安徽安庆市桐城市杨公中学等校2025-2026学年下学期“徽聚百强”高二年级寒假开学学业检测数学A(含答案)

2026年“徽聚百强”高二年级寒假开学学业检测数学(A)本试卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息,将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑,非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.已知数列an的首项为a1,对于任意的n∈N∗都有an+2−anA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.直线y=x−A.−π4B.π6C.3.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1A.1B.63C.434.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A,B，点P是C上异于A.y=±12xB.y5.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=2026,且a2025a2026<−A.4050B.4051C.4052D.40536.已知实数b>0,若对任意的x∈R,x2A.469B.8697.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AD=3,AB=AA1=4,点M,N分别在四边形AA1A.35π2,C.45π2,8.已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>A.22B.2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图,在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,以顶点AA.BD1C.异面直线BA与CC1所成的角为12010.在数列an中,a1=A.数列an−B.当a=2时,数列an+1anC.当2<a<3D.当2<a<311.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,准线为l,分别过C上的点A,B作l的垂线,垂足分别为A1,B1A.若∠FA1BB.FMC.若直线AB过点F，则直线AB1与A1BD.若直线AB过点F，且A1B1=4p，则四边形三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项数列an的前n项和为Sn,a1=4，且13.已知曲线fx=x3+ax+14在x=14.记Sn为数列an的前n项和,已知a1=4,且Sn+1=4Sn+4n+1四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A0,2，点B为圆C:x2+y2−2x−3=0上的动点，(1)求过点A且与曲线E相切的直线方程；(2)若点P在直线l:x+y+216.已知函数fx(1)求fx(2)是否存在正实数a，使得fx仅有1个零点？若存在，求出a17.已知数列an的首项a1=−12(1)求证:an−(2)求数列an的前n项和S18.如图,两个正方形ABCD,ABEF的边长都是1,平面ABCD⊥平面ABEF,AM=λ(1)当λ=12时，证明:AM⊥平面(2)是否存在实数μ，使得平面AMN与平面ABN的夹角为60∘?若存在，求出μ的值；若不存在,(3)求MN的最小值.19.已知公比为qq≠0的正项等比数列an,n∈N∗,满足离心率均为2的序列双曲线Cn:x2an−y2an+1=1的方程.在C3中,点E6,0到C3一条渐近线的距离为a4,过C(1)求an(2)求直线AnB(3)当△OAnBn(O为坐标原点)的面积为6an时，直线AnBn交1.C因为an所以数列an的奇数项、偶数项分别构成等差数列,且公差均为若数列an为单调递增的数列,则a所以“an为单调递增的数列”是“a1若a1<a2<a只需证明an+1>an当n为奇数时,设n=an当n为偶数时,设n=a综上,an+1>an“an为单调递增的数列”是“a1故选:C.2.C直线y=x−1设直线y=x−1则tanθ又θ∈[0,π)即直线y=x−1故选:C.3.D建立如图所示的空间直角坐标系,则B1所以AB设平面AB1E的一个法向量为由n⋅AB1=2y+2z=则C1F⋅n=又C1F⊄平面AB1E,则所以直线C1F到平面AB1E的距离等于C1则C1到平面AB1E所以直线C1F到平面AB1E故选:D4.B由题知A−a,0,点P是C上异于A,B的一点,故x02因为kPA所以kPA因为直线PA,PB的斜率之积为C的离心率的22倍,离心率所以b2令b2a2=t即2t2−t−1=0,解得t=1或所以C的渐近线方程为y=±故选:B5.B设等差数列an的公差为d,由a2025a2026<−1a而a1>0,解得−a12024<d<−a12025,则d<0,a2025>0,a2026<0,由a2025a2026<−1和则当n≥4051时,Sn≤S4051<0,所以使得故选:B6.B由题意可知Δ=a2−42−b≤0整理得b≤2−a24,又因为b>0,所以设函数fa=2a−a34,0<a<22当0<a<263时,f′a>所以fa在0,263所以famax=f263=2故选:B7.D因为MA⊥MA1，所以△MAA所以球O的球心O在过AA1的中点且垂直于平面MA又NC⊥NC1,所以N为四边形BCC1B1内以CC1为直径,以如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为则A3,0,0因为球O的半径R=OA=ON,即y2因为0<θ<π,所以0<sinθ≤1,而球O的表面积为4πR2=4πOA2=4πy2+4,1388.B不妨设P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义可得:PF1所以PF在△PF1F2化简得2−2a12+则2−2e12则e1⋅e2≥22,则故选:B9.AD对于A:BD1=BA+对于B:因为BD所以BD==2所以BD1=22，即对于C:因为CC1//BB所以∠A1AB为异面直线BA与CC1所成的角,即异面直线BA与CC1所成的角为对于D:因为BD=所以BD⋅所以BD⊥CC1,即BD故选:AD10.BDa对于A选项,当a=1时可得an=1,所以an当a≠1，时因为an+1=2an+两式相除,得an+1−1an+1+1=对于B选项,当a=2时,故2a所以an所以数列an+1an+2131−对于C选项,当2<a<3则an则an所以a2026−1=2t对于D选项,a2令y=t⋅3=所以13y−故原式a2025即a2025+a2027故选:BD.11.BCD选项A:由抛物线的定义可知,AA1=AF,故∠A1FA=∠AA选项B:由题意知，Fp2,0，设Ax1,y1则直线FM的斜率为kFM直线AB的斜率为kAB因为kFM⋅kAB=−1选项C:当直线AB过点F时,设直线方程为x=与抛物线方程联立整理得y2−2pty−pA1−p2,y1,B令x=0,则直线AB1方程为令x=0,则故直线AB1与A1B的交点为选项D:由A1B1=4p,可得y又y1y2=−p由题意可知,四边形ABB1所以其面积为S=2p⋅y1故选:BCD.12.4正项数列an中,当n≥2时,整理得Sn−Sn−1=1,则数列SSn=n+1,当n≥2时,Sn−1所以an故答案为:413.−由fx=x3+因为f′0=a,f0=14,所以曲线设直线y−14=ax与曲线g所以−lnx0−14=ax0所以a=−故答案为:−14.nSn所以数列Sn4n是以a1所以Sn当n≥2时,显然a1=4也适合,所以λ设cn=4nn−163n+1只需λ≤cnmin所以ft由对勾函数的单调性可知:当t=4,5,6所以当t=7时,该函数有最小值,此时所以c2所以λ≤−16,因此实数λ的取值范围为故答案为:n15.(1)y=2或(2)3(1)设Dx,y,则B2x,2y−2,代入圆C由题可知切线的斜率必存在,设切线方程为y=kx+2则圆心12,1到切线距离12k−1+2∴所求直线方程为y=2或(2)设点A关于直线l的对称点为A′x则有y−2x=1曲线E的圆心为F12,1∵PA∴当且仅当P,A′,D,F四点共线时,16.(1)fx的定义域为0f①当a≤0时，因为x>0所以fx的单调递增区间为0,+∞②当a>0时,令解得x=a+a2+当x>a+a2+4a2时,f′当0<x<a+a2+4a2时,综上所述,当a≤0时,fx的单调递增区间为当a>0时,fx的单调递增区间为a+a(2)由(1)知，当a>0时，fx在在a+a当x→0时,fx→+∞,当x→+∞由题意,当fx仅有1个零点时,f令x0=a+即12化简得:2ln令gx=2lnx所以gx在0,+∞上单调递增,且所以方程∗的解为x0从而1−a−a=所以,存在满足条件的a,且a=17.(1)由an+1+a又a1−121=−1,所以数列(2)由(1)得,an−12n所以Sn18.(1)当λ=12时,AM=12AC,则连接MB,ME,在正方形ABCD中,因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE所以BE⊥平面ABCD,又AM⊂平面ABCD,所以因为BM∩BE=B,所以AM⊥平面BEM(2)以B为原点，以BA,BE,BC所在直线则A1所以AC=则AM=即AN=设平面AMN的一个法向量为m=则m⋅AM=−λx+λz=0m易得平面ABN的一个法向量为n=因为平面AMN与平面ABN的夹角为60∘所以cos60∘=cosm所以存在实数μ=2−1,使得平面AMN与平面ABN(3)由(2)知，AM=−λ,0,λ，AN=μ−则MN=所以MN=函数y=2λ2+2μ−1λ+则λ=1−μ2此时函数y=3μ2−2μ+12(看作关于则μ=13时,函数取得最小值为所以MN的最小值为3319.(1)因双曲线的离心率为2，故an+即an+1=3在C3中,由点E到C3一