第8章 实数（知识+5大易错+）（知识清单）（解析版）-人教版(2024)七下

第八章实数知识清单01、算术平方根、平方根、立方根项目算术平方根平方根立方根定义如果一个正数x的平方等于a（即x2=a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。如果一个数x的平方等于a（即x2=a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根）如果一个数x的立方等于a（即x3=a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。表示方法a（读作“根号a”）±a（读作“正负根号a3a（读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3被开方数范围a≥0a≥0任意实数性质非负性：a≥0（双重非负：a≥0且a≥0）。2.唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。1.正数有两个平方根，它们互为相反数。2.0的平方根是0。3.负数没有平方根。1.每个实数都有且只有一个立方根。2.正数的立方根是正数。3.负数的立方根是负数。4.0的立方根是0。重要公式(a)2=a(a≥0)a2=(3a)3=a；3a3=知识清单02、实数的概念与分类1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。2.实数的分类按定义分类：实数有理数按性质分类：实数正实数知识清单03、实数的性质与运算1.基本性质相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。绝对值：|a|=a倒数：非零实数a的倒数是1a2.实数与数轴一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数>0>负数。3.实数的运算运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。常用计算口诀：平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。算术根：非负数，它本身；双重非负要记准。立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。易错点1与算术平方根有关的规律探究题易错总结1.忽略取值范围：误认为负数有算术平方根，或忽略被开方数必须非负的前提条件。2.规律概括片面：仅观察小数点移动方向，忽略位数对应关系（每移动两位，算术平方根移动一位）。3.近似值误用：对非完全平方数的算术平方根，估算时未注意夹逼范围。注意事项-明确定义域：任何情况下先确保被开方数≥0。-观察位数关系：被开方数小数点每移动两位，算术平方根移动一位（同向或反向）。-双重验证：规律发现后，至少代入两组数据验证合理性。【例1】（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题．…0.00010.01110010000……0.011100…(1)上表中，_________，_________．(2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题．①已知，则_________；②已知．若，则_________（用含的代数式表示）．(3)用语言概括你所发现的规律．【答案】（1）0.1

10（2）①22.36

②（3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位．【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键；（1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值；（2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系；（3）简单概括观察得到的规律．【详解】（1）解：由表格可知：，，则，．（2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的；∴是的10倍；∴；②∵264.6是2.646的100倍∴b是a扩大10000倍得到的∴．（3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位．【变式】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律：，，，，实践探究：(1)按照此规律，①计算：_____；②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）；(2)计算：．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键．（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案；②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是；（2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可．【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么，故答案为：；②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，那么第个式子是，故答案为：；（2）解：易错点2与立方根有关的规律探究题易错总结1.位数关系混淆：误用平方根的“两位对一位”规律，立方根应为被开方数小数点每移动三位，立方根移动一位。2.符号处理不当：忽略负数的立方根仍为负数（3-3.近似值估算失误：对非完全立方数，夹逼时未准确考虑立方运算的整数范围。注意事项-明确位数规律：牢记“三位对一位”的小数点移动关系。-符号一致性：负数开立方结果保持负号，不必加绝对值。-多例验证：用2-3组正负数据验证发现的规律。【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察规律并回答下列问题：，，，…．(1)______，______；(2)若，，则______；（用含的代数式表示）(3)当时，根据上述规律比较与的大小关系．【答案】(1)，(2)(3)当时，；当时，；当时，【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键．（1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得；（2）根据上述规律和可得，由此即可得；（3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得．【详解】（1）解：∵，∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，∴，，故答案为：，．（2）解：∵，，且，∴，∴，故答案为：．（3）（3）由题意知，，．①当时，；②当时，，此时；③当时，．综上，当时，；当时，；当时，．【变式】（25-26八年级上·河南平顶山·月考）观察下列式子：①；②；③；④．根据上述等式反映的规律，回答下列问题：(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：；(2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立；(3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根．【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)(3)【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）观察题干的过程，即可作答．（2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答．【详解】（1）解：依题意，（答案不唯一）（2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立；故答案为：，（3）解：∵与的值互为相反数，∴，解得，∴x的立方根是．易错点3无理数整数部分的有关计算易错总结1.估算不准确：对无理数的大小范围估算不准，导致整数部分判断错误。2.忽略小数部分非负：误认为无理数的小数部分可为负，正确应为0≤小数部分<1。3.运算后混淆：对含无理数的式子求整数部分时，未先确定无理数部分的范围。注意事项：-确定范围：利用完全平方数（立方数）夹逼出无理数在哪两个整数之间。-明确关系：无理数=整数部分+小数部分（小数部分∈[0,1)）。-整体处理：对复合式子，先化简再分别确定整数和小数部分。【例3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，，所以，，即，，所以，的整数部分是2，小数部分为．解答问题：(1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分；(2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值．【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为(2)6【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值．（1）根据题干中的方法即可求出结果；（2）根据题意可得，，，再进一步计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，即，∴的整数部分是3，小数部分为．（2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分，∴，，，∴.【变式】（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：(1)的整数部分是________，小数部分是________；(2)的整数部分是________，小数部分是________；(3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值．【答案】(1)2

(2)4

(3)【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键．（1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；（2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；（3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算．【详解】（1）解：且∴的整数部分是；小数部分是．（2）解：，，且，，，，且，，，的整数部分是，小数部分：．（3）解：，，，，．易错点4与实数有关的规律探究题易错总结1.分类讨论遗漏：探究数轴点运动或规律排列时，忽略正负情况或周期性边界。2.循环周期误判：对循环小数、根式数列的周期长度或起始点判断错误。3.表达式概括不全：通项公式未涵盖所有项，或符号规律表达有误。注意事项：-先找周期：观察数据重复出现的长度，确定周期后再推一般项。-分段处理：对复杂规律，先分类再综合。-多验证几项：用前3-4项检验规律表达式的正确性。【例4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③(1)请写出第④个等式：_________；(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）(3)根据上述规律计算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键．（1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可；（2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可；（3）根据（2）中规律化简即可．【详解】（1）解：∵①；②；③根据以上规律可得第④个等式是：．（2）解：根据以上规律可得第n个等式是：．（3）解：．【变式】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式：第1个等式：

第2个等式：第3个等式：

第4个等式：……根据以上规律，解决下列问题：(1)直接写出第5个等式：______．(2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______．(3)利用上述规律化简：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律．（1）由前几个等式的规律，即可得到答案；（2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案（3）根据规律化简，再计算即可．【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：，故答案为：；（2）解：∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，，∴第n个等式是：，故答案为：；（3）解：．易错点5与实数有关的新定义型问题易错总结1.定义理解不透：未准确理解题目临时规定的新运算规则，常按常规运算直接计算。2.运算顺序混淆：新定义常结合混合运算，忽略括号和运算优先级易出错。3.分类讨论遗漏：新定义涉及绝对值、取整等情况时，未按不同范围分类讨论。4.逆向思维不足：已知计算结果反求参数时，不会逆用新定义建立方程。注意事项：-严格套用规则：将新定义转化为常规运算再计算，不要凭经验猜测。-注意运算顺序：先括号内，再乘方，最后乘除加减。-全面考虑情况：遇到分段定义，逐一讨论求解并检验。-多练常见类型：如“a※b=ab+a-b”类问题，熟能生巧。【例5】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料：材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，；材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对．(1)计算：．(2)下列数对是“望一”数对的有，是“望音”数对的有．（填序号）；；；；．(3)计算的值．【答案】(1)；(2)；；(3)．【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义．（）根据题干中给出的信息进行计算即可；（）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可；（）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，∴是“望音”数对；，∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对；，∴是“望一”数对；∴是“望一”数对；，∴是“望音”数对；故答案为：；；（3）解：由，，；，，，，；，，，，，；；，，∴，设，∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为；当是完全平方数时，设（为正整数），则，∵是偶数，∴必为偶数，此时，∴该项的值为，因此，我们只需计算原式中值为的项的个数，∵且，∴，又∵为偶数，∴可取，的个数为个，∴原式的值为．【变式】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题：(1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________；(2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值；(3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”．【答案】(1)，(2)或3(3)【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键．（1）根据湘一区间的概念求解即可；（2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可；（3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可．【详解】（1）解：∵，∴的“湘一区间”是；∵，∴，∴根据题意，无理数的“湘一区间”是；（2）解：由题意，得，，∴∴，∵a为正整数，∴或，当时，；当时，；（3）解：由题意，可知和有意义，∴，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∵，，，∴的“湘一区间”是．一、单选题1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知，则n的小数部分是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分．【详解】解：，又∵，∴，∴的整数部分为6，∴小数部分为．故选：D．2．（24-25七年级下·云南普洱·期末）一组按规律排列的式子：第个式子是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键．通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案．【详解】解：第1个式子：；第2个式子：；第3个式子：；第4个式子：；综上所述，该组式子的规律为：，故选：B．3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可．【详解】解：∵，……∴，∴．故选：C．4．（24-25七年级下·全国·期中）对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（

）A．256 B．255 C．225 D．224【答案】B【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答．【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作，∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意；B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作∴255需要进行3次操作才变为1；C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作，∴225需要进行3次操作才变为1；D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作，∴224需要进行3次操作才变为1；∵，∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255．故选：B．二、填空题5．（25-26七年级下·全国·周测）设的整数部分为，的整数部分为，则．【答案】6【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可．【详解】解：∵，即，∴的整数部分；∵，即，∴的整数部分；则．故答案为：．6．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则．【答案】【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键．利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可．【详解】解：，．故答案为：．7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）定义运算“@”的运算法则为：，则．【答案】7【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算．【详解】解：∵∴∴．故答案为：7．8．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算．【答案】【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解．【详解】解：原式故答案为：．三、解答题9．（25-26八年级上·江西吉安·期末）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答：(1)的整数部分__________；(2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值．【答案】(1)2(2)【分析】本题考查了无理数的估算．（1）先估算出所在的范围，进而作答即可；（2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴的整数部分为2；故答案为：2；（2）解：∵，∴，∴的整数部分为3，小数部分为，∴，∴．10．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数．(1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________；(2)若与是关于的对称数，求的值．(3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数．【答案】(1)0(2)5(3)是关于7的对称数【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义可得，解方程即可得到答案；（2）根据新定义可得，解方程即可得到答案；