人教版初中数学九年级下册《27.1 图形的相似》第一课时教案

人教版初中数学九年级下册《27.1图形的相似》第一课时教案

一、设计思想与理论依据

本节课程的设计，以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向为根本遵循，深度融合建构主义学习理论、具身认知理论以及UbD（理解性教学设计）理论框架。教学不再停留于对“相似”概念的浅层识记与简单辨认，而是致力于引导学生在真实、复杂的情境中，通过观察、操作、猜想、验证、推理、交流等一系列数学化的活动，自主建构“相似图形”的数学本质——即形状相同这一核心属性，并深刻理解其与“全等图形”的承续与发展关系。

设计强调跨学科视野的融入，将数学中的相似原理与艺术（绘画、摄影）、地理（地图绘制）、工程（模型制作）、生物（分形结构）等领域建立有机联系，展现数学作为基础学科的工具性与文化性。同时，依托信息技术深度整合（如动态几何软件、图像识别技术），实现图形从静态到动态、从特殊到一般的可视化探究，突破抽象思维难点，促进学生对相似变换（缩放）的直观感知与理性思考。整个教学过程以问题链驱动，以探究任务为载体，注重培养学生的几何直观、空间观念、抽象能力以及推理意识，指向深度学习与高阶思维的培养。

二、教学内容与教材分析

本节课是人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”的起始课。全章学习内容承前启后：“前”承接九年级上册“旋转”等图形变换及八年级的“全等三角形”，“后”开启比例线段、相似三角形判定与性质、位似变换等一系列核心知识，是学生从研究图形的全等（保距变换）深入到研究图形的相似（保角变换，缩放变换）的关键转折点。

本节“相似图形”作为全章知识的序言和基础，核心任务在于建立“相似”的初步概念。教材通过呈现生活中大量丰富的图形实例（如大小不同的国旗、照片、地图等），引导学生观察、比较，归纳出相似图形的本质特征——形状相同，大小不一定相同。这一定义是描述性的、直观的，旨在为学生提供一个清晰可感的认知起点。然而，要达到“最高水准”的教学，不能止步于此。教师需深入挖掘，引导学生初步感知“形状相同”背后隐含的几何结构关系：即对应角相等，对应边成比例。虽然本节课不要求学生严格证明或应用这一性质，但通过测量、估算等探究活动，让学生对其有直观的、萌芽状态的认识，能为后续学习埋下伏笔，实现知识的螺旋式上升。

教学重点与难点分析：

1.教学重点：相似图形概念的形成过程；能根据概念识别相似图形，理解“形状相同”是本质属性。

2.教学难点：从“形状相同”这一直观描述，向“对应角相等，对应边成比例”这一数学本质的初步抽象与过渡；辨别复杂图形、非多边形图形的相似性。

三、学情分析

九年级下学期的学生具备以下认知基础与特点：

1.知识储备：已经系统学习了平面几何中三角形、四边形等基本图形的性质；掌握了“全等图形”的概念（形状相同、大小相同），并能进行简单的全等判定；具备基本的尺规作图能力和测量技能；在函数学习中初步接触了变量与比例关系。

2.思维特征：处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备一定的观察、归纳和推理能力，但对高度抽象的几何关系仍需直观支撑。他们对“形状”有丰富的感性认识，但将感性的“形状相同”精确化为数学语言存在困难。

3.潜在困难与迷思：

1.4.易将“形状相同”等同于“看起来差不多”，缺乏精确标准。

2.5.可能将“相似”与“全等”混淆，或认为相似只是“不全等的图形”。

3.6.对于非标准图形（如云朵、树叶轮廓）或复杂组合图形，判断其相似性时容易出错。

4.7.对“大小不同”但“形状相同”的图形中所隐含的“缩放”变换过程缺乏动态想象。

8.学习动力：对与现实生活紧密相关的数学内容感兴趣，乐于动手操作和利用技术工具进行探索，享受通过自身努力发现规律的成就感。

基于以上分析，本设计将通过创设多元化情境、提供结构化探究工具、搭建循序渐进的思维阶梯，帮助学生顺利实现概念的建构与内化。

四、教学目标

基于核心素养导向，设定如下三维目标：

【知识与技能】

1.通过大量生活实例和数学实例，经历相似图形概念的抽象过程，能准确说出相似图形的定义。

2.能够根据定义识别给定的两个图形是否相似，并能举出生活中的相似图形例子。

3.在探究活动中，通过测量、计算，初步感知“相似图形对应角相等，对应边成比例”这一核心性质（为后续学习做铺垫）。

【过程与方法】

1.经历“具体实例观察—共同特征归纳—本质属性抽象—定义表述—辨析应用”的完整概念形成过程，提升数学抽象和概括能力。

2.通过小组合作，利用测量工具和动态几何软件进行实验探究，发展几何直观、数据分析能力和合情推理能力。

3.在辨析相似与全等关系的过程中，学会运用比较、类比、分类的数学思想方法。

【情感态度与价值观】

1.感受相似图形在现实世界中的普遍性和美学价值，体会数学来源于生活又服务于生活。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的信心。

3.通过了解相似原理在科技、艺术等领域的广泛应用（如地图、模型、影视特效），认识数学的文化价值和应用价值，激发进一步探索的兴趣。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（内含高清图片、动画、互动环节设计）。

2.3.Geogebra动态几何软件课件，预设可拖拽缩放的一组相似图形（如三角形、四边形、圆、心形线等）。

3.4.实物教具：大小不同的两幅中国地图（纸质或泡沫板）、同一底片冲洗出的不同尺寸照片、一组相似的三棱柱模型。

4.5.探究活动学案（含图形、表格、引导性问题）。

5.6.小组评价量表。

7.学生准备：

1.8.直尺、量角器、方格纸。

2.9.课前分组（4人异质小组）。

3.10.预习任务：寻找生活中的“形状相同，大小不同”的物体或图片，并尝试思考如何描述它们的“形状相同”。

六、教学过程实施

（一）情境导入，感知“相似”（预计时间：8分钟）

活动1：跨学科视角下的“形似”现象

1.视觉艺术中的“形”：课件展示一组图片：达芬奇《维特鲁威人》的手稿与基于其原理的现代设计图；故宫太和殿的实物与微缩模型；同一山峰的不同焦距摄影作品。提问：“这些成对的物体/图片，给你的第一感觉是什么？”（引导学生说出“样子一样”、“形状相同但大小不同”等描述）。

2.地理信息中的“形”：教师出示两幅比例尺不同的中国地图（如1:1000万和1:5000万），请学生观察轮廓。提问：“这两幅地图，哪个要素是绝对相同的？”（中国疆域的轮廓形状）。追问：“是什么导致了它们大小不同？”（比例尺，即缩放的倍数）。

3.数学承续中的“形”：课件快速闪现一组全等三角形。提问：“这是我们学过的什么关系？”（全等）。接着，将其中一个三角形动态放大。提问：“现在它们还全等吗？它们之间有什么新的关系？”

4.引出课题：教师总结：“像这样，形状相同，但大小不一定相同的图形，在数学上我们称之为‘相似图形’。今天，我们就一同走进相似图形的世界，探索它的奥秘。”【板书课题：27.1图形的相似】

【设计意图】从艺术、工程、地理等多领域选取典型实例，打破学科壁垒，让学生直观感受到“相似”现象的普遍性与重要性。通过与“全等”的对比，建立知识联系，明确本节课的学习是已有知识的自然延伸与发展，激发探究欲望。

（二）操作探究，归纳特征（预计时间：15分钟）

活动2：从“感觉像”到“验证像”——探究相似多边形的初步特征

1.任务发布：各小组领取学案，学案上印有三组图形：

1.2.组A：两个大小不同的正方形。

2.3.组B：一个正方形和一个长方形（长宽比不同）。

3.4.组C：两个大小不同的等边三角形。

4.5.组D：一个任意三角形和一个通过放大得到的与之相似的三角形（在方格纸上呈现）。

6.探究指引：

1.7.步骤一（直观判断）：观察每组图形，凭感觉判断它们的“形状”是否相同。

2.8.步骤二（数据验证）：使用工具（直尺、量角器、方格纸）进行测量和计算。填写表格：

图形组

对应角是否相等？

对应边长度

对应边比值关系（估算）

我们的结论（是否相似）

组A

组B

组C

组D

***步骤三（归纳发现）**：比较组A、C、D（相似）与组B（不相似）的数据，讨论：两个多边形形状相同（相似），它们的角和边可能有什么数学关系？

3.小组活动：学生分组探究，教师巡视指导，重点关注学生测量方法的规范性、数据处理的准确性，并引导他们关注“对应”关系。

4.交流分享：请两个小组代表汇报他们的发现（一个汇报相似组，一个汇报不相似组）。

*预计学生能发现：形状相同的图形（组A、C、D），它们的对应角都分别相等；对应边的长度虽然不同，但它们的比值似乎相同（或非常接近）。而形状不同的图形（组B），对应角不都相等，对应边比值也不同。

*教师利用Geogebra动态演示：拖拽改变一个多边形的形状，实时显示对应角、对应边比例的数据变化。当图形被“缩放”时，数据清晰地显示“对应角不变，对应边成固定比例”；当图形被“扭曲”时，数据立即变化。【板书核心发现：相似图形→对应角相等，对应边成比例】

【设计意图】此环节是概念建构的核心。让学生从感性判断走向理性验证，亲身经历通过数学工具（测量、计算）来精确描述“形状相同”的过程。表格的设计提供了思维的脚手架。Geogebra的动态验证，将学生的实验猜想转化为精确、直观的数学结论，极大地增强了结论的可信度，并为后续相似三角形的判定定理学习奠定了坚实的经验基础。此过程充分体现了“做中学”、“思中学”。

（三）抽象定义，辨析概念（预计时间：10分钟）

活动3：给“相似”一个数学定义

1.自主归纳：基于以上探究，教师提问：“现在，你能尝试用自己的语言，给‘相似图形’下一个定义吗？”鼓励学生用两种方式描述：一种是生活化描述（形状相同，大小不一定相同），一种是数学化描述（对应角相等，对应边成比例）。

2.规范定义：教师呈现教材中的规范定义：“形状相同的图形叫做相似图形。”并强调，对于多边形而言，“形状相同”的数学本质就是“对应角相等，对应边成比例”。【板书定义】

3.概念辨析（深化理解）：

1.4.辨析1：全等与相似的关系。提问：“全等图形是相似图形吗？为什么？”引导学生得出：全等图形一定相似（形状相同，且对应边比为1:1），但相似图形不一定全等。【板书：全等⊂相似】

2.5.辨析2：圆的相似。利用Geogebra展示两个大小不同的圆。提问：“这两个圆相似吗？如何用我们今天学的方法来验证？”引导学生思考：圆没有角，如何定义“对应角”？但任意两个圆，无论大小，其形状都是“圆”，通过缩放总能完全重合其轮廓。因此，圆都相似。这引出一个重要观点：相似的定义适用于一切图形，而“对应角相等…”是多边形相似的特征性质，是判断方法，不是普适定义。

3.6.辨析3：复杂图形判断。展示一组卡通形象（如大小不同的米老鼠轮廓）。提问：“它们相似吗？”学生可能犹豫。教师引导：可以将复杂图形分解为基本的曲线和折线组合来思考其形状是否一致。

【设计意图】从具体探究上升到抽象定义，完成概念形成的“最后一公里”。通过辨析三个关键问题，深化对概念外延与内涵的理解：辨析1厘清了知识脉络；辨析2突破了多边形特征的局限，回归“形状相同”的本质，体现了数学的严谨与包容；辨析3训练学生在复杂情境中应用概念的能力。

（四）应用拓展，链接生活（预计时间：7分钟）

活动4：寻找身边的相似

1.课堂快搜：学生根据定义，在教室或自己的学习用品中快速寻找相似图形的例子。（如：课本封面与练习本封面、窗户的格子、相同图案的邮票等）

2.技术体验：教师演示手机拍照中的“缩放”功能，或图片编辑软件中的“等比例缩放”功能。解释其背后的数学原理就是相似变换。

3.前沿窥探：简短介绍“分形”艺术（如曼德博集）和计算机图形学中的“模型缩放”、“纹理映射”技术，指出其核心数学基础之一就是相似与比例。提问：“如果游戏里的人物模型放大后只是简单拉扁拉高，会有什么问题？”（形状改变，不相似，失去真实感）。

【设计意图】将数学概念还原于生活与科技场景，完成“从生活中来，到生活中去”的闭环。技术体验和前沿窥探旨在激发学生的好奇心和未来学习兴趣，让他们看到抽象的数学概念是如何支撑起现代数字世界的。

（五）反思总结，体系初建（预计时间：5分钟）

1.反思收获：引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.2.知识：我今天学到了相似图形的定义是……，它与全等的关系是……。

2.3.方法：我学会了通过______和______的方法来判断和验证图形的相似。

3.4.思想：我体会到了从具体到抽象、类比、分类等数学思想。

5.体系建构：教师利用思维导图的形式进行课堂总结，将“相似图形”置于“图形关系”的大框架下，与“全等”、“重合”、“包含”、“相交”等关系并列，初步构建本章的知识体系图景。

6.悬疑引新：提问：“我们今天主要用测量和计算来探究多边形的相似，但这种方法每次都方便吗？如果有一个巨大的三角形广告牌和一个它的设计图纸，我们无法直接测量所有边角，该如何判断它们是否相似呢？这就是我们下节课要解决的有趣问题。”

【设计意图】总结不仅回顾知识，更关注学习过程和思想方法的提炼，促进元认知发展。思维导图帮助学生建立结构性认知。最后的设问为下节课“相似三角形的判定”制造悬念，保持学习动力。

七、分层作业设计

1.【基础巩固层】（必做）

1.2.人教版教材本节后练习题。

2.3.请列举家庭中存在的3对相似图形，并简要说明理由。

4.【能力拓展层】（选做）

1.5.探究题：一张A4纸（长297mm，宽210mm）对折后得到A5纸。它们相似吗？请通过计算验证。你发现了什么规律？（涉及√2比例，与印刷标准关联）。

2.6.创作题：利用方格纸，画出一个你喜欢的简单图形（如小船、房子），再画出它的一个相似图形（放大或缩小），并标出你认为的对应点。

7.【挑战创新层】（供学有余力者选做）

1.8.研究题：上网查找“黄金矩形”，了解其定义。说明所有黄金矩形都是相似图形。思考它在艺术和建筑中的应用。

2.9.编程/技术体验：如果会用Scratch或Python的turtle库，尝试编写一个程序，绘制一个图形（如正方形螺旋），并能通过输入一个比例系数，生成它的相似图形。

八、板书设计

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