2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题05 圆（复习讲义）（原卷版）

专题05圆目录01析·考情目标02筑·专题框架03攻·重难考点TOC\o"1-1"\n\h\z\u考点一与圆有关的热考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型一：垂径定理及其推论综合题型二：圆周角定理与圆内接四边形综合题型三：切线的判定与性质题型四：相交弦与割线模型综合计算题型五：中点弧模型应用题型六：圆的内心与外心模型综合题型七：双切线模型（双切图）计算题型八：射影定理在圆中的应用题型九：圆与锐角三角函数综合题型十：圆的基本性质多结论判断题题型十一：弧长与扇形面积的实际应用题型十二：圆柱与圆锥的侧面展开图计算题型十三：圆与全等/相似三角形综合证明必备知识知识1圆的基本性质知识2切线相关知识3与圆有关的计算命题预测考点二与圆有关的压轴题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）真题动向题型一圆中线段和差最值问题题型二圆与坐标系综合应用题型三圆中的动点轨迹与最值问题题型四圆的存在性问题题型五圆的折叠与旋转综合变换问题题型六圆与函数（一次、二次函数）综合压轴题型七圆的新定义与阅读理解题命题预测命题透视1）从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化”的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、切割图、双切图）或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。2）从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似/三角函数的综合是历年中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。热考角度考点2025年2024年2023年垂径定理及其推论①广东・T12・垂径图计算②江苏・T10・垂径与弦长计算①湖南・T9・垂径与勾股综合②浙江・T11・垂径平分弦①广西・T8・垂径平分弦②山东・T10・垂径与弧长切线的判定与性质①江苏・T16・切线证明②广东・T14・切线与半径计算①四川・T14・切线与相似②湖北・T12・切线长定理应用①山东・T11・切线长定理②北京・T13・切线与圆周角圆周角定理与圆内接四边形①浙江・T10・圆周角互余②福建・T12・圆内接四边形角度①湖北・T13・圆内接四边形②安徽・T11・圆周角与圆心角①河南・T9・圆周角与圆心角②河北・T10・圆内接四边形性质圆与相似三角形综合①北京・T22・切割图相似②四川・T18・双切图相似①安徽・T18・双切图相似②重庆・T20・射影图相似①广东・T21・射影图相似②江苏・T19・弦切角与相似圆与三角函数综合①福建・T17・弦长与三角函数②湖南・T15・切线与三角函数①重庆・T19・切线与三角函数②陕西・T16・圆周角与三角函数①陕西・T15・圆周角与三角函数②浙江・T14・弦长与三角函数命题预测圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合：基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点；中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力；压轴题则以圆与相似/三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题，是拉开差距的关键。整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。考点一与圆有关的热考题型题型一垂径定理及其推论综合1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为______．2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=2CD．若AB=6, CD=13A．134 B．72 C．93．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求证：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB4．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5cm，则剩余部分的面积是（

A．25πcm2 B．252πcm2 题型二圆周角定理与圆内接四边形综合5．（2025·四川自贡·中考真题）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°6．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD，连接BD．(1)求证：∠CBD=∠BDC；(2)延长AB至点E，使BE=AD，连接CE．求证：ACAB+AD7．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．8．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE=AC，延长BA至点F，连结EF，使(1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数．(2)求证：①EF∥BC；②题型三切线的判定与性质【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直.【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等.9．（2025·四川凉山·中考真题）如图1，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC=∠B，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥AB，∴∠PAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，∴∠PAC=∠B．(1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图2，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC=∠B仍然成立，请说明理由；(2)小明进一步探究发现：如图3，线段PA与线段PC,PB存在如下关系：PA(3)拓展应用：如图4，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，∠AOB=150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．10．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC．(1)求证：CD与该半圆相切；(2)当半径r=2时，令AD=a，BC=b，m=22+a+22+b，(3)在（1）的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x，4AE⋅BE+1FG+CD=y，求y11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．∠APO=∠BPO，PA与⊙O相切于点M、连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F．(1)求证：PB是⊙O的切线．(2)当PC=6，PM=54CD12．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过D作直线DB与AE的延长线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED=∠ADC．(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若AE=10，tan∠CAD=34，求DE(3)在（2）的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度．题型四相交弦与割线模型综合计算13．（2023·河南信阳·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：______________．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．14．（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中∠CBD即为弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的证明过程：①如图1．已知：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切⊙O于点B时，易证：弦切角∠CBD=∠A．②如图2．当点A是优弧BC上任意一点，DB切⊙O于点B．求证：弦切角∠CBD=∠A．证明：连接BO并延长交⊙O于点N，连接CN，如图2所示．∵DB与⊙O相切于点B，∴∠NBD=▲，∴∠CBD+∠CBN=90∵BN是直径，∴▲（直径所对的圆周角是直角），∴∠N+∠CBN=90∴∠CBD=∠N，又∵▲（同弧所对的圆周角相等），∴∠CBD=∠A．完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：①如图3，△ABC的顶点C在⊙O上，AC和⊙O相交于点D，且AB是⊙O的切线，切点为B，连接BD．若AD=2,CD=6，求AB的长；②如图4，△ABC,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D．试猜想∠CBD与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．15．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．【定理证明】（1）如图①，点P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，割线PC与圆相交于B,C两点，求证：PA2=PB⋅PC（提示：连结AB,AC,AO，并延长AO交⊙O于点D【解决问题】（2）如图②，PA是⊙O的切线，连结PO交⊙O于点B,⊙O的半径为r．若PA=r+2,PB=r−2，求r的值．16．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC

(1)求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是⊙O的切线；(2)如图2，作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；(3)如图3，若⊙O的半径为2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+题型五中点弧模型应用17．（2025·广东广州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+718．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC、BC，延长AB至点D，连接CD，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)点E是AC的中点，连接BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连接BH，若BD=2，CD=4，求BF⋅BH的值．19．（2025·贵州·中考真题）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．(1)点O与AB的位置关系是，线段CD与线段BD的数量关系是；(2)过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径为3,DE=4，求CD的长．题型六圆的内心与外心模型综合20．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是△ABC的内心，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E，BE与AC交于点F，连接AE．(1)设∠ABC=α，则∠EAC=；（用含α的式子表示）(2)求证：AE=DE；(3)若DE=2,BD=1，求EF的长．21．（2025·四川达州·一模）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC于点E、交⊙O于点D，连接BD、CD、BI，已知AB=3，AC=5．(1)求证：△BDI是等腰三角形；(2)如图2，若AC为⊙O的直径，求线段BE的长度．22．（2025·湖南·三模）圆O是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，请回答以下问题：

(1)如图1，连接BI、CI，当∠A=60°时，则∠BIC=________°；(2)如图2，延长BI，CI分别交圆O于点F、G，连接AI并延长交BC于点D，交圆O于点E，求证：GF⊥AE；(3)如图，连接OI，当OI⊥AE，且BE=2x时，y=AB⋅AC，试求y关于x的函数解析式．题型七双切线模型（双切图）计算23．（2025·山东·中考真题）【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC'的长度【问题解决】已知∠CAD=∠C'A'D（1）求∠BAO的度数；（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：【结果反思】（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．24．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过⊙O外一点M引⊙O的两条切线MA、MB，切点是A、B，∠AMB为锐角，连接MO并延长与⊙O交于点N，点P在MN的延长线上，过点P作MA的垂线，与BO的延长线相交于点E、垂足为F．(1)求证：△EOP是等腰三角形；(2)在图（2）中作△EOP，满足OP=OF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)已知sin∠AMB=53，在你所作的△EOP中，若PF=2题型八射影定理在圆中的应用25．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)证明：OE(3)若射线BM与⊙O相切于点A，DC=3，BD:OC=10:9，求tan∠AED26．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．题型九圆与锐角三角函数综合27．（2025·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长DC交AB的延长线于点E．(1)求证：AC平分∠DAE；(2)若tanE=512，CE=12，求⊙O28．（2025·山东潍坊·中考真题）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示．(1)当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离；(2)已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°≈34，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.3929．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）如图1，在锐角△ABC中，探究asin∠BAC，bsin【问题探究】将下列探究过程补充完整：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△ABD中，sin∠ABC=∴AD=c⋅sin在Rt△ADC中，sin∠ACB=∴AD=b⋅sin∴c⋅sin∠ABC=b⋅sin同理，在Rt△AEB中，BE=在Rt△BEC中，BE=∴______=_____，即asin∴asin【结论应用】（2）如图2，在△ABC中，AB=23，∠A=70°，∠B=50°．求AC，BC的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin50°≈0.77，【深度探究】（3）如图3，⊙O是锐角△ABC的外接圆，半径为R．求证：asin【拓展应用】（4）如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．则线段EF题型十圆的基本性质多结论判断题30．（2025·江苏无锡·二模）如图，AB为⊙O的直径，AB=2，C为AB的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC=EF；③∠OFB=∠ADB；④DC+2CF为定值2．其中正确结论的个数为（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个31．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是⊙O上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是x(s)，线段AP的长度是y(cm)，图②是y随x变化的关系图象．①⊙O的半径为1cm；②A、B两点间的距离为1cm；③点P的运动速度为π3cm/A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④32．（2024·北京·三模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），CD⊥AB于点D，连接OC．设AD=a，BD=b，CD=h，给出下面三个结论：①h≤a+b2；②a−b2≤h；③A．①② B．②③ C．①③ D．①②③33．（2025·北京·模拟预测）已知锐角∠AOB．如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①∠COM=∠COD；②MN∥CD；③MN<3CD；④若∠OCD=2∠MOB，则OM=MN．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④题型十一弧长与扇形面积的实际应用当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式34．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC=15°），东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（

）A．572πR（千米） C．536πR（千米） 35．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为________m．（结果保留π36．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为l1,l2,⋯,ln请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE=4，则图中阴影部分面积是__________．37．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为______________．题型十二圆柱与圆锥的侧面展开图计算1）混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．注意：圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的底面圆的半径.2）在扇形的两个面积公式和圆锥的侧面积公式中，同一个字母的含义可能不同(如1可以表示扇形的弧长，也可以表示圆锥的母线长)，要做好区分.38．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是10cm的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（

A．50cm2 B．50πcm2 C．10039．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（

A．9cm B．10cm C．11cm D．40．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧面展开图的圆心角为41．（2024·广东·中考真题）综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm②一只漏斗口直径与母线均为7cm【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）题型十三圆与全等/相似三角形综合证明42．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部，CD为⊙O的直径，连接BD，∠BCD+2∠ABD=90(1)如图①，求证：AB=AC；(2)如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，求证：BC=2PA；(3)如图③，在（2）的条件下，PD=3BD，连接DA并延长至点E，连接OE交AC于点M，OE=AB，G为BC上一点，DG=AD，连接CG，点N在CG上，连接ON，∠EON=2∠EDC，CN=7，点F为AC的中点，连接EF，AF，求43．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．

【阅读观察】材料1：黄金分割点的定义如图2，若线段AB上的点C满足BCAC=ACAB，则点C称作线段AB的黄金分割点，其中ACAB的比值称作黄金分割比φ=5−12，而

材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C）方法1：如图3，①过点B作l⊥AB；②在直线l上截取BD=12AB③在DA上截取DE=DB；④在AB上截取AC=AE，C即为所求．

方法2：如图4，①以AB为边作正方形ABED；②取AD中点F，连接BF；③以点F为圆心，FB为半径作圆弧，与DA的延长线交于点H；④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC，GC交AB于点C，可得BCAC=AC

【思考探究】（1）说明图3中ACAB（2）用不同于（1）的方法，说明图4中BCAC【迁移拓展】如图5，作圆内接正五边形：①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM，取OM的中点N，连接AN；②作∠ONA的平分线，交OA于点K；③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B，E，连接AB，AE；④截取BC=BA，CD=CB，连接BC，CD，DE，五边形ABCDE即为所求．

（3）若OA=2，根据以上作法，证明：AB44．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在⊙O上，连接AO，CO并延长，分别与⊙O的切线相交于点B，点D，切点为E，CD与⊙O交于点F，连接AE,AF,AD⊥BD，垂足为点D,DE=3,DF=1．(1)求证：AE平分∠BAD；(2)设AB=kOB(k>0)，求k的值；(3)求cos∠EAF45．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用【问题初探】（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AB2=A在Rt△APD中，∵∠ADP=90°，∴AP2=由①－②得：AB∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=．∴BD−PD=CD−PD=CP．……根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是．【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=AC=2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．【灵活应用】（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB=9，OD=5，CDBC=1【深度思考】（4）如图（4），在△ABC中，∠C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD=DE=BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PD知识1圆的基本性质1.垂径定理及推论1）垂径定理：__________于弦的直径平分弦，并且__________弦所对的两条弧.示例：如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则____________________.2）垂径定理的推论（1）平分弦（非直径）的__________垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.示例：如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，.（2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧.（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧..【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”.2.弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，__________的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【注意】不能忽略“__________”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.示例：如下图，两3.圆周角定理及其推论1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__________.（即：圆周角=122）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角__________.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是__________；90°的圆周角所对的弦是__________.4.圆内接四边形及其性质1）圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.2）圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角__________.如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）.如图，∠1=∠2知识2切线相关1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．2.性质与判定：性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.判定1）定义法：当直线与圆有且只有__________公共点时，直线与圆相切；2）数量关系法：当圆心到直线的距离__________半径时，直线与圆相切；3）判定定理法：经过半径外端且__________于这条半径的直线是圆的切线.3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）.4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．知识3与圆有关的计算1.弧长与扇形的面积计算1）弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径).2）扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长).2.圆锥的相关计算圆锥的侧面展开图及有关计算（1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形.（2）圆锥常见量之间的关系（如图）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h（1）这个扇形的弧长为2πr；（2）r2（3）（4）（5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为1．（2025·陕西西安·一模）如图，点A,B,C,D均在⊙O上，⊙O的半径为2cm,∠C=130°，则BD的长为（A．103π B．109π C．2．（2025·四川广元·一模）如图，在⊙O中，BD=CA下列结论不正确的是（A．AB=CD B．∠BOC=∠BODC．AB=CD 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是AC的中点，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于另一点F．若AC=12，AE=3，则⊙O的半径是（

）A．152 B．132 C．64．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AE，HE，若S△AEH=42，则⊙OA．2 B．22 C．235．（2025·四川绵阳·一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=BC，∠ABC=90°，F为⊙O上的一点，且点B,F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图形△ABG，连接GC，若GB=2，GA=3，则GC的长度是（

A．2+3 B．11 C．22 6．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（

）

A．12π B．15π C．24π D．30π7．（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为3:1，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为________．8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为12cm，而破损处的缺口两端点A，B之间的距离为6cm，则AB的长为_______cm．9．（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为______．10．（2025·重庆·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AB=BC=12，连接AC，与⊙O交于点E，连接BE，点D是AE上的任意一点（不与A，E重合），连接BD，与AC交于点F，ED与BA的延长线交于点M．①若点D是AE的中点，则DE的长为_________；（用含π的代数式表示）②无论点D在AE上的位置怎样变化，ED⋅EM=_________．11．（2025·江苏扬州·二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D．点E在线段AD上，DE=CD．连接BE并延长交⊙O于F．(1)求证：∠CBE=2∠BAC；(2)连接OD交BF于点G．若EF=3EG，CE=10，求⊙O的半径．12．（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，AE⊥BC，垂足为D，AE为直径，BD>2DE，F为圆上一动点．(1)当F在弧AB上时，求证：∠AFC>∠BFC．(2)当F在弧AC上时，将四边形ABCF沿CF翻折，得到A'①延长A'F，若A'F过点O，且②连接BA'，交CF于P，若∠BCF=90°，且FP:CP=1:4，求13．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线(2)若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．14．（2025·云南·模拟预测）如图1，点A，B，C都在⊙O上，且AD平分∠BAC，交⊙O于点D．(1)求证：△BCD是等腰三角形；(2)如图2，BC是⊙O的直径，AD与BC相交于点P．①若CP=14，DP=10，求⊙O的半径；②若DH⊥AC于点H，求证：DH=AB+CH．15．（2025·山西运城·一模）阅读与思考阅读下列材料，完成下面的任务．关于“三角形的内切圆”的研究报告【研究内容】如图1，在△ABC中，三边AB=c，BC=a，AC=b，⊙I是它的内切圆，切点分别为D，E，F，如何求AD、BD、CE的长呢？【解法】∵⊙I是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，则有x+y=cy+z=ax+z=b，∴x+y+z=▲，如果设p=▲，那么有任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．(2)如图2，这是一张三角形纸片ABC，⊙O为它的内切圆，小悦沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC=4cm，AB=6cm，BC=5cm(3)如图3，△ABC的内切圆O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F，∠A=90°，BD=3，CD=2，求S△ABC考点二与圆有关的压轴题型题型一圆中线段和差最值问题1．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为________．

3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；（4）如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD=5，BC+CE=8，求AE+BD4．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，连接PD，则CDCP=CPCB=12．又因为∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以PD(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．题型二圆与坐标系综合应用5．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为(−1，0)，半径长为1，点B的坐标为(4，0)，点C是⊙A上一点，连接BC，将BC绕点C逆时针旋转90°，得到线段(1)若BC最大，则点D坐标为________；(2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)；(3)若直线DC经过⊙A的圆心，请直接写出直线DC的函数表达式．6．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A(0,4),B(4,4),C(6,2)．(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；(2)点M的坐标为；⊙M的半径为；(3)点D5,−2与⊙M的位置关系是点D在⊙M(4)若E点的坐标为（7,0），求证：直线CE是7．（2025·安徽蚌埠·一模）【经历】（1）如图1所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B都是格点，线段AB交网格线于C，则AC:BC=；（2）如图2，将边长为1的10×6的正方形网格如图所示放置在直角坐标系xOy中，一段圆弧经过格点A、B、C，该圆弧所在圆的圆心D的坐标为；【探索】（3）在如图3所示的正方形网格中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD交于E，则AE:BE=；（4）如图4，是由5个边长为1的小正方形组成的图形，将其放置在⊙O中，⊙O恰好经过格点A、B、C，⊙O的半径为．题型三圆中的动点轨迹与最值问题8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，AA．2−2 B．3−2 C．10−9．（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=7．（1）△AEB面积的最大值为_______；（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为_______．10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则11．（2025·湖南邵阳·一模）已知：Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=6，点M是BC上一动点，过点B作BD⊥AM于D，设线段AD被点M分得的线段之比AM(1)求证：△ACM∽△BDM；(2)若AD平分∠BAC，求AD的长；(3)点M在BC边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由．题型四圆的存在性问题12．（2025·云南·中考真题）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC=∠ACF．(1)若CE=CB，且∠CBE=60°，求∠BCE的度数；(2)求证：直线CF是⊙O的切线；(3)探究，发现与证明：已知AC平分∠BAE，是否存在常数a, b，使等式AC2=aBC⋅CE+bAB⋅AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a13．（2025·山东·中考真题）【图形感知】如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．（1）求CD的长；【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED'，其中A'，D（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3．求DE（3）如图4，连接DD'交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段14．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在△ABC中，AB=15，∠C=30°，作△ABC的外接圆⊙O．则ACB的长为________；（结果保留π）

问题解决（2）如图2所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC，∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1200m，AD=BC=900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC=60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）15．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB=310．BC=6时，CF【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．题型五圆的折叠与旋转综合变换问题16．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，AB是⊙O的直径，AB=4，沿弦CD折叠，使折叠后的CD与AB相切于点E．【发现】CED所在圆的半径为_____；【探究】为了找到CED所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式．淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点即可．嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点O关于弦CD的对称点O'，点O淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径AB上运动，可以看成⊙O'在直径嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动时，点O'的运动路线和直径AB【拓展】（1）如图3，若切点E为OB的中点，连接O'B，交⊙O于点M，连接AM，求弦（2）若切点E落在线段OB上（包括端点），直接写出弦CD的最大值和最小值．17．（2025·吉林·一模）【驱动背景】在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得弧AB恰好过圆心O，圆心O关于直线AB的对称点为O1【前情感知】（1）如图1，连接OA，OB，∠AOB的度数为；【问题探究】（2）如图2，若点D是优弧AB上的任意一点，连接AD交折叠后的弧于点C，连接BC，BD．①∠ACB的度数为；猜想BC与BD的数量关系；②如图3，若弧AB（翻折后）不经过圆心O．BC与BD的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由．【拓展生长】（3）如图4，若AD为⊙O直径，将第一次折叠后的弧AB（弧AC部分）沿AC向下翻折交弦AB于点E，连接CE．若AD=10，OC=1，请直接写出线段CE的长．18．（2025·河北沧州·模拟预测）将Rt△ABC的顶点A放在半圆O上，现从AC与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α，旋转过程中，AC与半圆O的另一交点记为E，AB与半圆O的另一交点记为F，连接EF（如图2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=6，半圆O(1)嘉嘉认为：在旋转过程中，弦EF的长度不变；淇淇认为：弦EF的长度随点E的运动而发生变化．请你分析他俩谁说的对，并说明理由；(2)当点F与点D重合时，如图3．①判断BC与半圆O的位置关系，并证明；②求图中阴影部分的面积和；(3)设EF的中点为M，直接写出点M的运动路径长．19．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB=∠【操作探究】如图1，先将△ADB和△A' D'C的边AD、A'D'重合，再将△(1)当α=60°时，求BC的长度；(2)如图3，当BC=22时，求α(3)取BC的中点O，点P是平面内某个定点，连接OP，在运动过程中OP的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后∠AOD=______．题型六圆与函数（一次、二次函数）综合压轴20．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4（a>0）与x轴交于点A和点B−4,0，与(1)求b与a的关系；(2)如图①，当a=12时，点P在抛物线上，S△PBC(3)如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值．21．（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点M1,0为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=−33x+533与⊙M相切于点H，交x(1)填空：OE的长为______；OF的长为______；⊙M的半径为______；CH的长为______；(2)如图2，点P是直径CD上的一个动点（不与C、D重合），连结HP并延长交⊙M于点Q．①当DP:PH=3:2时，求cos∠QHC②设tan∠QHC=x，PQPH=y，求y22．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A−1,0，B两点，(1)求b，c的值；(2)点P是抛物线上一动点①当∠PAD=45°时，则点P的坐标为______．②当S△ADP=S(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+1题型七圆的新定义与阅读理解题23．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图，⊙O的半径为1．①在点A112,0，A243,0，A3②点B1,m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m(2)已知点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α24．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W(1)如图1，已知图W1：线段AB，A−1,−1，B1,−1．在P1−1,0(2)如图2，已知图W2：正方形ABCD，A−1,−1，B1,−1，C1,1，D−1,1．若直线：l:y=x+b上存在点P(3)如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T0,t，半径为1．若x轴上存在点P是图W325．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．【探究一】线段的最小覆盖圆线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O'（O'与O不重合），连结O'A,O'∵O∴2O'A>AB，即⊙∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．⊙O是以AB为直径的圆．请你判断点C与⊙O又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm，BC=2（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）（2）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为cm；（3）若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD．则这样的两个等圆的最小直径为cm．26．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P