2025北京汇文中学高三（上）段考二数学试题及答案

高中2025北京汇文中学高三（上）段考二数学本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效一、单选题（每题4分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.1 C. D.23.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知都是正数，且，则的最小值为（）A. B.2 C. D.35.如图，在平行六面体中，是的中点，过三点的截面把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（）.A. B. C. D.6.设，则“是第一象限角”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，其中，，．若对一切的恒成立，且，则函数的一个单调递减区间为（）A. B. C. D.9.设无穷数列满足，则（）A.存在，为等差数列 B.存在，为等比数列C.存在，为递减数列 D.存在，为递增数列10.如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，共30分）11.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________．12.已知，则的值为________．13.若函数的最小值为，则常数的一个取值为______．14.若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为_____.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且．给出下列四个结论：①；②，使得；③存在一个正数，使得对任意的，都有；④对任意的，都有．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（共85分）16.在中，.（1）求；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：的周长为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.18.某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.19.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的，三角形ABC的面积为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求的值.20.设函数，.曲线在点处的切线方程为.（1）求a的值；（2）求证：方程仅有一个实根；（3）对任意，有，求正数k的取值范围.21.定义为有限项数列的波动强度.（1）当时，求；（2）若数列满足，求证：；（3）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列

参考答案一、单选题（每题4分，共40分）12345678910DCBCDCDDDD二、填空题（每题5分，共30分）11.【答案】由题意可知双曲线的渐近线方程为，∵其中一条渐近线的倾斜角是，∴，故．故答案为：.12.【答案】由，令，可得，又，上式二项展开的通项为：．令，可得．∴．故答案为:255.13.【答案】因为，要想的最小值为，需要同时成立，由得到，，不妨取，则，即，解得，取，得.故答案为：（答案不唯一）14.【答案】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点.①当时，在上单调递减，而是过原点的直线，要使两函数图象有交点，则，此时只有一个交点；②当时，，令，可得.令，，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值.又，，要使函数与在上有三个交点，则与在上有两个交点，则须满足，所以.则实数a的取值范围为.故答案为：.15.【答案】解法一：对于①，由，令，则，所以，∵是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，∴恒成立，且，，又，，即，故随着的增大而减小，其中，，随着的增大而增大，，，，∵随着的增大而减小，，，，，，，，，故①正确；对于②，，要判断，即判断，因为恒成立，所以，即证明，即证明，当时，，满足要求，当时，，对任意的都成立，对任意的，都有，故有，即②正确；对于④，随着的增大而减小，，时，，，故④正确.对于③，由以上分析，数列中，，且随着的增大，趋向于1，又，故无限趋向于正无穷大，所以不存在一个正数，使得对任意的，都有，故③错误．解法二：解法二：由，令，则，所以，是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，，，，，，，（1）对于③，取为大于的第一个整数，记为，则，所以（3）错误.对于②，由，解得，代入（1）得，解得，取代入，得。所以②正确.对于④，由（2）得，所以，即，也就是，所以成立，故④正确.对于①，由得，，，，，即，故①正确.故答案为：①②④三、解答题（共85分）16.【答案】（1）由正弦定理，，因，则，，则，故得，即得：，因，故.（2）若选择①：因，的周长为，则（i），由余弦定理，，则（ii），联立（i），（ii）可得：，则的面积为；若选择②：因，，则，因，由正弦定理，，则，又，则，则的面积为：；若选择③：因，，由正弦定理，，则，因，故，由，故角不唯一（可以是锐角，也可以是钝角），故条件③不成立.17.【答案】（1）连接交于点，可得点是的中点，连接，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，由，，平面，得平面，设，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，得，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或，由，得或，所以或2.18.【答案】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为.（2）根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3.则，，所以X的分布列为：X0123P因此，X的数学期望.（3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为，3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为，所以，即，代入检验，可知最小为74，最大，故，即的取值范围.19.【答案】（1）依题意：，解得，，，椭圆的标准方程为；（2）直线DA：，，解得，.若直线MN：，则，若直线MN：，设，，，整理得，，解得或，，，直线CM：，令，得.直线BN：，令，得，因为，所以D，P，Q三点共线，所以，综上知：.20.【答案】（1）解：因为，所以，又点在切线上，所以，所以，即.（2）证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，令，则，令，则，讨论：（1）当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，，即此时无零点；（2）当时，，即此时有一个零点；（3）当时，所以，当时，，即此时无零点综上可得，仅有一个零点，得证.（3）当时，，即恒成立，令，则，由（Ⅱ）可知，时，所以，讨论：（1）当时，因为，所以，即，所以，即当时，，所以在时单调递增，所以恒成立，即满足条件，（2）当时，由可知，又，所以存在，使得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即不能保证恒成立，综上可知，正数k的取值范围是.21.【答案】（1）（2）证明：因为，，所以因为，所以，或.若，则当时，上式，当时，上式，当时，上式，即当时，.若，则，.（同前）所以，当时，成立.（3）证明：由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小