2022初等数论期末抱佛脚专用题库及高频考题答案

2022初等数论期末抱佛脚专用题库及高频考题答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.若a,b,c均为整数，且a=2b，b=3c，则a与c的关系是（）A.a=6cB.a=5cC.a=4cD.a=3c2.100以内能被3整除的正整数有（）个。A.30B.31C.32D.333.下列数中，与18互质的是（）A.21B.25C.27D.304.方程3x+5y=11的整数解（x,y）为（）A.x=2,y=1B.x=1,y=2C.x=3,y=0D.x=0,y=35.72的正约数个数为（）A.8B.9C.10D.126.若a≡b（modm），则下列式子错误的是（）A.m|(a-b)B.a=b+km（k∈Z）C.a和b被m除余数相同D.a-b＞m7.同余方程x²≡1（mod3）的解为（）A.x≡1（mod3）B.x≡2（mod3）C.x≡1（mod3）或x≡2（mod3）D.无解8.1到100中，既是2的倍数又是3的倍数的数有（）个。A.15B.16C.17D.189.已知a=12，b=18，则（a,b）为（）A.2B.3C.6D.1210.560除以9的余数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总共10题，每题2分)1.12和18的最小公倍数是______。2.能同时被2、3、5整除的最小三位数是______。3.36的所有正约数之和为______。4.若a=16，b=24，则[a,b]=______。5.同余方程2x≡3（mod5）的解为x≡______（mod5）。6.10以内的质数有______。7.若a≡3（mod7），b≡5（mod7），则a+b≡______（mod7）。8.7的负整数同余类有______个。9.15和20的最大公因数是______。10.一个数除以8余3，除以9余4，这个数最小是______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.任意两个整数的和、差、积都是整数。（）2.若a|b，b|c，则a|c。（）3.两个连续正整数一定互质。（）4.方程x²+y²=z²的正整数解有无穷多组。（）5.同余关系是等价关系。（）6.一个数的正约数个数一定是偶数。（）7.若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm）。（）8.所有偶数都是合数。（）9.两个数的最小公倍数一定大于这两个数。（）10.若a≡b（modm），则a²≡b²（modm）。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述整除的定义及性质。2.用辗转相除法求(248,168)。3.求解同余方程3x≡5（mod7）。4.简述中国剩余定理的内容。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.讨论如何判断一个较大整数是否为质数。2.谈谈你对同余概念在密码学中的应用理解。3.讨论两个整数的最大公因数与最小公倍数之间的关系。4.举例说明初等数论在生活中的实际应用。答案1.单项选择题答案-1.A-2.D-3.B-4.B-5.D-6.D-7.C-8.B-9.C-10.D2.填空题答案-1.36-2.120-3.91-4.48-5.4-6.\(2,3,5,7\)-7.1-8.7-9.5-10.673.判断题答案-1.√-2.√-3.√-4.×-5.√-6.×-7.√-8.×-9.×-10.√4.简答题答案-1.整除定义：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，就称b整除a或a被b整除，记作b|a。性质：若a|b，a|c，则a|(b±c)；若a|b，b|c，则a|c；若a|b，则对任意整数c，a|bc等。-2.248=1×168+80，168=2×80+8，80=10×8，所以(248,168)=8。-3.因为3x≡5（mod7），所以3x=5+7k（k∈Z），x=(5+7k)/3，当k=1时，x=4，所以x≡4（mod7）。-4.中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是两两互质的正整数，b1,b2,…,bk是任意整数，则同余方程组x≡b1（modm1），x≡b2（modm2），…，x≡bk（modmk）有唯一解。5.讨论题答案-1.可以用试除法，用小于该整数平方根的所有质数去除该整数，如果都不能整除，则该整数是质数。还可以利用一些质数判别法，如费马小定理等进行判断。-2.同余概念在密码学中用于加密和解密过程。例如RSA算法，通过对明文进行模运算，利用同余的性质实现加密，接收方再利用同余相关知识进行解密，保证信息安全。-3.两个整数a,b，它们的最大公因数