湖北省黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试卷

2026年全市高三（3月）模拟考试数学试卷本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.若复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D3.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A4.已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B5.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（）（参考数据：若，则有）A.1360人 B.1570人 C.2720人 D.3410人【答案】A6.若实数满足，则的最小值是（）A.0 B. C. D.【答案】C7.已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（）A.1或2 B.1或4 C.2或4 D.4【答案】B8.已知曲线，将绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列命题正确的有（）A.函数的图象关于点对称B.函数的最大值是2C.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则D.是函数的单调递减区间【答案】BC10.如图，在正方体中，记各面的对角线为它的面对角线，为它的体对角线.设分别为的中点，则（）A.存在面对角线与平面平行B.存在面对角线与平面垂直C.存在体对角线与平面平行D.存在体对角线与平面垂直【答案】AD11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为【答案】BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________.【答案】13.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________.【答案】14.已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________.【答案】##四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.解（1）由，得，即，因为，所以，即，故（舍）或，由于，所以.（2），由，得，又，所以，解得或（负值舍），故，又由（1）知，故的面积为.16.已知数列满足.（1）设，证明是等比数列，并求的通项公式；（2）判断数列的单调性.解（1）由，得：，故，即，又，故是以为首项，为公比的等比数列，且.（2）由，解得，即，故数列为递增数列.17.袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；（2）求的分布列和期望.解（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故，事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，故，故所求.（2）易知随机变量可能的取值为，当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球，，当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，，当时，，故随机变量的分布列为：345期望为.18.设函数为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）设，记，证明：①；（注：）②.解（1）由，得，易知，当且仅当，即时取等号，故当时，，此时在上单调递增；当时，令，解得，易知，当或时，，当时，，故此时和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，故当时，，即有.①令，则有，即，即，赋值代入，可得，累加可得：②令，则有，即，化简得，当时，由，累加可得：，即即有，而当时，故有.19.如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线.如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点；（1）求直线与平面所成角的大小；（2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系.①求出曲线的标准方程；②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.解（1）由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的一个法向量为，则，令，则故，则，故直线与平面所成角的大小为.（2）①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆，设该椭圆的方程为，故；由（1）可得，设与的交点为，则，易得，即，且