第六节　抛物线

抛物线第六节课程内容要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.4.理解数形结合思想.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇01由教材回扣基础1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____.相等焦点准线2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴___________________x轴y轴焦点__________离心率e=1准线方程______________范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R

续表开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|=_____

续表

澄清微点·熟记结论

(2)已知抛物线y2=2px(p>0)，过点M(2p，0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB;过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p，0).练小题巩固基础二、练牢基本小题1.已知抛物线的焦点到准线的距离是3，且焦点在x轴的正半轴上，则它的标准方程是

.

2.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

.

3.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0距离最小的点P的坐标为

.

4.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于

.

√

√

√考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一抛物线的定义及应用√[典例]

(1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=

(

)A.7

B.6

C.5

D.4

利用抛物线的定义可解决的常见问题方法技巧轨迹问题用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离问题涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化

针对训练√

√

命题视角二抛物线的标准方程(2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|=6，则C的准线方程为

.

抛物线的标准方程的求法方法技巧定义法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可待定系数法若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0)，a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论

针对训练√2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为

.

命题视角三抛物线的几何性质√(2)已知抛物线C：y2=4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|=6，则M的横坐标是

;作MN⊥x轴于N，则S△FMN=

.抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.方法技巧(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.

针对训练√

√√√思维激活—灵活不足·难得高分03

巧用性质•练转化思维——活用抛物线焦点弦的4个性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点.

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√

√(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为一个直角梯形(过焦点的弦的端点和它们在准线上的射影围成的梯形)中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用.(2)万变不离其宗，解决这类问题的根源仍然是抛物线的定义.融会贯通04课时跟踪检测√

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√

√

√

2.圆O：x2+y2=r2与抛物线Γ：y2=4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为

(

)A.2 B.4C.8 D.16解析：因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|=|DA|且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|=|DA|=2，从而|AB|=4，故矩形的面积为2×4=8.√

√

√

5.已知抛物线y2=2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为

(

)A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0√

√

√√√

三、自选练——练高考区分度1.(多选)设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(

)A.|AB|≥4B.|OA|+|OB|>8C.若点P(2，2)，则|PA|+|AF|的最小值是3D.△OAB的面积的最小值是2√√√

综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正