北京市第四中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）

A. B. C. D.3.如果一个多边形的每个内角都相等,且内角和为,那么这个多边形的一个外角的度数为()A. B. C. D.4.泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（）A. B. C. D.5.若关于x的方程kx2-x+4=0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（）A.16 B. C. D.6.2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（

）A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒7.如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（）

A.5 B. C.4 D.8.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．其中正确的个数是【

】

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共9小题，共36分。9.若式子有意义，则x的取值范围为

．10.分解因式：

．11.分式方程的解为

.12.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：唱功舞台表现音色创意小兰90k8885小竹92869089若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为

.13.若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是

．14.如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为

15.如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为

．

16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．(1)若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍

盏，挑战成功．(2)小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么

．17.某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息．a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：每周志愿服务时长/小时123大于3志愿服务得分/分c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章．根据以上信息，回答下列问题：(1)在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则

，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则

（填“>”“<”或“=”）；(2)某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：①该频数分布直方图反映的是

（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第

组；(3)该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为

．三、计算题：本大题共2小题，共6分。18.计算：．19.解不等式组：．四、解答题：本题共9小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题3分)

已知，求代数式的值．21.(本小题4分)如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．22.(本小题4分)

在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围．23.(本小题4分)小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题：

(1)奉节到宜昌的水上距离是多少？(2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．24.(本小题4分)如图，是的直径，点为一点，过点作的切线交的延长线于点D．连接，过点作的垂线，交于点，交于另一点．

(1)求证：；(2)若，求的长．25.(本小题4分)某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：添加剂浓度020406080100120保质期（天）35810974(1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接．

(2)①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过

天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）．②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为

元．(3)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省

的添加剂（保留整数）．②当浓度在

范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）．26.(本小题3分)

在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点．(1)用含a的式子表示b，并求c的值；(2)已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）．①若，，求H点坐标；②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围．27.(本小题4分)如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接．

(1)如图1，若，求证：．(2)如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.(本小题4分)在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数．

(1)如图1，点，在，，中，点

是点C的“垂切点”，垂切系数

．(2)点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为

．(3)已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】x=-3

12.【答案】93

13.【答案】-1

14.【答案】2

15.【答案】

16.【答案】【小题1】5【小题2】15

17.【答案】【小题1】<>【小题2】八4【小题3】

18.【答案】解：．

19.【答案】解：，

解①，得x＜；

解②，得x≤1．

∴原不等式组的解集为x≤1．

20.【答案】解：∵∴∴．

21.【答案】【小题1】∵点E为的中点，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵菱形，∴，∴，∴平行四边形是矩形；【小题2】∵菱形，∴．∵矩形，∴，．在中，，∴，∴，∴．

22.【答案】【小题1】解：把和代入到中得，解得；【小题2】解：由（1）得函数的解析式为∵在中，，∴在中，y随x增大而减小，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于，∴当时，，∴；当时，解得，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，∴，∴，综上所述，．

23.【答案】【小题1】设奉节到宜昌的水上距离是．根据题意得：，解得．答：奉节到宜昌的水上距离为．【小题2】∵，∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．

24.【答案】【小题1】证明：∵是切线，是直径，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【小题2】解：∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．

25.【答案】【小题1】解：描点并连线为：【小题2】​​​​​​​18【小题3】602080

26.【答案】【小题1】解：∵抛物线对称轴为，∴，∴，∵抛物线经过点，∴，∴；【小题2】解：①∵，，∴，，，当时，，，∴，，∵点H为线段的中点，∴，，∴；②由（1）得，∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，∴，，∵点H为线段的中点，∴，，∴，当时，∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，∴当时，恒成立，当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，∵，，∴要使恒成立，必须满足，即，∴此时；当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值，∴要使恒成立，必须满足，即，∴此时无解；当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值，∵，，∴要使恒成立，必须满足，即，∴此时无解；当时，∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，∴当时，恒成立，∵，∴，∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，∵，，∴要使恒成立，必须满足，即，∴此时；综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】证明：根据题意，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴点是线段的中点，又∵F为的中点，∴是的中位线，即，∴，∴；【小题2】解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．②，证明如下：在的延长线上取一点，使，连接，，，令交于点Q，，，垂直平分，，，由旋转得，，，，，，，，，，，，∴，在中，，，，∵，，，∴，∴，由（1）可知，，在和中，，，，，为的中点，是的中位线，，，．

28.【答案】【小题1】​​​​​​​4【小题2】或​​​​​​​【小题3】解：由