分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有

种不同的方法.分类加法计数原理N=m1+m2+…+mn

完成一件事需要n个步骤，在第1步有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法，……，在第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有

种不同的方法.分步乘法计数原理N=m1

m2

…

mn

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1：计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径?典例精析请设计测试方法，使测试次数最少！完成的事情：完成程序测试，分两步进行：第1步：从开始执行到A点，由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为：18+45+28=91．即该步共有91种执行路径；第2步：从A点执行到结束，同理，子模块4、子模块5中的子路径条数共为：38+43=81．即该步共有81种执行路径；由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为：91×81=7371．整体分步测试：完成的事情：完成程序测试，分两类测试进行：第1类测试：单独测试5个模块，由分类加法计数原理，5个模块总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172．第2类测试：测试各个模块之间的信息交流是否正常，同分两步进行，第1步先测试从开始执行到A点的3个子模块；第2步再测试从A点执行到结束的2个子模块，由分步乘法计数原理，共需要的测试次数为：3×2=6.由分类加法计数原理，测试整个模块的次数共为：172+6=178.最优化方案：整体分步测试：问题一：如何处理较复杂的计数问题？

教材P10归纳两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分步还是分类？分类做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；分步做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把每一步的方法数相乘，得到总数。先整体，后局部P8例7：设计完成事情的不同方案，优化方法例2：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示．其中，序号的编码规则为：(1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母．如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？典例精析分析：完成的事情：编汽车号牌，由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．结果为三类张数之和.没有字母：10×10×10×10×10=100000有1个字母：（24×10×10×10×10）×5=120000有2个字母：（24×24×10×10×10）×10=576000根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为：100000+1200000+5760000=7060000典例精析例3：用0,1,…,9这十个数字可组成多少个:(1)三位数?(2)无重复数字的三位数?(3)有重复数字的三位数?(4)小于500的无重复数字的三位数?解:(1)依次确定百位、十位和个位数字的选法，共9×10×10=900个三位数.(2)依次确定百位、十位和个位数字的选法，

共9×9×8=648个无重复数字的三位数.(4)依次确定百位、十位和个位数字的选法，

共4×9×8=288个.(3)由(1)(2)得共900－648=252个有重复数字的三位数.首(百)位不能取0正难则反百位取1,2,3,4典例精析变式：由0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?①个位为0：共4×4×3=48种选法；②个位为2：共3×4×3=36种选法；共有48+36+36=120个③个位为4：共3×4×3=36种选法；(法1)按个位进行分类，依次确定千位、百位、十位，(法2)按千位分两类(2/4或3/5)，依次确定千、个、百、十位，共2×2×4×3+2×3×4×3=48+72=120种选法.个位取偶数千位不取0,1典例精析例4：

五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？解:（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×5×5×5=54种.变式1：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有__________种.分析：(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，即有4×4×4－3×3×3＝37种分配方案．变式2：安排甲、乙、丙3名护士去6所医院实习，每所医院至多2人，则不同的分配方案共有________种.分析：(间接法)先计算3名护士自由选择去何医院的总数，再排除3人到同一所医院的情况，即有6×6×6－6＝210种分配方案.典例精析典例精析变式5：元旦了，甲、乙、丙、丁4人各准备一张贺卡放在一起，每人从中抽取一张不是自己写的贺卡，共有________种不同结果.分析：第一步，甲取1张不是自己写的，有3种不同取法.第二步，由甲取出的那张卡的供卡人取，又有3种不同取法.第三步，由剩下两人各取一张，只有1种取法.共有3

3=9种不同结果.法二：列表分析.典例精析例6：如图，要给标有字母A、B、C、D四个区域分别涂上4种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域不同色，则不同的涂色方案有_____种；①B,D同色（可看作一块）：共4×3×2=180种涂法分析：分步依次涂A,B,C,D

，考虑B,D是否同色.②B,D不同色：共4×3×2×1=240种涂法48ABCD典例精析变式：将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种.分析：设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物,不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理,如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法,由分步乘法计数原理共有1×2×2×2×2=16种.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14(种).同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有:3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).42小试