16.2.4整式的除法（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

16.2整式的乘法16.2.3整式的除法第十六章整式的乘法

人教版2024·八年级上册学

习

目

标123经历探究同底数幂的除法的运算性质的推导过程,掌握同底数幂的除法的运算性质,会用同底数幂的除法的性质进行计算,发展推理能力和有条理的表达能力；理解并掌握零指数幂的性质,并能将其应用到相关的计算中经历单项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握单项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和综合解题能力．经历多项式除以单项式的法则的探究过程,理解并掌握多项式除以单项式的法则,培养学生的运算能力和抽象概括能力．知识回顾整式的乘法我们已经学了哪几类？幂的乘法1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘

（m，n都是整数）整式的乘法单项式乘单项式：把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式单项式乘多项式：单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式利用乘法的分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘单项式转化导入新课我们知道有理数的除法是乘法的逆运算，整式的除法能不能利用整式乘法进行呢？张大爷家一块长方形的田地,它的面积是６a２＋２ab,宽为２a,聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗?长方形的面积公式:面积＝长×宽,田地的长＝面积÷宽列式:(６a２＋２ab)÷２a（1）28÷23=（）；（2）x10÷x6=（）；（3）2m+n÷2n=（）新知探究探究点1同底数幂的除法填一填(1)()()×23=28

(2)x6·()()=x10(3)()()×2n=2m+n利用同底数幂的乘法法则计算2525xm2x442m同底数幂相乘，底数不变，指数相加同底数幂相相除，底数（），指数（）同底数幂相相除(1)28÷23=25

(2)x10÷x6=x4(3)2m+n÷2n=2m新知探究探究点1同底数幂的除法议一议观察下列式子，你能发现什么规律？=28-3=x10-6=2m-n8-3=510-6=4m+n-n=m同底数幂相相除，底数（），指数（）不变相减am÷an=∵am-nan•=am-n+n=am∴am÷an=am-nam-n新知探究探究点1同底数幂的除法归一归同底数幂的除法：底数不变，指数相减同底数幂的除法法则①同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字或字母，或单项式、多项式．②同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时指数才能相减．am

÷an=am–n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n).注意例1计算：(1)x8

÷x2;

(2)(ab)5÷(ab)2.解：(1)x8

÷x2=x8–2=x6.

(2)(ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.典例分析探究点1同底数幂的除法

例2计算：

解：(1)原式=

解：(2)原式=

算式

新知探究探究点1同底数幂的除法议一议（1）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，结果是多少呢？

按除法的意义计算

同底数幂的除法计算

（2）同底数幂的相除当被除数的指数与除数的指数相同时，由计算结果发现什么现象？

规定注意：当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.新知探究探究点2单项式除以单项式议一议计算：4a2x3·3ab2计算：12a3b2x3÷3ab24a2x3·3ab2=4×3·a2·a·x3·b2=12a3x3b212a3b2x3÷3ab2=4a2x312÷3=4a3÷a=a2b2÷b2=1想乘算除法把系数和同底数的幂分别相除.商式4a2x3的系数：4=12÷3；a的指数：2=3–1，b的指数：0=2–2，而b0=1，x的指数：3=3–0.

新知探究探究点2单项式除以单项式归一归单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.计算：12a3b2x3÷4a2x3解：原式=12÷4·（a3÷a2）·（x3÷x3）

·b2=3·a·1·b2=3ab2试一试把系数和同底数的幂分别相除.商式

＝

系数•

同底数的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减保留在商里作为因式被除式的系数除式的系数典例分析探究点2单项式除以单项式(1)6a3÷2a2；

(2)24a2b3÷3ab；

(3)–21a2b3c÷3ab;解：(1)6a3÷2a2

=(6÷2)(a3÷a2)

=3a.

(2)24a2b3÷3ab

=(24÷3)a2–1b3–1

=8ab2.

(3)–21a2b3c÷3ab

=(–21÷3)a2–1b3–1c

=–7ab2c;

例3.计算：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.

例4.下列计算错在哪里？怎样改正？(1)4a8÷2a2=2a4(

)

(2)10a3÷5a2=5a

(

)

(3)(–9x5)÷(–3x)

=–3x4(

)

(4)12a3b

÷4a2=3a

(

)

2a62a3x43ab××××系数相除同底数幂的除法，底数不变，指数相减.只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.求商的系数，应注意符号.典例分析探究点2单项式除以单项式新知探究探究点3多项式除以单项式试一试

（1）计算：(am+bm)÷m=___________.∵(a+b)m=am+bm

，∴(am+bm)÷m

=(______).∵am÷(___)+bm÷(___)

=a+b，∴(am+bm)÷m

=(__________________)a+bmmam÷m+bm÷ma+b单项式÷单项式转化多项式÷单项式多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.（2）你有什么发现？（2）根据计算你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？新知探究探究点3多项式除以单项式（1）计算下列各式：试一试

(4a2b－3ab+

ab2c)÷2ab；(ax＋bx)÷x;原式=ax

÷x

＋bx÷x=a＋b原式=4a2b÷2ab－3ab÷2ab+

ab2c÷2ab

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的法则:典例分析探究点3

多项式除以单项式

例4计算：(1)(28x4y2)÷

(7x3y)；

(28÷7)x4–3y2–1(2)(–5a5b3c)

÷

(15a4b).=4xy

[(–5)÷15]a5–4b3–1c(3)(12a3–6a2+3a)÷

(3a).

(12a3)÷

(3a)–(6a2)÷

(3a)+(3a)÷

(3a)=4a2–2a+1解：(1)原式=(2)原式=

(3)原式=拓展提升1.（1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．解：(1)∵32•92x+1÷27x+1=81

∴32•34x+2÷33x+3=81，

即3x+1=34，

解得x=3；(2)∵52y=(5y)2=4，

∴5x–2y=5x÷52y

=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．∵4=22，32=25∴4x÷32y=22x÷25y

=22x–5y

=24=16．2.已知：a(xmy4)3÷(3x2yn)2=4x2y2，求a、m、n的值．解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，

∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，

∴

a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得：a＝36，m＝2，n＝5.拓展提升3.先化简，再求值：(2x＋y)(x–2y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.解：原式＝2x2–4xy+xy－2y2–（

4x3y

÷2xy–8xy3÷2xy）

＝2x2–3xy－2y2－（2x2－4y2）

＝2x2–3xy－2y2－2x2＋4y2

＝–3xy＋2y2

当x＝1，y＝–3时，原式＝－3×1×(–3)＋2

×(–3)2＝27.拓展提升巩固练习教材P109练习1.计算：（1）x7÷x5；

（2）m8÷m8；（3）(–a)10÷(–a)7；

（4）(xy)5÷(xy)3.解：(1)x7

÷

x5=x7–5(2)m8

÷

m8=m0=x2=1(3)(–a)10

÷

(–a)7=(–a)10–7=(–a)3=–a3(4)(xy)5

÷

(xy)3=(xy)2=x2y2巩固练习教材P109练习2.计算：（1）(10ab3)÷(–5ab)

；（2）(–8a2b3)÷(6ab2)；（3）(–21x2y4)÷(–3x2y3)；（4）(6×108)÷(3×105).解：(1)原式=

[10÷(–5)]a1–1b3–1=–2b2

[(–8)÷6]a2–1b3–2(2)原式=

(3)原式=(4)原式=

[(–21)÷(–3)]x2–2y4–3=7y

(6÷3)×108–5=2×103巩固练习教材P109练习3.计算：（1）(6ab

+5a)÷a；（2）(15x2y–10xy2)÷(5xy).(6ab)÷a+(5a)÷a=6b

+5

(15x2y)÷(5xy)–(10xy2)÷(5xy)=3x–2y解：(1)原式=(2)原式=真题感知1.（2025·甘肃张掖·三模）计算：

3.（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，A，B均为整式，A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1，小马在计算时，误把“÷”抄成了“-”这样，他计算的正确结果为－x2y2．(1)求A÷B的正确结果；(2)当xy=2时，求A÷B的值．真题感知解:A=(xy+1)(xy-1)-2x2y2-xy+1=x2y2-1-2x2y2+1-xy

=x2y2-2x2y2+1-1-xy

=-x2y2-xy,∴A÷B

=（-x2y2-xy）÷(-xy)=x2y2÷xy+xy÷xy=xy+1;(2)当xy=2时，A÷B=xy+1=2+1∵A-B=-x2y2∴-x2y2-xy-B=-x2y2,∴B=-x2y2-xy+x2y2=-xy,课堂小结整式的除法同底数幂的除法单项式除以单项式底数不变，指数相减1.系数相除；2.同底数的幂相除；3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的问题0指数幂的性质任何不等于0的数的0次幂都等于1课后练习教材P110习题16.