诱导公式与对称课件-高一下学期数学北师大版

第一章三角函数1.4.3诱导公式与对称回顾：根据定义可知，终边相同的角的正(余)函数值相等.思考：观察下图，说说终边对称的角的正弦函数值和余弦函数值又有什么关系呢？关于

x

轴对称关于原点对称关于

y

轴对称问题1：已知单位圆中，终边关于

x

轴对称的角

α

与角-α

如图所示，试着找出sinα与sin(-α)，cosα与cos(-α)之间的对应关系.关于

x

轴对称因为

u=cosα，v=sinα，且点

P

与

P′关于

x轴对称，即两点的横坐标相等，纵坐标相反，所以

sin(-α)=-v=-sinα，cos(-α)=u=cosα；所以正弦函数

v=sinα是奇函数；

余弦函数u=cosα是偶函数.u=cosαv=sinα问题2：已知单位圆中，终边关于原点

O

对称的角

α

与角

α±π如图所示，试着找出sinα与sin(α±π)，cosα与cos(α±π)之间的对应关系.因为

u=cosα，v=sinα，且点

P

与

P′关于原点对称，即两点的横、纵坐标均相反，所以

sin(α+π)=-v=-sinα，sin(α-π)=-v=-sinα，cos(α+π)=-u=-cosα；cos(α-π)=-u=-cosα.sin(α±π)=-sinα；cos(α±π)=-cosα；u=cosαv=sinα关于原点对称问题3：已知单位圆中，终边关于

y

轴对称的角

α

与角π-α

如图所示，试着找出sinα与sin(π-α)，cosα与cos(π-α)之间的对应关系.因为

u=cosα，v=sinα，且点

P

与

P′关于

y

轴对称，即两点的横坐标相反，纵坐标相等，所以sin(π-α)=v=sinα，cos(π-α)=-u=-cosα.关于

y

轴对称u=cosαv=sinα思考：若不借助图形，你能用问题1、2的结论推导出问题3中的结论吗？cos(π-α)=

cos(-(α-π))=cos(α-π)=-cos

α①

将(α-π)看成一个整体，利用

sin(-α)=

-sinα；②利用

sin(α-π)=

-sinα.sin(π-α)=

sin(-(α-π))=-sin(α-π)=-(-sinα)=sinα1.sin(π-α)：2.cos(π-α)：①

将(α-π)看成一个整体，利用

cos(-α)=

cos

α；②利用

cos(α-π)=

-

cos

α.归纳：对任意角

α，下列关系式均成立(其中k∈Z).

sin(-α)=-sinα；cos(-α)=

cosα；作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数；

sin(α±π)=-sinα；cos(α±π)=-cosα；作用：将第三象限角的三角函数转为第一象限角的三角函数；

sin(π-α)=

sinα；cos(π-α)=-cosα.作用：将第二象限角的三角函数转为第一象限角的三角函数；通常称这些公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式.例1：画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.（1）

与

；（2）

与

；（3）

与

；（4）

与.解：（1）如图1所示，关于原点对称；（3）如图3所示，关于x轴对称；（2）如图2所示，关于y轴对称；（4）如图4所示，关于y轴对称.图1图2图3图4例2：求值：（1）sin960°；

（2）分析：先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数或先将负角转化为正角；然后再用诱导公式化到[0°，90°)范围内角的三角函数的值.

思考：观察解答过程，试着归纳求解三角函数值的步骤？诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①

化负角的三角函数为正角的三角函数；②

化为[0，2π)内的三角函数；③

化为锐角的三角函数.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数锐角的三角函数任意角三角函数求值步骤：练一练：求下列三角函数值.解：回顾：今天学习了那些诱导公式，说说它们分别有什么作用？

sin(-α)=-sinα；cos(-α)=

cosα；作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数；

sin(α±π)=-sinα；cos(