菱形课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2菱形21.3.2菱形课时1菱形的性质1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.思考

如图①，我们知道当平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.如图②，如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，如图所示，这个特殊的平行四边形叫什么呢？图①图②菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.

菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗?探究1因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?四边形平行四边形菱形边角对角线对边平行且相等对边平行，四条边都相等对角相等对角相等对角线互相平分对角线互相垂直且平分你能证明这些猜想吗？每一条对角线平分一组对角猜想1：菱形的四条边都相等.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，求证：AB=BC=CD=AD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC(平行四边形的对边相等)又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，点O是BD的中点，

∴AO⊥BD，即AC⊥BD.已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.求证：(1)AC⊥BD；

(2)AC平分∠BAD和∠BCD，

BD平分∠ABC和∠ADC.猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.求证：(1)AC⊥BD；

(2)AC平分∠BAD和∠BCD，

BD平分∠ABC和∠ADC.猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.

菱形的四条边都相等.矩形的特有性质1：数学语言：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.矩形的特有性质2：

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图）.观察上面的操作，你知道其中的道理吗？菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.探究2比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？FMNEGABCDO探究2比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.ABCDEO思考

前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？尝试归纳你的发现.ABCD

O归纳：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半例3如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.

你还有其他求花坛面积的方法吗？已知菱形的两对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.

菱形及其性质定义

的平行四边形叫作菱形.性质边菱形的

；角菱形的

；对角线菱形的

，并且

.相关性质菱形的面积等于

.有一组邻边相等四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直且平分每一条对角线平分一组对角对角线乘积的一半1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（

）

A．4 B．5 C．6 D．10B

D

A4.如图，四边形ABCD是边长为13

cm的菱形，其中对角线BD长10

cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.

21.3.2菱形课时2菱形的判定1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.回顾菱形的概念和性质：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形性质菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定

与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗?

我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形.

反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.如何证明这个猜想呢？证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC平分BD，又∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.已知：在▱ABCD中，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是菱形.猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1：符号语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.思考：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ACB根据上述作法猜想，有什么条件可以判定一个四边形是菱形？并证明.

两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形.D猜想2：四条边相等的四边形是菱形.猜想2：四条边相等的四边形是菱形.证明：∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.四条边相等的四边形是菱形.菱形的判定定理2：符号语言：

∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形.分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.例4

如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.

你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗?例4

如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CF，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，AF=CF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.

由“等角的余角相等”得：∠AEO=AFO，∴AE=AF，∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AFCE是菱形.例4

如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH.求证：四边形EFGH是菱形.

菱形的判定方法定义

的平行四边形叫作菱形.判定定理1

的平行四边形是菱形.

的四边形是菱形.判定定理2四条边相等对角线互相垂直有一组邻边相等1.如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（

）A．① B．②

C．③ D．④B2.小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）A．64° B．66°

C．68° D．70°C