6.3.1平面向量基本定理能力提升同步练习 高中数学人教A版（2019）必修第二册

第六章6.3.1平面向量基本定理能力提升--人教版A版必修第二册一、单选题1．如图，在中，，则（

）A．18 B．9 C．12 D．62．在平行四边形ABCD中，，，则（

）A． B．C． D．3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若，，则（

）A． B． C． D．4．在中，，，直线DE与直线BC交于点F．设，，则＝（

）A． B． C． D．5．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则等于（

）A． B． C． D．7．如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．–38．在中，，，，若点满足，则（

）A． B． C．1 D．二、多选题9．已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（

）A．2 B． C． D．110．如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（

）A． B．C． D．11．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．12．正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（

）A．向量，夹角的余弦值是B．若，则C．若，则D．若，非零向量，则的最小值为三、填空题13．在△ABC中，点D满足，若，则________．14．在平行四边形ABCD中，点E满足，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且，则______．15．已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．16．已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．四、解答题17．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，求.参考答案：1．D【分析】根据向量的加减运算及数量积的定义、运算性质求解即可.【详解】，即，，.故选：D2．C【分析】设，，将，，都用，表示，设，解出m，n.【详解】设，，因为，所以，因为，所以，设，则，，解得，，即.故选：C.3．C【分析】根据向量的运算法则得到，，得到答案.【详解】，，故.故选：C4．C【分析】根据题意，可得，再由三点共线，利用共线定理求解即可.【详解】如下图所示：由题可知，，由共线定理可知，存在实数满足，又因为，所以，因此，又与共线，所以，解得，则.故选：C.5．B【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.【详解】解：如图，因为点为的中点，，所以，，，所以，即，解得所以，的值为.故选：B6．B【分析】根据平面向量的线性运算和基本定理运算求解.【详解】解：如图，因为，所以,又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，在平面四边形中，,所以且所以相似于相似比为，所以,,所以，故选:B.7．C【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：C.8．C【分析】根据向量的数量积公式和向量转化为基地进行表示即可求解.【详解】.故选：C.9．CD【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解．【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，则，，所以，则点P的坐标为．由题意可知，，则，易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以，即，即，即，易知，故．因为，，所以，所以，得，结合，可得．故选：CD．10．BC【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项.【详解】三点共线，设，三点共线，设，A选项：，，∴，解得，，所以A选项错误；B选项：由，得，三点共线，则，即，得，即，有，得，所以B选项正确；C选项：，所以C选项正确；D选项：，所以D选项错误.故选：BC11．BCD【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设三点共线，O为线外一点，则，即与前系数和为1，证：三点共线，，，．，故A错；三点共线，，三点共线，，，解得，，∴F为BE的中点，，故B对；，，，故C对；取AB中点G，BC中点H，如下图，则三点共线，，故D对．故选：BCD．12．AD【分析】选项A可以通过图形分析；选项B可以通过向量的基底运算求以及求的值；选项C可以利用选项B中的结论计算；选项D中可以通过表示出，然后两边同时平方计算出，发现可以表示成关于的二次函数，从而求出的最小值【详解】因为O，A，B，C是该正六角星的顶点，所以，即向量，夹角的余弦值是，故A正确；因为，则若，，故B错误；因为，故C错误；因为，所以，令，所以，即当时，所以的最小值为，故D正确故选：AD13．【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值，即可求出答案.【详解】由，得，所以，即，所以，所以，，故．故答案为：.14．【分析】由已知可得可得答案.【详解】在平行四边形ABCD中，点E满足，且O边AB中点，所以E是边DC离近C的三等分点，可得，，所以又，所以，故答案为：.15．【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得、、都可用基底、表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得，将、代入中计算即可.【详解】设AC=b，AB=c，则，∵D为边BC的中点，∴，∴，即：，①又∵，当且仅当时取等号.②∴由①②得：.又∵E、F分别为BD、DC的中点，∴，，∴，当且仅当时取等号.∴的最大值为.故答案为：.16．【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．由数量积的几何意义，可得，．依题意有，即．同理，即．将两式相加得，所以．故答案为:.17．(1)(2)存在，【分析】（1）由题意得，结合即可得解；（2）由，求解即可.【详解】（