湖北黄冈市2026届高三下学期3月一模考试数学试题 含解析

年3月高三年级模拟考试数学本试卷共4页，题．全卷满分分．考试用时分钟．★祝考试顺利★注意事项：．答题前：先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．考试结束后，请将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】易知，，则.2.设复数是关于方程的一个根，则（）A.20B.15C.10D.8【答案】A【解析】【详解】由复数是关于的方程的一个根，第1页/共21页得复数是该方程的另一个根，则，所以.3.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果.【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线长，，解得，所以圆锥的侧面积为.4.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】利用诱导公式，得：，故利用二倍角公式，得：5.已知是定义在R3（）A.0B.1C.3D.【答案】C【解析】【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，所以当时有，由，得，所以，第2页/共21页所以，可得的周期是8．所以.6.函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值.【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以.由函数的图象关于点对称，得，所以.所以正实数的最小值为.7.在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（）A.5B.C.D.【答案】D【解析】E为AB近点AE在以O第3页/共21页为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值.，与的夹角为，取，同理可知，，所以，所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上，如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时，易知，所以，即的最大值为..8.已知函数的方程有且仅有4的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方第4页/共21页程有且仅有4和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解.【详解】由可得定义域为，且，当且时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以：是极大值点，；当时，；当时，；由此可作出函数的图象：令，则原方程可化为：，得或，原方程有且仅有4和对应的方程的根的总数为4个；结合的图象可得的图象：第5页/共21页由题意知以及，故，且，结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根，需满足且，即得，此时有1个解，有3个解，即.36分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.样本相关系数越大，则线性相关性越强B.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15C.随机变量的方差，期望，则D.某班30个男生的数学平均分为90420个女生的数学平均分为85650个学生的数学成绩的方差为10.8【答案】BD【解析】【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；B：该组数据共8个数据，又，因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确；C：因，由方差，期望，可得，即C错误.D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为，第6页/共21页因此方差为，即D正确.10.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（）A.B.C.D.数列的前20项和为【答案】ABD【解析】【详解】对于A，由题意可得，，，，故A正确；对于B，因为为偶数，所以，因为为奇数，所以，所以，故B正确；对于C，因为为偶数，所以，又因为为奇数，，所以，所以，所以，故C错误；对于D，数列的前项的和为，所以，故D正确.的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于AB两点，与交第7页/共21页于C，D两点（点A，C在M，N分别是弦和的中点，则（）A.设点，则的周长最小值为B.的最小值为C.的最小值为8D.和的面积之和的最小值为32【答案】ACD【解析】A：结合抛物线的定义，的周长为周长最小值，需找到点A使得最小，利用三点共线时距离最短的思路分析即可；对于B：设直线的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用焦半径公式可得的表达式，再利用基本不等式分析最小值；对选项C：表示出的坐标，再利用两点间距离公式表示出，最后利用基本不等式求最值的方法分析最小值；对选项D：利用三角形面积公式表示出和的面积之和，结合焦半径公式或联立方程后的弦长公式，将面积和转化为关于k的表达式，再利用基本不等式求最小值.【详解】对于A，，，准线方程为，点，周长为，其中，过点作垂直于准线的直线，垂足为，由抛物线定义知，第8页/共21页则周长为,当最小时，周长最小，所以当在一条直线上时，最小，最小长度为，所以周长最小值为，故A正确；对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，联立，即，设，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C，直线的斜率为，的方程为，以代换中的k，得，设，得，，、分别是弦和弦的中点，所以，，，而，，则，即，的最小值为8，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，由抛物线定义得，，，，，和面积之和为第9页/共21页当且仅当，等号成立，所以和面积之和的最小值为32，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.设函数，则曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【详解】因为，所以.求导得，有，曲线在点处的切线方程为，即.13.在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________．【答案】【解析】【详解】的所有可能取值为，从边长为1的正方体的8个顶点中，任取两点可得条线段，其中长度为1的线段有12条，长度为的有12条，长度为的有4条，因此，所以的期望14.在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点第10页/共21页，分别满足，，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】分别求出点，的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案.【详解】设，，∵，∴，点的轨迹为．又，则，，即，化简得点的轨迹为．在平面直角坐标系中作出，轨迹，设点轨迹与轴两个交点分别为，点轨迹为圆，圆心为，半径，且与轴两个交点分别为，如下图所示，结合图象得：，又，，所以．第11页/共21页四、解答题：共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求；（2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积．法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解.【小问1详解】由正弦定理知．∴，∵，∴，∴，，∴．【小问2详解】法一：由（1）知，，∴．∴，∴，∴．法二：由（1）知，，∴．由正弦定理可得．∴．16.为菱形，，，平面第12页/共21页，分别在棱，上，且．（1）求证：；（2）若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得，结合菱形对角线垂直及推出平面，进而平面，从而，由中点性质即得.（2）由及第一问知底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利用与平面所成的角为60°PPCD的法向量以确定点A关于该平面的对称点M，最后通过平面PAB的法向量计算点M到该平面的距离.【小问1详解】证明：连，相交于点，连．∵底面为菱形，∴且．又平面，平面，平面平面，∴，∴，又，而．∴平面，又，∴平面，而平面，∴，，为等腰三角形，即．第13页/共21页【小问2详解】若，则，由（1）知，∴平面，以为原点以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系，又，∵，则，，，，∵，，∴平面，与平面所成的角为60°，∴，∴，∴．∴，，．设平面的法向量为则取，，，∴，设，，则，到平面的距离相等，，∴．又，∴，解得，设平面的法向量为，∵，．则取，，，∴，第14页/共21页则点到平面距离为．17.抽屉里有相同规格的3块充电电池和2电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．（1）求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；（22次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求．【答案】（1）（2）．【解析】1）根据条件概率公式计算可得；（2）方法一：先利用乘法概率公式求得第次恰好抽到第一块干电池，第次恰好抽到第二块干电池的概率，然后利用等比数列求和公式求解即可；方法二：根据题意可得递推关系，再用定义法证明等比数列，进而利用等比数列通项公式求解即可.【小问1详解】记第1，2次取出的是干电池的概率分别为，，，，在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为.【小问2详解】方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，第15页/共21页用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变．记第次恰好抽到第一块干电池，第次恰好抽到第二块干电池的概率为，则，∴.方法二：“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池．当第1次抽到充电电池时：此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，当第1次抽到干电池时，仅第1次与第次抽到干电池：此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，∴，．，．∴，∴，∵，∴是以为首项为公比的等比数列，∴，∴，当时该式也成立．故所求概率为，．第16页/共21页18.已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．（1）求的标准方程；（2）若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）设，求的最小值．【答案】（1）（2．【解析】1及，即可得到椭圆的标准方程；（2表示，即可证的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值．【小问1详解】由题意有，所以.设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.又，所以.第17页/共21页所以，即，解得.所以，，故的标准方程为．【小问2详解】（ⅰ）设，，，则，由题意有．直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程.所以，又，在椭圆上，∴，∴.∴，∴.（ⅱ）∵，而，，由（ⅰ）知，∴，又，∴，∴.当且仅当，即时等号成立.所以．的最小值为．第18页/共21页19.已知函数，．（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，证明：在上存在2个不同的零点，且；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调性，求出函数最值；（2）根据函数零点与函数导数之间的关系，进而求出函数单调性，根