人教版初中数学九年级下册《图形的位似变换》教学设计

人教版初中数学九年级下册《图形的位似变换》教学设计

一、课标解读与教材分析

1.1课程标准定位

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求：学生应“通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。位似变换作为相似变换的特例，是连接相似与投影、映射的桥梁，属于“图形的变化”主题中的重要内容。课标强调，教学应引导学生经历从具体情境中抽象出位似概念的过程，探索位似的性质，并用于解决实际问题，发展学生的几何直观、空间观念和推理能力。

1.2教材体系分析

本课时位于人教版九年级下册第二十七章“相似”的第三节。在此之前，学生已系统学习了“图形的相似”、“相似三角形的判定与性质”，掌握了比例线段、相似比等核心概念。位似是相似的一种特殊情况（对应点连线交于一点），同时又是后续学习“投影与视图”以及高中“平面向量”、“仿射变换”等知识的直观基础和认知起点。教材通过“观察-归纳-定义-性质-应用”的逻辑线索展开，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。

1.3内容结构与价值

本节内容可分为三个层次：

1.概念形成层：通过生活实例（如电影胶片、缩放地图）和几何作图，抽象出位似图形、位似中心、位似比等核心概念。

2.性质探究层：探究位似图形的性质（对应点连线共点、对应边平行或在同一直线上、任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比）。

3.应用实践层：利用位似原理进行图形的放大与缩小（作图），并解决测量、设计等跨学科情境问题。

其教育价值在于：深化对图形变换体系（全等、轴对称、旋转、平移、相似、位似）的理解；培养用数学的眼光（抽象）、思维（推理）、语言（表达）观察和分析世界的能力；渗透数形结合、变换与对应等基本数学思想。

二、学情分析

2.1认知基础

九年级学生已具备以下知识储备：

1.图形认知：熟练掌握基本图形的性质，具备一定的几何直观和空间想象能力。

2.相似知识：深刻理解相似多边形的定义和性质，熟悉比例关系。

3.变换思想：积累了平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换的学习经验，初步建立了“图形运动与变化”的视角。

4.逻辑推理：能够进行简单的几何证明，具备一定的归纳概括和演绎推理能力。

2.2潜在障碍与困难

1.概念辨析困难：位似与相似、中心对称概念易混淆。学生可能难以把握“对应点连线交于一点（位似中心）”这一关键特征，以及“位似比有正负之分（同侧与异侧）”的深度理解。

2.性质理解抽象：位似性质的探究需要综合运用坐标法、向量思想（虽未正式学习，但可直观感知）和相似三角形知识，对学生的思维整合能力要求较高。

3.作图操作繁琐：准确的位似作图（尤其是内位似、外位似及非整数位似比）步骤较多，对学生的尺规作图技能和耐心是考验。

4.实际应用迁移：如何从复杂的现实背景（如透镜成像、工程制图）中抽象出位似模型，对学生建模能力构成挑战。

2.3学习心理特征

该阶段学生抽象逻辑思维占主导，乐于接受挑战，对探究性、应用性强的学习活动兴趣浓厚。教学中应充分利用其思维活跃的特点，设计富有挑战性的任务，同时提供清晰的思维脚手架，帮助其克服畏难情绪，体验成功的喜悦。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

3.1知识与技能

1.结合具体实例，理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确识别位似图形。

2.探索并掌握位似图形的主要性质，能运用性质进行简单的证明和计算。

3.熟练掌握利用位似原理将一个图形放大或缩小的方法（包括尺规作图和坐标法）。

3.2过程与方法

1.经历“观察实例—操作体验—归纳定义—探究性质—应用作图”的完整认知过程，体会类比、归纳、从特殊到一般等数学思想方法。

2.通过小组合作探究位似性质的活动，发展合作交流能力和几何探究能力。

3.在利用位似知识解决实际问题的过程中，初步建立数学模型思想，提升应用意识。

3.3情感、态度与价值观

1.感受位似变换在生活、艺术、科技中的广泛应用（如摄影、电影、地图、显微镜、投影仪），体会数学与现实的紧密联系。

2.在探究活动中培养严谨求实、敢于质疑的科学态度和理性精神。

3.欣赏图形变换的和谐与美，提升数学审美情趣。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形及相关概念的理解。

2.3.位似图形性质的探索与掌握。

3.4.利用位似进行图形放大与缩小的作图方法。

5.教学难点：

1.6.位似概念的本质把握，特别是与相似、中心对称的辨析。

2.7.对位似性质（尤其是对应点的坐标变化规律）的深入理解和推导。

3.8.在复杂情境中构造位似模型解决实际问题。

五、教学策略与方法

5.1总体策略

采用“情境-问题-探究-应用”的（PBL）教学模式，以学生为中心，教师为主导。贯彻“做数学”的理念，让学生在观察、操作、思考、交流、应用中主动建构知识。

5.2教学方法

1.情境创设法：利用多媒体展示丰富的位似实例（从宏观宇宙星图到微观细胞图像），创设震撼而真实的学习情境。

2.探究发现法：围绕核心问题（如“这些图形除了相似，还有什么共同点？”），引导学生动手操作（几何画板动态演示、小组作图）、观察比较、提出猜想、验证结论。

3.类比迁移法：将位似与已学的相似、中心对称进行系统性对比，借助维恩图等工具，厘清概念间的联系与区别，完善知识网络。

4.分层任务驱动法：设计基础、拓展、挑战等不同层级的练习与任务，满足不同层次学生的发展需求，实现差异化教学。

5.信息技术融合法：深度整合动态几何软件（如GeoGebra），实现位似变换的动态可视化，突破传统静态教学的局限，帮助学生直观理解位似比变化、位似中心移动带来的图形连续变化过程。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的图片、视频、GeoGebra动态课件）、三角板、圆规、课堂探究任务单、分层练习题卡。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、练习本、方格纸。

3.环境准备：具备多媒体投影和网络环境的教室，学生分组（4-6人一组）。

七、教学过程（实施环节）

第一课时：初识位似——从生活走进数学

环节一：创设情境，激趣引疑（约8分钟）

1.视觉冲击：播放一组精心剪辑的短片/图片序列：电影放映机投射光束形成巨幕影像；同一建筑在不同焦距相机镜头下的照片；利用缩放工具在电脑上调整一幅设计图的大小；从卫星地图放大到看清自家屋顶。

2.问题链引导：

1.3.“这些现象中，变化前后的图形有什么共同关系？”（复习：相似）。

2.4.“这些相似关系，与你们之前学习的任意两个相似三角形所具备的相似关系，感觉上有什么不同？”（引导发现：这种相似似乎有一个“源头”或“中心点”）。

3.5.“电影胶片上的小图像和银幕上的大图像，它们的对应点之间的连线，在空间中有什么特点？”（指向核心：交于投影仪镜头一点）。

6.揭示课题：教师引出“位似”一词，并板书优化后的标题。指出“位”指位置、对应，“似”指相似，位似就是一种具有特殊位置关系的相似。

【设计意图】从学生熟悉或震撼的高科技应用场景出发，引发认知冲突，激发探究欲望。问题链层层递进，自然指向新知的核心特征，让课题的引出水到渠成。

环节二：操作体验，归纳定义（约15分钟）

1.活动1：动手探“位似”

1.2.任务：在方格纸上给定一点O作为中心，和△ABC。请以O为端点，作射线OA，OB，OC，并在射线上分别取点A’，B’，C’，使OA’/OA=OB’/OB=OC’/OC=2。连接A’B’，B’C’，C’A’，得到△A’B’C’。

2.3.学生动手操作，教师巡视指导。

3.4.提问：△ABC与△A’B’C’相似吗？为什么？测量对应点连线AA’，BB’，CC’，它们有怎样的位置关系？（交于O点）

5.活动2：变式深理解

1.6.改变位似比k=0.5，重复上述作图。

2.7.改变点O的位置（如在△ABC内部、边上、外部），分别作图观察。

3.8.引导发现：无论k和O的位置如何，只要满足“对应点连线共点O”且“对应点到位似中心O的距离比恒定”，两个图形就满足这种特殊的相似关系。

9.归纳定义，明晰概念

1.10.学生尝试用自己的语言描述这种图形的特征。

2.11.教师引领学生阅读教材，提炼关键词语，给出严谨的位似图形定义。

3.12.明晰核心概念：

1.4.13.位似图形：如果两个相似图形的每组对应顶点的连线都相交于一点，对应边平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形。

2.5.14.位似中心：对应顶点连线相交的那个点（O）。

3.6.15.位似比：位似图形上任意一对对应点到位似中心距离之比（k）。强调k>0，并引出k>1（放大），0<k<1（缩小）；后续再渗透k<0（关于位似中心中心对称的位似）。

7.16.即时辨析：展示几组图形（包括位似、一般相似、中心对称、既位似又中心对称），让学生快速判断，巩固概念本质。

【设计意图】通过动手操作，将生活现象抽象为数学模型，亲历概念的形成过程。变式设计帮助学生全面感知位似三要素（图形、中心、比）的关系，抓住概念的本质属性。即时辨析防止概念混淆。

环节三：探究性质，深化认知（约15分钟）

1.猜想与发现：

1.2.基于刚才的作图活动，引导学生提出关于位似图形性质的猜想。学生可能提出：对应边平行、周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方等。

3.验证与证明（以“对应边平行”为例）：

1.4.已知：四边形ABCD与四边形A’B’C’D’关于点O位似，位似比为k。

2.5.求证：AB∥A’B’，BC∥B’C’等。

3.6.引导分析：如何证明平行？联想到已学的相似三角形判定与性质。由位似定义知OA’/OA=OB’/OB=k，且A、O、A’与B、O、B’分别共线，可证△OAB∽△OA’B’，从而∠OAB=∠OA’B’，得AB∥A’B’。

4.7.学生尝试书写证明过程，教师规范板书。

8.性质体系化：

1.9.师生共同梳理位似图形的性质：

1.2.10.性质1（位置关系）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（定义本身）。

2.3.11.性质2（位置关系）：位似图形的对应边平行或在同一条直线上。

3.4.12.性质3（形状大小）：位似图形是相似形，具有相似图形的一切性质（对应角相等，对应线段成比例，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方）。

13.信息技术验证：

1.14.教师使用GeoGebra动态演示：拖动位似中心O、改变位似比k的滑块，让学生实时观察图形变化，直观验证上述性质始终成立。

【设计意图】引导学生从实验几何走向论证几何，将操作获得的感性认识通过逻辑推理上升为理性认知。证明过程巩固了相似三角形的知识，建立了知识间的联系。信息技术工具使性质的“不变性”更加直观可信。

环节四：初步应用，小试牛刀（约7分钟）

1.基础作图：已知△ABC和位似中心O，请画出以O为位似中心，位似比为3的放大图形。

2.概念应用：如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形？若是，指出位似中心。

3.简单计算：两个五边形位似，位似比为2:3，已知小五边形的周长为20cm，面积为36cm²，求大五边形的周长和面积。

（学生当堂练习，教师抽选展示并点评，重点反馈作图规范和性质运用是否准确。）

【设计意图】通过层次分明的练习，及时巩固和检测本节课的核心知识与技能，确保基础人人过关，为后续学习扫清障碍。

环节五：课堂小结与预告（约5分钟）

1.知识树梳理：师生共同用思维导图总结本节课所学：中心概念是“位似”，三个要素（图形、中心、比），两条核心性质（对应点共线比、对应边平行），一种基本应用（识别与简单作图）。

2.思想方法提炼：回顾我们从生活现象到数学概念，从操作猜想到推理证明的学习路径，强调了“观察-归纳-抽象-论证”的数学学习方法。

3.预告下节：提出新思考：“今天我们画的位似图形，对应点都在位似中心的同侧（k>0）。如果要求对应点分别在位似中心的两侧，图形会怎样？这和我们学过的哪种变换有关？下节课我们将深入探讨位似与坐标、位似与艺术设计的奇妙联系。”

【设计意图】系统化梳理知识，内化认知结构。提炼思想方法，提升元认知能力。设置悬念，激发学生持续探究的兴趣。

（第一课时结束）

第二课时：深研位似——从性质到创造

环节一：温故知新，辨析深化（约10分钟）

1.概念快问快答：复习位似定义、三要素、主要性质。

2.深度辨析：出示对比表格，小组讨论完成。

变换类型

全等变换（平移、旋转、轴对称）

相似变换

位似变换（特殊的相似）

中心对称（特殊的位似）

形状大小

形状相同，大小相等

形状相同，大小成比例

形状相同，大小成比例

形状相同，大小相等

位置关系

对应点连线平行（平移）/满足特定几何关系

无特殊要求

对应点连线共点，对应边平行

对应点连线共点且被平分（k=-1）

核心参数

方向、距离/旋转中心、角度/对称轴

相似比k(k>0)

位似中心O，位似比k(k≠0)

对称中心O，k=-1

1.引导学生得出结论：中心对称是位似比k=-1时的位似变换。位似是连接相似与中心对称的纽带。

1.引入负位似比：介绍当k<0时，对应点分别位于位似中心的两侧，图形不仅放大缩小，还关于位似中心“翻转”。用GeoGebra动态演示k从正到负连续变化时图形的变换过程。

【设计意图】通过系统比较，将新知识精准锚定在已有的图形变换知识网络中，实现结构化学习。引入负位似比，完善概念认知。

环节二：探究位似与坐标（约15分钟）

1.问题驱动：在平面直角坐标系中，如何更“数学”地描述位似变换？

2.探究活动：

1.3.情景：以坐标原点O为位似中心，将△ABC（已知A(2,1)，B(3,3)，C(1,2)）放大为原来的2倍。

2.4.学生先尝试用尺规作图法在坐标纸上完成。

3.5.教师引导观察：新图形△A’B’C’的顶点坐标与原来顶点坐标有什么关系？（A’(4,2)，B’(6,6)，C’(2,4)）。发现：横纵坐标都乘以了位似比k=2。

6.猜想与验证：

1.7.猜想：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，位似比为k（k≠0），那么位似图形对应点的坐标之比等于k（或-k）。

2.8.小组合作，尝试证明。提示：从位似定义和坐标距离公式入手，或构造相似直角三角形。

3.9.师生共同完成一般性证明：设原有点P(x,y)，位似后对应点P’(x’,y’)。由定义OP’/OP=|k|，且P,O,P’共线。当k>0时，P’在射线OP上，有x’/x=y’/y=k；当k<0时，P’在射线OP的反向延长线上，有x’/x=y’/y=k（此时k为负）。

4.10.得出结论：以原点为位似中心时，坐标变换公式为(x,y)→(kx,ky)。

11.拓展延伸：

1.12.提问：如果位似中心不是原点，而是平面内任意一点P₀(a,b)，坐标变换公式又是什么？

2.13.引导学生通过平移变换的思想解决：先将整个图形平移，使位似中心P₀与原点重合；进行以原点为中心的位似变换；再平移回去。推导出一般公式：(x,y)→(a+k(x-a),b+k(y-b))。

3.14.GeoGebra验证：在软件中输入函数公式，拖动参数，观察图形动态变换。

【设计意图】将几何变换代数化，是数学发展的重要思想。本环节通过探究，建立位似变换与坐标运算的联系，为数形结合提供了强大工具，也为高中学习解析几何、向量和矩阵变换埋下伏笔。

环节三：综合应用——我是设计大师（约15分钟）

项目式任务：利用位似变换，设计一个简单的Logo或图案。

1.任务发布：以小组为单位，完成以下任务：

1.2.层级一（基础）：给定一个简单图形（如一颗星、一片叶子），选择一个位似中心和一个位似比（k≠1），画出它的一个放大或缩小的位似图形，共同组成一个基础图案。

2.3.层级二（拓展）：使用同一个基本图形，选择不同的位似中心（内、外）和不同的位似比（正、负），创作出一组具有层次感、韵律感的系列图案。

3.4.层级三（创造）：构思一个具有实际意义的主题（如“绽放”、“生长”、“汇聚”），自主设计基本图形，运用位似变换创作一个体现该主题的完整Logo，并附上简短的设计说明。

5.小组合作：学生分组讨论、设计、作图。教师巡视，提供必要的技术指导和思维启发，鼓励学生大胆创意，并运用本节课所学知识。

6.成果展示与评价：每组选派代表上台展示设计成果，阐述设计理念和运用位似知识的关键点。其他小组和教师从“数学准确性（位似运用是否正确）”、“艺术美观性”、“创意独特性”三个维度进行评价。

【设计意图】将数学知识转化为创造美的工具，实现STEM向STEAM（增加Art）的跨越。开放性的任务尊重学生差异，激发创造力。在真实、有趣的“做项目”过程中，综合运用和深度理解位似知识，体验数学的应用价值和美学价值。

环节四：链接生活，拓展视野（约5分钟）

1.教师简要介绍位似变换在其他领域的惊人应用：

1.2.科学技术：透镜成像原理（凸透镜成实像、虚像与位似中心、正负位似比的对应关系）；电子显微镜与望远镜的光路设计；计算机图形学中的纹理映射与缩放算法。

2.3.工程制图：三视图的绘制中隐含的投影思想，与位似一脉相承。

3.4.艺术创作：西方绘画中的透视学（灭点原理本质上是三维空间的位似中心）；分形艺术中自相似结构的无限嵌套。

5.鼓励学生课后通过查阅资料，寻找更多位似应用的案例。

【设计意图】打破学科壁垒，展现数学作为基础学科的强大渗透力，开阔学生视野，点燃其对科学、技术、艺术更深层次的兴趣和好奇心。

第三课时：升华位似——从解题到建模

环节一：技能精炼，方法总结（约15分钟）

1.位似作图方法体系归纳：

1.2.方法一（尺规作图法-射线法）：已知图形G和位似中心O，位似比k。

1.2.3.步骤：1.连接O与图形G的各关键点；2.在各射线上按比例取点，使新点到O的距离与原点到O的距离比为|k|；3.根据k的正负决定取点方向（同侧或异侧）；4.顺次连接新点。

3.4.方法二（坐标法）：适用于规则图形或在坐标系中。

1.4.5.步骤：1.确定位似中心坐标和位似比k；2.应用坐标变换公式计算新图形各点坐标；3.描点连线。

5.6.方法三（平行线法-适用于外位似）：当位似中心在图形外部时，可利用“对应边平行”的性质，通过作平行线来定位新顶点。

7.典例精讲：

1.8.例题1（作图综合）：已知四边形ABCD和直线外一点O，求作四边形ABCD关于点O位似，且位似比为-1/2的图形。

2.9.例题2（证明综合）：如图，△ABC与△ADE位似，点C在AD上，点E在AB上。求证：BC∥DE。并探讨在此条件下，位似中心可能的位置。

3.10.例题3（计算综合）：两个位似多边形的面积之差为28cm²，面积之和为100cm²，求它们的位似比。

4.11.（师生共同分析解题思路，板书规范过程，强调思维要点和易错点。）

【设计意图】将零散的技能系统化、程序化，提升学生操作的准确性和效率。通过综合性例题，培养学生灵活运用知识、多角度思考问题的能力。

环节二：问题解决，建模初探（约20分钟）

呈现两个真实的、需要建立位似模型的问题情境：

情境一：“不可达距离的测量”（古代智慧与现代应用）

问题：如图，为了测量河宽AB，在河对岸选定一个目标点C，在岸边找到一点O，使得O、A、C三点共线，O、B、D三点共线，并测得OA=5m，OB=10m，AC=20m，BD=40m。请问河宽AB是多少？

1.模型抽象：引导学生将实际问题抽象为几何图形。分析△OAB与△OCD的关系（利用平行线判定位似）。

2.建立模型：识别出△OAB与△OCD关于点O位似。利用位似比OA/OC=OB/OD=AB/CD建立方程。

3.求解模型：代入数据计算。

4.解释验证：结果是否符合实际情况？该方法与相似三角形的测量方法有何异同？（本质相同，但位似模型更强调“共点”这一核心特征，应用时目标更明确。）

情境二：“光学屏幕的优化设计”（跨学科项目）

问题：学校报告厅的投影仪镜头（视为点光源O）距离屏幕垂直距离为4米。现需要制作一张数字幻灯片，希望它在电脑上编辑时（屏幕显示区域大小为80cm×60cm）的设计，恰好能充满报告厅的巨型屏幕（大小为4m×3m）。请问在电脑上设计时，幻灯片页面应该距离“虚拟镜头”多远？（为简化，考虑屏幕中心点对应的物像关系）

1.理解情境：这是一个透镜成像的简化模型。物（幻灯片）、像（屏幕）、镜头（位似中心）构成位似关系。

2.建立模型：设幻灯片到虚拟镜头的距离为u米，屏幕到镜头的距离v=4米。物像大小之比等于位似比|k|=像高/物高=3m/0.6m=5。根据位似性质，|k|=v/u。

3.求解与讨论：由5=4/u，得u=0.8米。讨论k的正负（实像，倒立，k为负）。引申：如果想让像更大（k的绝对值更大），该如何调整u和v？

【设计意图】选择具有现实意义和思维深度的情境，引导学生经历“实际问题→数学抽象→建立模型→求解验证”的完整数学建模过程。将数学知识与物理光学初步结合，体现跨学科学习的魅力，培养学生解决复杂现实问题的综合素养。

环节三：单元总结，体系构建（约10分钟）

1.绘制全景知识图谱：以“图形的变化”为主题，引导学生共同构建一个涵盖平移、轴对称、旋转（中心对称）、相似、位似等变换的知识网络图。明确每种变换的“变”与“不变”，厘清它们之间的层级与包含关系。

2.提炼核心思想方法：总结在本单元学习中反复运用的思想方法：抽象、类比、数形结合、从特殊到一般、数学建模。

3.反思与分享：学生用几句话分享“我印象最深的位似知识或应用”、“我遇到的最大困难及如何克服的”、“我还想探究关于位似的什么问题”。

【设计意图】跳出单一课时，从单元整体甚至整个“图形与几何”领域的视角进行总结，帮助学生形成全局观和系统思维。反思环节促进元认知发展，让学习真正触及心灵。

八、板书设计

（主板面分为左、中、右三区，随教学过程动态生成）

左区：核心概念与性质

图形的位似变换

一、定义

1.位似图形：对应点连线共点，对应边平行（共线）的相似图形。

2.位似中心(O)：对应点连线的公共交点。

3.位似比(k)：对应点到位似中心距离之比。

1.k>0：同侧位似；k<0：异侧位似（含中心对称，k=-1）。

2.|k|>1：放大；0<|k|<1：缩小。

二、性质

1.对应点连线共点O，且OP’/OP=|k|。

2.对应边平行或在同一直线上。

3.具有相似形所有性质（角等、边成比、周长比=|k|、面积比=k²）。

中区：探究过程与典例

1.坐标关系（原点中心）：(x,y)→(kx,ky)

2.一般公式（中心P₀(a,b)）：(x,