数的是()【例1-2】已知y=mx"-¹+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B【变式1-3】下列式子哪些是二次函数?如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项.C.y=x²-1【变式2-2】一件商品原价为50元，连续两次降价，降价率均为x,两次降价后该商品的售价价格为Y元，则Y与x的函数关系式为()A.y=50(1-x)B.y=50(1-x)²C.y=50-x²D.y=50-2x【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s与x之间的关系表达式为_·导致错误【例3】若y=(a+1)xla+31-x+3是关于x的二次函数，则a的值是()考点1:根据二次函数的概念确定字母取值A.±2B.1C.-22.若函数y=(m-3)x"²-7-x+3是关于x的二次函数，则m=3.已知函数y=(m-1)x”2²+1+5x-3是二次函数，求m的值.4.若y=(m-1)x”²+2m-¹+3.(1)m取什么值时，此函数是二次函数?考点2:根据实际问题列二次函数的表达式5.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个.设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是()A.y=(x-35)(400-5x)B.y=(x-35)(600-10x)C.y=(x+5)(200-5x)D.y6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x(x>0),设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为_·7.如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm²)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式.8.某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?9.某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m.(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体的表面积S(m²)的表达式是什么?10.如图，∠A=90°,AB=AC,BC=20,四边形EFGH是ABC的内接矩形，如果EF的长为x,矩形EFGH11.如图，在Rt△ABC中，∠B=9A.y=x²B.y=25-x²C.y=x²-25二、填空题7.(22-23九年级上·安徽阜阳·期中)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数表达式为8.(23-24九年级上·湖北荆州·期中)正方形的边长是1,若边长增加x,则面积增加y,y与x之间的关系三、解答题9.把二次函数y=(2x+3)(1-x)-3化为y=ax²+bx+c的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项.围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为Sm².12.(22-23九年级上·河北张家口·期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=30cm,∠A=60°,动点D从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是ts,过点D作DF⊥BC于点F,连接EF.(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多第02讲二次函数y=ax与y=ax²+k的图象和性质(6个知识点+12个考点) 1.会用描点法画出y=ax²,y=ax²+k的图象.2.掌握形如y=ax²,y=ax²+k的二次函数图象的性质，并会应用.》模块一思维导图串知识的图象和性质y=ax²的性质y=ax²的实际应用的图象和性质抛物线的增减性图象与性质的实际应用模块二基础知识全梳理知识点1:二次函数y=ax²(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax²(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x²关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x²的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x²有最低点，所以函数y=x²有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2:二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数y=x²的图像.(1)列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y,如下表所示：X…012……41014…如图1所示.(3)连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数y=x²的图像，如图2所示.二次函数y=ax²(a≠0)的图象.用描点法画二次函数y=ax²(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴.y=ax²(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax²(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.知识点3:二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质，见下表：函数图象开口方向对称轴函数变化向上增大而增大；增大而减小.当x=0时，向下增大而减小；增大而增大.当x=0时，顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.|a|相同，抛物线la|越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，|a|越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.知识点4:二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象知识点5:二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数y=ax²+c(a≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究.下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下对称轴y轴y轴函数变化当x>0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而减小.当x<0时，y随x的增大而增大.最大(小)值当x=0时，y最小值=c当x=0时，y最大值=C知识点6:二次函数y=ax²(a≠0)与y=ax²+c(a≠0)之间的关系；(上加下减).y=ax²(a≠0)的图象向上(c>0)【或向下(c<0)】平移|c|个单位得到y=ax²+c(a≠0)的图抛物线y=ax²+c(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,c),与抛物线y=ax²(a≠0)的形状相同.函数y=ax²+c(a≠0)的图象是由函数y=ax²(a≠0)的图象向上(或向下)平移|c|个单位得到的，顶点坐标为(0,c).其顶点横坐标x=0,抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已.考点1:y=ax²图象的识别【例1】已知a≠0,在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax的图象有可能是()ABCDA.2【变式1-2】函数y=-ax²与y=ax+b的图像可能是()【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为(g为正常数，t为时间),则函数图象为()考点2:利用y=ax²图象判断二次函数的增减性【例2】作出函数y=-x的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),使x₂<x₁<0,试比较v与y₂的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x₃,Jy₃),D(x4,y4),使x₃>x₄>0,试比较y₃与y4的大小；【变式2-1】已知二次函数y=(a-1)x²,当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是()A.a>0B.a>1A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小系正确的是()A.y₁<y₂B.y₁=y₂C.y₁>y₂D.不能确定考点3:二次函数y=ax²的图象与性质的综合题【例3】已知函数y=(m+3)xm²+3m—2是关于x的二次函数.(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时，该函数有最小值?(4)试说明函数的增减性.③当-1<x<2时，-4<y<0;其中正确的说法有()(1)图象与x轴的交点也是它的_,这个点的坐标是;(2)二次函数y=x²的图象是一条,它的开口向,它的对称轴为;【变式3-3】物线y=ax²与直线y=2x-3交于点(1,b).(2)求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大.考点4:利用图象确定y=ax的解析式【例4】一个二次函数y=ax²(a≠0)的图象经过点A(2,-2)关于坐标轴的对称点B,求其关系式.【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点(2,8),则该抛物线的表达式为_·【变式4-2】(2023九年级-河北廊坊.阶段练习)已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为y轴，经过原点0,请写出一个满足条件的抛物线的解析式：_·【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线y=(m²-m)x”m²+2m-¹的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式.考点5:二次函数y=ax的图象与几何图形的综合应用【例5】已知二次函数y=ax²(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b),求：(2)函数y=ax的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标.【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2,OC与y轴正半轴的夹角为30°,点A在抛物线y=ax²(a<0)的图象上，则a的值为()A.-3B.√3【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线y=ax²(a>0)上有两个点A、B,它们的横坐标分别为-1,2.若△AOB为直角三角形，求a的值.【变式5-3】已知，如图：直线AB过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax²相交于B,C两点，点B的坐(1)求直线AB和抛物线的函数解析式；(2)如果抛物线上有一点D,使得SAOD=SBCo,求点D的坐标.考点6:二次函数y=ax的实际应用【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m.(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米?标系，作出函数y=2x²与y=-2x²的图象，则阴影部分的面积是_.【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD,这时水面宽度10米.(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；(2)若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶?【例7】若二次函数y=ax²+2的图象经过点(-2,10),则下列说法错误的是()C.顶点坐标为(2,0)D.图象有最低点【变式7-2】(2023九年级·浙江杭州-阶段练习)若二次函数y=ax²+1的图象过点P(-1,2),则该图象必经A.(1,2)B.(-1,-2)C.(-2,1)D.(2,-1)【变式7-3】已知二次函数y=-x²-1,则()C.当x=0时，y有最大值-1【例8】已知点(x₁,yì),(x₂,y₂)均在抛物线y=x-1上，下列说法中正确的是()A.y=3x²+1B.y=-2x²+1C.y=x+1【变式8-2】已知A(-1,y₁),B(3,y₂),C(0,y₃)在二次函数y=ax²+c(a>0)的图象上，则y₁,y₂,y₃为的大小关系正确的是()A.y₃<y₂<y₁B.y₁<y₂<y₃C.y₂<y₁<y₃【变式8-3】已知点(-4,y₁)、(-1,y₂)、y₃)都在函数y=-x²+5的图象上，则y₁、Y₂、y₃的大小关系为()A.y¹>y₂>y₃B.y₃>y₂>y₁C.y₂>y₃>y₁D.y₂>y₁>y₃【变式8-4】已知抛物线y=ax²+b过点(-2,-3)和点(1,6).(1)求这个函数的关系式；(2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大.【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax²+c的图象大致为()ABCDXX【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax²-b的图象可能是()【例10】抛物线y=ax²+c与y=-5x的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),求抛物线的表达式，它是由抛物线y=-5x²怎样得到的?函数y=x²的图象上(如图所示),点A的“关联点”是点A.(2)如果点A₁在函数y=x²-2的图象上，求点A₁的坐标；(3)将点P₂(a,b-na)称为点P(a,b)的“待定关联点”(其中，n≠0).如果点A(x,y)的“待定关联点”A₂在函数y=x²-n的图象上，试用含n的代数式表示点A₂的坐标.【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：考点11:y=ax²+k的图象与几何图形的综合应用横坐标分别为-2、4,直线AB与Y轴交于点C,连接OA、OB.(3)在x轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值.考点12:二次函数y=ax²+k的实际应用【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐离是多少?高OD为14的奖杯,则杯口的口径AC为【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m,跨度为8m,把它放在如图所示的平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P(如图)安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m.求灯与点B的距离.

>模块四小试牛刀过关测一、单选题A.(-1,3)B.(-2,6)C.(-1,-3)四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为()3.(23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习)在同一坐标系内，y=2x²,y=-2x²,y=x²的图象，它们的共A.都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称，V随x增大而增大C.都是关于y轴对称，y随x增大而减少D.都是关于Y轴对称，抛物线顶点都是原点A.开口向上B.都有最大值C.对称轴都是x轴D.顶点都是原点5.(23-24九年级上·广西南宁·阶段练习)抛物线y=ax²的开口向上，则a的取值范围是()A.a>0B.a≥0二、填空题 7.(22-23九年级上·浙江杭州·期中)已知抛物线y=ax²的开口向下，且|a|=3,则a=8.(23-24九年级上·山东临沂·阶段练习)如果抛物线y=(a-1)x²+1(a为常数)经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是10.(23-24九年级上重庆石柱·阶段练习)直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则抛物线y=bx²-kx不经过第象限.11.(23-24九年级上·河南信阳·阶段练习)已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出12.(23-24九年级上·陕西宝鸡·期末)点A(-3,y),B(2,y₂)均在二次函数y=-x²+2的图象上，则y1.13.(23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习)关于抛物线y=-3x²,给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是(0,0);②抛物线开口向上，顶点是(0,0);③当x<0时，y随x的增大而减小；④当x>0时，y随x的增大而减小；其中正确说法有.(填序号)14.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，已知Rt△ABC的顶点坐标为A(1,2),B(2,2),C(2,1),若抛物线y=ax²(a>0)与该直角三角形无交点，则a的取值范围是三、解答题式及对称轴.(2)判断点P(-√3,6)是否在(1)中的函数图象上.轴，若AB=6.18.(23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习)已知当-2≤x≤1时，二次函数y=-x²+2m+1有最大值4,求实数m的值.19.(23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习)已知二次函数y=ax²的图像经过点A(-1,2).(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出AOB的面积；(3)在抛物线上是否存在点C,使得AOB的面积等于△ABC面积的2倍?如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由.20.(23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习)抛物线y=x²+2与直线y=kx+2的一个交点为(2,b),(2)求另一个交点的坐标.第03讲二次函数y=a(x—h)²与y=a(x—h)²+k的图象和性质(3个知识点+9个考点) 模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理(吃透教材)模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 1.会用描点法画出y=a(x—h)²与y=a(x—h)²+k的图象.2.掌握形如y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的二次函数图象的性质，并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)²与y=ax²、y=a(x—h)²+k与y=ax²之间的联系.模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理知识点1:二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质(重难点)开口方向对称轴性质向上x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0.向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0.知识点2:二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质(重难点)开口方向对称轴性质向上x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.向下x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.要点归纳：质.运用数形结合、函数、方程思想解决问题.知识点3:二次函数的平移1.平移步骤：(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,确定其顶点坐标(h,k);(2)保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：平移个单位平移6个单位y=a(x-h)²+x2.平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加要点归纳：(2)y=ax²+bx+c沿x轴平移：向左(右)平移m个单位，y=ax²+bx+c变成考点1:y=a(x—h)²的图象与性质的识别【例1】已知抛物线y=a(x—h)²(a≠0)的顶点坐标是(—2,0),且图象经过点(-4,2),求a,h的值.【变式1-1】(2023·沈阳)二次函数y=-(x+1)²+2图象的顶点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【变式1-2】(2023·兰州)已知二次函数y=-3(x-2)²-3,下列说法正确的是()A.对称轴为x=-2B.顶点坐标为(2,3)C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-3考点2:二次函数y=a(x-h)²增减性的判断【例2】对于二次函数y=9(x-1)²,下列结论正确的是()则m的取值范围是()A.m=3B.m>3C.m≤3【例3】能否向左或向右平移函数的图象，使得到的新的图象过点(-9,-8)?若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.若h>0,抛物线y=ax²向平移h个单位就得到的图象，并写出对称轴及顶点坐标.【变式3-3】已知函数y=4x²,y=4(x+1)²和y=4(x-1)².(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x²的图象得到函数y=4(x+1)²和函数【例4】把函数的图象向右平移4个单位后，其顶点为C,并与直线y=x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边),求△ABC的面积.【变式4-1】抛物线y=3(x-2)²与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB的面积和周长.【变式4-2】已知二次函数y=2(x-1)²的图象如图所示，求ABO的面积.【变式4-3】如图所示，抛物线y₁=√3(x+1)²的顶点为C,与y轴交点为A,过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B.(1)求直线AC的解析式y₂=kx+b;(3)当自变量x满足什么条件时，有y₁>y₂?【例5】求二次函数y=x²-2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.【变式5-1】函的图象是一条,开口方向,顶点坐标为.(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x=-1的是(只填序号);(3)以上二次函数的图象中关于x轴对称的是_(只填序号).【变式5-3】已知二次函数y=(x-m)²+1,当2≤x≤4时有最小值10,则m的值为_·【例6】如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0;②4a—2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,yi),)是抛物线上两点，则y₁>y₂.其中正确的是()XA.①②③B.①③④C.①②④D.②③④【变式6-1】抛物线y=-3(x-2)²+5上有三点，分别是A(-1,y);B(3,y₂);C(4,y3)那这三点中纵坐标的大小关系为()A.y₁<y₂<y₃B.y₁<y₃<y₂C.y₂<y₃<y₁D.y₃<y₁<y₂【变式6-2】.已知抛物线y=2(x-1)²-8.(1)直接写出它的顶点坐标：,对称轴：;(2)x取何值时，y随x增大而增大?【变式6-3】设二次函数y=x²-(2a-4)x-1,其中a为实数.(1)二次函数的对称轴为直线.(用含a的式子表示)(2)若二次函数在0≤x≤3有最小值-5,则实数a的值是__【例7-1】将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是()【例7-2】把二次函数y=a(x-h)²+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象.(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y=a(x-h)²+k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性.【变式7-1】(2023·徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)²+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为()A.y=(x+3)²+2B.y=(x-1)²+2C.y=(x-1)²+4D.y=(x+3)²+4【变式7-2】二次函数y=x²的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位.(1)请直接写出经过两次平移后的函数解析式；(2)请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0?(3)若A(x1,y₁),B(x₂,y₂)的大小关系.(直接写结果)【变式7-3】已知y=a(x-h)²+k是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线.(3)观察y=a(x-h)²+k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减(4)观察y=a(x-h)²+k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为.(用含a的式子表示)【变式8-1】(2023九年级·山东烟台·期中)在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x-4)²+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB//x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为【变式8-2】(22-23九年级上·天津武清·阶段练习)已知二次函数y=(x-1)²-4.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；(2)若抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，求三角形ABP的面积.【变式8-3】(2023春·江苏宿迁·九年级统考的点叫做这个函数图像的“n阶方点”.例如，点(1,1)是一次函数y=x图像的“1阶方点”.备用图(2)如图，已知抛物线y=-(x+1)²+4交y轴于点C,一次函数y=ax+2a+3的图像交抛物线第二象限于点P,①求△PCQ的面积的最大值；②若一次函数y=ax+2a+3图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；(3)若抛物线y=-(x-m)²-2m+2的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围.考点9:二次函数y=a(x-h)²+k的实际应用【例9】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数-13)²+59.9(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强.(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低?(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时，学生的接受能力最强?A.(-2,-4)B.(2,-4)C.(-2,4)二、填空题7.(23-24九年级上·福建厦门·期中)抛物线y=-2(x+1)²+2的顶点的坐标是8.(23-24九年级上·重庆开州·阶段练习)已知抛物线y=2(x-1)²上有两点(2,y₁)、(√7,y₂),则y9.(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)将抛物线y=2(x+1)²+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为10.(23-24九年级下·吉林长春·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线y=(x-h)²+k经过原点，与x轴负半轴交于点B,点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若四边形AOBC的周长为14,△ABC的周长大于8,则h的取值范围为_11.(2024-江苏扬州·二模)如图，已知A(0,3),B(-4,3),C(2,0),抛物线y=a(x-h)²+k过点C,顶点M位于第二象限且在线段AB的垂直平分线上，若该抛物线与线段AB没有公共点，则k的取值范围是12.(2024九年级下·江苏专题练习)已知二次函数y=-(x-h)²(h是常数),且自变量取值范围是2≤x≤5.(1)当h=3时，函数的最大值是_;(2)若函数的最大值为-1,则h的值是.13.如图，抛物线y=2(x-2)²与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形，18.(23-24九年级上·天津静海·阶段练习)已知抛物线y=-(x-2)²+1.(1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)判断点(3,-2)是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为-3的点的坐标.19.(23-24九年级上·广东惠州-阶段练习)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线y=a(x-2)²+k经过A、B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P,(1)求a,k的值；(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ABM的周长最小?若存在，求ABM的周长；若不存在，请(3)抛物线的对称轴是上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形?若存在，求出N点的坐第4讲二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质(4个知识点+10 模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理(吃透教材)模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 ●素养目标1.会画二次函数y=ax²+bx+c的图象.2.用配方法求二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴.并熟记顶点坐标与对称轴公式.3.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的模型的作用.模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理1.顶点式化成一般式从函数解析式y=a(x-h)²+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称y=a(x-h)²+k为顶点式，将顶点式y=a(x-h)²+k去括号，合并同类项就可化成一般式y=ax²+bx+c.2.一般式化成顶点式对照y=a(x-h)²+k,∴抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线,顶点坐标是要点归纳：1.抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线,顶点坐标,可以当作公式加以记忆和运用.2.求抛物线y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.(2)求抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C关于对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.要点归纳：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，1.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质函数二次函数y=ax²+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)图象开口方向向上向下对称轴直线直线增大而减小；在对称轴的右侧，即当.时，y随x的增大而增大.简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小.简记：左增右减抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有字母的符号图象的特征a开口向下bab>0(a,b同号)ab<0(a,b异号)C图象过原点与x轴有唯一交点与x轴有两个交点与x轴没有交点如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，要点归纳：如果自变量的取值范围是x₁≤x≤x₂,那么首先是否在自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，若在此范围内，则当,若不在此范围内，则需要考虑函数在x₁≤x≤x2范围内的y最小值=ax²+bx₁+c,如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x值的情况.

模块三核心考点举一反三【例1】如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半(1)给出四个结论：①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0.其中正确的结论的序号是;(2)给出四个结论：①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是【变式1-1】如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1,3,则下列结论：①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④对于任意x均有ax²+bx≥a+b.正确的有()个.二次函数的对称轴为,顶点坐标为______.【变式2-2】已知抛物线y=-x²+mx-n的对称轴为x=-3,且过点(0,4),求【变式2-3】对于二次函数y=-2x²+8x-8:(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；考点3:二次函数与一次函数的图象的综合识别【例3】已知抛物线Ay=ax²+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是()CBDCB【变式3-1】在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2(m是常数，且m≠0)的图像可y=ax+b(a≠0)的图象大致为()【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x+4x-3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，A.(-3,—6)B.(1,—4)C.(1,—6)【变式4-1】将抛物线y=x²-2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)【变式4-2】将抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x²-4x+5,则原抛物线的顶点坐标是.【变式4-3】抛物线y=-3x²+bx+c是由抛物线y=-3x²-6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位考点5:二次函数的图象与几何图形的综合应用【例5】22.(9分)如图，已知抛物线(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标.与y轴交于点C,点P是抛物线上第一象限内的点.(2)连接AC,PC,PB,当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.B(1,0),与y轴交于点C.(2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接AD,AC,CD,求ACD面积的最大值.A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0),点C的坐标为(0,5).(2)①如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；②如图2,若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当QB=QC时，求点Q的坐标；为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.考点6:用一般式确定二次函数解析式【例6】已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,—4)和(1,1),求这个二次函数的解析式.【变式6-1】(23-24九年级上·四川自贡阶段练习)已知抛物线y=ax²且过点C(0,-3),求抛物线的解析式.035030m(1)求Y关于x的二次函数表达式.考点7:用顶点式确定二次函数解析式【例7】已知二次函数的图象顶点是(-2,3),且过点(-1,5),求这个二次函数的解析式.【变式7-1】.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)已知抛物线的顶点坐标是(1,-5),且过点(0,-3),求抛物线的解析式.求此二次函数的解析式.【变式7-3】(23-24九年级上·辽宁葫抛物线的解析式.考点8:根据平移确定二次函数解析式【例8】将抛物线y=2x-4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式.【变式8-1】将二次函数y=x²-4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴.【变式8-2】.(23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习)二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)的图像的对称轴为x=2,考点9:根据轴对称确定二次函数解析式【例9】已知二次函数y=2x²-12x+5,求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式.求抛物线的解析式.函数有最小值为-4.求抛物线的解析式.【变式9-3】已知一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax²+bx-4的图像都过点A(1,-1),二次函数的对称轴是直线x=-1,请求出一次函数和二次函数的解析式.【例10】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度t/℃014科学家经过猜想，推测出1与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合 【变式10-1】(2022秋·庐阳区校级月考)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：024

>模块四小试牛刀过关测1.(22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段练习)抛物线y=2x²+4x-1的顶点关于原点对称的点的坐标是()A.2B.1C.-3的对称轴是()A.x=1B.x=2C.x=-1D4.(24-25九年级下·长沙青竹湖二模)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=1.下列选项正确的是()A.c>05.(23-24九年级上·河南郑州·阶段练习)将抛物线y=x²-2x+3向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是()A.y=x²+2B.y=(x+1)²+3C.y=(x+1)²+1点的坐标为(-1,0),下列结论：①abc<0;②2a+b=0;③3a+c=0;④若A(x,4),B(x₂,5)在函数图象上，则x<x₂,正确的有()A.y₁<y₂C.y₁=y₂8.(23-24九年级上·安徽马鞍山·期中)已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图结论：①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c>3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1),其中正确的结论点M是对称轴上的一个动点，连接AM,BM,则AM+BM的最小值为()B在抛物线的图象上，则b+c的值是()11.(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)抛物线y=-2x²+6x+8的顶点坐标12.(22-23九年级上·浙江金华·期中)将抛物线y=x²-6x+5向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数表达式为14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)若抛物线y=x²-2x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是15.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)已知点A(-2,3)、B(3,3)、C(5,3)、D(3,-1),若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点16.(2023.江西新余·一模)二次函数y=x²-2x-2的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2√3个单位长度，以AB为边作等边ABC,使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为_.17.(23-24九年级上·江西南昌·阶段练习)如图，抛物线y=x(x-4)与x轴交于0、A两点，点P在抛物线上，则当AOP的面积为8时，点P的坐标为18.(23-24九年级上·广西桂林·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点P在线段BC上，则PA+PO的最小值是三、解答题19.(23-24九年级上·北京东城·期中)已知二次函数的图象顶点为M(2,-3),且经过点N(0,1).求这个二次函数的表达式.20.(23-24九年级上·江西上饶·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.21.(23-24九年级上·湖北武汉·期末)抛物线y=x²+mx+n与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的顶点坐标.22.(22-23九年级上·广西梧州·阶段练习)已知抛物线y=ax²+bx+c,经过(-1,0),(0,3),(2,-3)三点，求这条抛物线的表达式.23.(2024·宁夏石嘴山·一模)如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(2)若点E是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.24.(2024-海南海口·二模)如图，抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4),点P是抛物线上的动点.(2)当点P在直线BC的上方运动时，连接AP,交直线BC于点D,交y轴于点E.①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；②当CD=CE时，求CE的长.(3)过点P作PF//y轴交直线BC于点F,在y轴上是否存在点Q,使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5讲二次函数与一元二次方程(4个知识点+6个考点) 模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理(吃透教材)模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联2.能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集.3.根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围.》模块一思维导图串知识二次函数与一次方关系交点根据函数图象求一元二次方程的近似根实数根二次函数+c的图象与x轴的交点情况bx+c=0二次函数与一元二

模块二基础知识全梳理知识点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点坐标抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于(x₁,0),(x₂,O)(x₁<x₂)两点，且抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离无实数根)二次函数图象与x轴的交点的个数由b²-4ac的值来确定的.(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，△=b²-4ac=0,方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，△=b²-4ac<0,方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与一次函数y=kx+b₁(k≠0)的交点个数由方程组的知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解4.确定一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的近似根.在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二求一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的近似解的方法(图象法):知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当△>0时，设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为A(x₁,0),B(x₂,0),则x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系得即要点四、抛物线与不等式的关系二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)及ax²+bx+c<0(a≠0)抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点不等式ax²+bx+c>0的解集不等式ax²+bx+c<0的解集有两个交点x<x₁或x>x₂有一个交点无交点注：a<0的情况请同学们自己完成.抛物线y=ax²+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax²+bx+c>0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax²+bx+c<0的解集.不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.

模块三核心考点举一反三考点1:二次函数图象与x轴交点情况判断【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是()A.y=x²+2x-3B.y=x²+2x+3C.y=x²-2x+3D.y=x²-【变式1-1】(2023·郴州)已知抛物线y=x²-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m=【变式1-2】(2023秋·九年级课时练习)已知抛物线y=x²-6x+m-1,当m时，抛物线与x轴有两个公共点；当m时，抛物线与x轴有一个公共点；当m时，抛物线与x轴没有公共点.(3)当-1≤x≤3时，y的最小值为-3,求m的值.考点2:利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点，则它的对称轴为__·A.y轴B.直线x=-1C.直线x=-2D.直线x=2【变式2-2】二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于(-1,0)和(5,0)两点，则该抛物线的对称轴【变式2-3】如图，抛物线与x轴交于A(x,0)、B(x₂,0)两点(x<x₂),交y轴于C点，且x₁+x₂=0.(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程.(2)在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例3】若函数的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()【变式3-1】函图象与x轴只有一个交点，则m的值为()【变式3-2】若函数y=mx²+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()【变式3-3】(2023春·福建福州·九年级校考期中)已知二次函数y=x²+ax+b的图象与x轴交于A,B两点，若OA+OB≤1,则b的取值范围是【例4】小兰画了一个函数y=x²+ax+b的图象如图，则关于x的方程x²+ax+b=0的解是(【变式4-1】若二次函数y=x²+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x²+bx=5的解为()A.x=0,x₂=4B.x₁=1,x₂=5C.x=1,x₂=-5【变式4-2】已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解为A.x₁=-4,x₂=2B.x₁=-3,x₂=-1C.x=-4,x₂=-2【变式4-3】(2023·四川绵阳·统考二模)二次函数y=ax²+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a(2x-1)²+b(2x-1)+c=7的解为·x…0135…y…77【例5】抛物线y=ax²+bx+c(a<0)如图所示，则关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集是()A.x<2B.x>-3C.—3<x<1【变式5-1】(2023秋·九年级课时练习)二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax²+bx+c>0的解集是()A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3【变式5-2】(2024·任城区校级四模)已知一次函数y₁=kx+b(k≠0)和二次函数y₂=ax²+bx+c(a≠0)的部分自变量和对应的函数值如表：x…12345……01234……0038…则关于x的不等式ax²+(b-k)x+c<b的解集是()B.1<x<4【变式5-3】(2023·官渡区二模)如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax²+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A,则不等式ax²+bx<kx的解集为_考点6:确定抛物线相应位置的自变量的取值范围【例6】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是()A.x<-1B.x>3C.—1<x<3的取值范围是()A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1【变式6-2】.(2024·织金县一模)二次函数y=ax²+3ax+n(a>0)的图象过点则使函数值y>0成立的x的取值范围是()【变式6-3】.(2023秋·丰台区期末)已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象上部分点的横坐标x,