2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题11 圆的综合证明与计算（题型专练）（解析版）

专题11圆的综合证明与计算

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01圆中求角的度数

题型02圆中求线段的长

题型03圆中求弧长、面积

题型04圆与正多边形

题型05证切线与求线段、半径综合

题型06证切线与求弧长、面积综合

题型07圆与（特殊）平行四边形综合问题

题型08圆中动点探究型问题

题型09圆中新定义探究综合问题

题型10圆与函数的综合问题

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2026·陕西西安·二模）如图，AB为O的直径，点C，D在圆上，且ACCD．若ABC32，

则DAB的度数为______．

【答案】26

【分析】利用直径定理和圆周角定理进行求解．

【详解】解：∵AB为O的直径，

∴半圆ACB的度数为180，

∵ABC32，

∴AC的度数为64，

∵ACCD，

∴CD的度数为64，

∴BD的度数为180646452，

1

∴DAB5226．

2

【典例02】（2026·陕西西安·一模）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，点P在圆周上，且CPB27，

则A的度数为________．

【答案】36/36度

【分析】由垂径定理得到ACBC，根据圆周角定理得到AOC2P，由CPB27即可求得AOC54，

再由直角三角形两锐角互余即可得出答案．

【详解】解：半径OCAB于点D，

ACBC，ODA90,

AOC2P，

CPB27，

∵AOC54，

A90AOD36．

方法透视

圆心角与圆周角：利用同弧所对圆心角是圆周角两倍，直径所对圆周角为°，求角度。

考向1.90

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，用于圆中求角或导角关系。

圆内接四边形：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，常与方程结合求角度。

解读3.

找弧桥接角：见到圆中角，先找它所对的弧，通过同弧或等弧将未知角与已知角建立联系。

方法1.

2.见直径想直角：出现直径立即联想90°圆周角，构造直角三角形求角度。

技能

3.内接四边形用互补：圆内接四边形对角互补，结合已知角列方程求解未知角度。

变式演练

【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，AB是O的直径，BC、BD是O的两条弦，连接CD，DCB45，

BC平分ABD，则CBD的度数为____________．

【答案】22.5

【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可．

【详解】解：连接AD，

∵DCB45，

∴DCBBAD45，

∵AB是O的直径，

∴ADB90，

∴ABD90BAD45

∵BC平分ABD，

11

∴CBDABD4522.5，

22

故答案为：22.5.

【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，ABC是O的内接三角形，ABC的内角ABC的平分线BO

与其外角ACD的平分线CE相交于点E，若ABCE，则A___________．

【答案】72/72度

1

【分析】本题主要考查了直径所对圆周角等于90，三角形内角和定理，得出ABFC90ABC是

2

解题关键．

设ABEx，根据ABC的平分线BO与其外角ACD的平分线CE相交于点E，可得CBEx，

EABC2ABE2x，结合三角形外角的性质可得ECDCBEE3x，再根据BF是直径，可

得ABFC90x，进而可得ACDABCA2x90x90x，由此列方程即可求出x18，

继而得出结论．

【详解】解：如图，连接CF，

∵ABC的平分线BO与其外角ACD的平分线CE相交于点E，

11

∴ABECBEABC，ECDACD，

22

设ABEx，则CBEx，EABC2ABE2x，

∴ECDCBEE3x，

∴ACD2ECD6x，

∵BF是直径，

∴BCF90，

BFC90CBF90x

∵BCBC，

∴ABFC90x，

又∵ACDABCA2x90x90x，

∴90x6x，解得：x18，

∴A90x72，

故答案为：72．

典例引领

【典例01】（2026·江苏南京·一模）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ABCD于点E，若AB10，

CD8，则BE_____．

【答案】2

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

11

先求出半径OCOBAB5，根据垂径定理可得CECD4，在Rt△OEC中利用勾股定理求出OE的

22

长，再利用线段的和差即可求解．

【详解】解：∵AB是O的直径，AB10，

1

∴OCOBAB5，

2

∵CD是O的弦，ABCD于点E，CD8，

1

∴CECD4，

2

在Rt△OEC中，OEOC2CE252423，

∴BEOBOE532．

故答案为：2．

【典例02】（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在O上，OCAB，AB8，CD2，则O的

直径AE为__．

【答案】10

1

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到ADAB4，由勾股定理

2

2

得到r2r242，求出r=5，即可得到O的直径AE的长．

【详解】解：设圆的半径长是r，

∵OCAB，

11

∴ADAB84，

22

∵CD2，

∴ODr2，

∵OA2OD2AD2，

2

∴r2r242，

∴r=5，

∴O的直径AE2r10．

故答案为：10．

方法透视

垂径定理：利用垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理求弦长、半径或弦心距。

考向1.

2.切割线定理：从圆外一点引切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的线段比例中项。

解读

3.相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，用于求线段长。

勾股优先：出现垂直或直径，优先在直角三角形中用勾股定理列方程求解。

方法1.

2.相似三角形：圆中常出现母子型相似（如切割线、相交弦），利用相似比列比例式求线段。

技能

3.设参列方程：未知线段多时，设未知数表示相关线段，利用定理或相似列方程求解。

变式演练

【变式01】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，若AOB120，OA2，

则PAB的周长是______．

【答案】63

【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质等知识；熟练掌

握切线的性质，证明PAB为等边三角形是解题的关键.

由切线的性质得出PAOPBO90，PAPB，OPAOPB，证PAB是等边三角形，

OPAOPB30，得出PAPBAB，ABPBPA3OA23，即可得出答案．

【详解】解：PA、PB是O的切线，A、B是切点，

PAOPBO90，PAPB，OPAOPB，

AOB120，

APB360909012060，

PAB是等边三角形，OPAOPB30，

PAPBAB，

PAO90，OPA30，

ABPBPA3OA23，

PAB的周长PAPBAB63.

故答案为：63．

【变式02】（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一点，AD2AE，以E为圆心，

BE

DE为半径的弧交CD于点G，交BC于点F．若G是DF的中点，则的值为_________．

BF

11

【答案】

2

【分析】连接DG，过点E作EHCD于点H，设CD2a，先证明GDFGFDDEHADE，进

ADAE

而得△ADE∽△CDF，则，再根据AD2AE，CD2a，得CFa，设AEx，则

CDCF

AD2x，BFBCCF2xa，BEABAE2ax，在RtADE中，由勾股定理得：

22

ED2AD2AE25x2，在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF2BE2BF22ax2xa，由此解得

5aa11a

x，则BF，BE，据此即可得出的值．

848

【详解】解：连接DG，过点E作EHCD于点H，如图所示：

设CD2a，

∵四边形ABCD为矩形，

∴ABCADC90，ABCD2a，ADBC，

∴ADCD，

∴ADEH，

∴DEHADE，

∵G是DF的中点，

∴DGFG，

∴GDGF，DEGGEF，

1

∴GDFGFDDEG，

2

∵EDEFEG，EH^GD，

1

∴DEHDEG，

2

∴GDFGFDDEHADE，

又∵AC90，

∴△ADE∽△CDF，

ADAE

∴，

CDCF

∵AD2AE，CD2a，

2AEAE

∴，

2aCF

∴CFa，

设AEx，

∴AD2x，BFBCCF2xa，BEABAE2ax，

在RtADE中，由勾股定理得：ED2AD2AE25x2，

22

在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF2BE2BF22ax2xa，

∵EDEF，

22

∴5x22ax2xa，

5a

解得：x，

8

5aa5a11a

∴BF2a，BE2a，

8488

11a

BE11

∴8．

BFa2

4

11

故答案为：．

2

典例引领

【典例01】（2025·安徽淮南·一模）如图，AB为O的直径，AB4，CD为O的弦，ABCD，连接OC，

OD，BCO25，则劣弧AD的长为______．

55

【答案】/

99

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出

AODAOC50，再根据弧长公式求解即可．

【详解】解：OCOB，

BBCO25，

AOCBBCO50．

CD为O的弦，ABCD，

AODAOC50，

∵AB4，

∴O的半径是2，

50π25π

劣弧AD的长为．

1809

5π

故答案为：．

9

【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90,ABC30,AC2，将Rt△ABC

绕点A逆时针旋转30后得到△ABC，则图中阴影部分的面积是____________________．

443

【答案】

33

【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AB2AC4,BC3AC23，再根据旋转的性

质得到ACAC2,BCBC23，BAB30，则CAD30，接着在Rt△ACD中计算出

2343SS

CD，从而得到BD，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积扇形BABADB进

33

行计算．

【详解】解：∵C90,ABC30，

∴CAB60，AB2AC4,BC3AC23，

∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30后得到△ABC，

∴ACAC2,BCBC23，BAB30，

∴CADCABBAB30，

在Rt△ACD中，∵CAD30，

323

∴CDAC，

33

43

∴BDBCDC，

3

2

SS304143443

∴图中阴影部分的面积扇形BABADB2．

3602333

443

故答案为：．

33

方法透视

考向1.弧长公式：考查弧长公式l=应用，已知圆心角、半径、弧长中两个量求第三个。

𝑛�

180

解读扇形面积：考查扇形面积公式或，常与组合图形结合。

2.S=2S=lr

𝑛�1

3.阴影面积：求不规则阴影面积，用割36补0法、容斥2原理转化为扇形、三角形、弓形面积和差。

公式准确代：弧长扇形面积公式中圆心角代度数，注意与弧度制区分。

方法1.n

2.割补转化：不规则阴影通过分割、补形转化为规则图形面积和差，简化计算。

技能

3.弓形面积法：弓形面积=扇形面积±三角形面积，根据弓形与圆心位置定加减。

变式演练

【变式01】（2025·河南·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方

形的顶点上，且点B，C在弧AD上，BAC22.5，则弧BC的长为___________．

5

【答案】

4

【分析】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、弧长公式，解题的关键在于根据网格确定圆心．先根据垂

径定理，利用网格特点作AB和AD的垂直平分线，进而确定圆心和半径，然后根据圆周角定理求出弧BC所

对的圆心角的度数．最后利用弧长公式计算弧BC的长度即可．

【详解】解：根据网格，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，则点即为所在圆的圆心，

ABADOOAD

连接OC，如图所示，

则半径OB5，

∵BAC22.5，

∴BOC2BAC222.545，

4555

∴BC的长．

1804

5

故答案为：．

4

【变式02】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，分别以点A，D为圆心，以AB，

DC为半径作扇形ABF，扇形DCE，则图中阴影部分的面积是______；阴影部分的周长为______．

3216

【答案】2438

33

【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是正确运用扇形面积公式．根据题意

和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，阴影部分的周长为两个弧长加上两个

正六边形的边长，据此求解即可．

【详解】解：连接AD与BE交于点O，过O作ONAB于N，

∵正六边形ABCDEF的边长为4，

∴ABBCEF4，FABEDC120，OABOBA60，

∴AOB是等边三角形，

∴ABOAOB4，

1

∴AON30，ANAB2，ONAB2AN223，

2

11

∴正六边形ABCDEF的面积是6S6ABON6423243，

AOB22

1204232

∴图中阴影部分的面积是：2432243；

3603

120421204216

图中阴影部分的周长是：BCEF24428；

3603603

3216

故答案为：243，8．

33

典例引领

【典例01】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若正六边形的周长是18cm，则

O的半径是__________cm．

【答案】3

【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质；根据正多边形的性质求出边长和中心角，然

后得到OAB是等边三角形，即可得到圆的半径长．

【详解】解：连接OA，OB，

∵正六边形ABCDEF内接于O，

360

∴AB3cm，AOB60，

6

∴OAB是等边三角形，

∴OBAB3cm，

∴O的半径是3cm，

故答案为：3．

【典例02】（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形ABCDE的外接圆为O,点P是劣弧DE上一点,连接

AC,AP,CP,则APC的度数是__________.

【答案】72

【分析】本题考查了正多边形与圆综合，圆内接四边形，先理解正五边形ABCDE的外接圆为O,列式计算

得ABC108，运用圆内接四边形对角互补进行列式计算，即可作答．

【详解】解：∵正五边形ABCDE的外接圆为O,

18052

∴ABC108，

5

∵点P是劣弧DE上一点,

∴观察图中，四边形ABCP是圆内接四边形，

∴APC180ABC18010872，

故答案为：72．

方法透视

考向1.中心角计算：正n边形的中心角，用于求内角、外角或旋转角度。

𝟑�

�

解读2.边心距与半径：正n边形的半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，用勾股定理互求。

�

2

3.周长与面积：正多边形周长=na，面积=nar，常与圆面积结合考查。

1

2

方法1.中心角公式：熟记中心角=，用于求边数或角度。

𝟑�

勾股定理应用：在半径、边�心�距、半边长构成的直角三角形中用勾股定理列方程。

技能2.

3.面积分割法：将正n边形分割为n个全等等腰三角形，每个三角形面积ar求和。

1

2

变式演练

【变式01】（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟

数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形A1B1C1D1，

已知AB:A1B11:2，作四边形A1B1C1D1的外接圆，则此外接圆的半径为______________．

【答案】2

【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接B1D1，根据相

似三角形的性质得到正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的周长比为1:2，则正方形A1B1C1D1的周长为8，得到

正方形A1B1C1D1的边长为2，用勾股定理求出B1D1，即可得到答案．

【详解】解：连接B1D1，

∵正方形ABCD与正方形A1B1C1D1是位似图形，AB:A1B11:2，

∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的周长比为1:2，

∵正方形ABCD周长为4，

∴正方形A1B1C1D1的周长为8，

∴正方形A1B1C1D1的边长为2，

∵四边形A1B1C1D1是正方形，

∴A190，

∴22，

B1D12222

∴四边形A1B1C1D1的外接圆的半径为2，

故答案为：2．

【变式02】如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为2，MN1，

则AMN周长的最小值是_________．

【答案】4

【分析】过点C作DB的平行线CE，使得CE1，连接CN，EM，AC，AE，根据正方形的性质证明

ADN≌CDNSAS，则ANCN．容易证明四边形CEMN是平行四边形，则CNEM，因此

AMANAMEM．由线段公理可得，AMMEAE，当A、M、E三点共线时，AMME取得最

小值AE，使用勾股定理计算出AE，进而计算出AMN的周长即可．

【详解】解：如图，过点C作DB的平行线CE，使得CE1，连接CN，EM，AC，AE，

在正方形ABCD中，ADCD，ACBD，AOB90，ADBCDB45，

∵O的面积为2，

∴OBOD2，

∴ACBD22，

在△ADN和△CDN中，

ADCD

ADNCDN，

DNDN

∴ADN≌CDNSAS，

∴ANCN，

∵CE∥DB，

∴∠AOB∠ACE90，

2

在直角△ACE中，AEAC2CE222123，

∵MN1CE，CE∥DB，

∴四边形CEMN是平行四边形，

∴CNEM，

∴AMANAMEM，

由线段公理可得，AMMEAE，当A、M、E三点共线时，AMME取得最小值3，

∴AMAN的最小值为3，

∴AMN周长的最小值为314．

故答案为：4．

典例引领

【典例01】（2026·陕西西安·一模）如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，

与BC相切于点C，过点A作ADBO交BO的延长线于点D，且AODBAD．

(1)求证：AB为O的切线；

3

(2)若AC8，tanBAC，求OD的长．

4

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】（1）作OEAB，先由AODBAD求得ABDOAD，再由BCOD90及

BOCAOD求得OBCOADABD，最后证BOC≌BOE得OEOC，依据切线的判定可得；

（2）先求得EOAABC，在Rt△ABC中求得BC6、AB10，由切线长定理知BEBC6、AE4、

OCOB

OE3，继而得BO35，再证ABD∽OBC得，据此可得答案．

ADAB

【详解】（1）过点O作OEAB于点E，

ADBO于点D，

D90，

BADABD90，AODOAD90，

AODBAD，

ABDOAD，

又BC为O的切线，

ACBC，

BCOD90，

BOCAOD，

OBCOADABD，

在BOC和△BOE中，

OBCOBE

OCBOEB，

BOBO

BOC≌BOEAAS，

OEOC，

OEAB，

AB是O的切线；

（2）ABCBAC90，EOABAC90，

EOAABC，

3

AC8，tanBAC，

4

BC6，

则AB10，

由（1）知BEBC6，

AE4，

4

tanEOAtanABC，

3

OE3

，

AE4

OE3，OBBE2OE235，

ABDOBC，DACB90，

ABD∽OBC，

OCOB335

，即，

ADABAD10

AD25．

BOCAOD，DACB90，

△BOC∽△AOD，

BCOC63

，即，

ADOD25OD

OD5．

【典例02】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，F是BD上一点，

连接CD，DF，CF，AB与CF交于点E，且FACD．

(1)求证：AC是O的切线．

(2)若CDDF，AC3，OC2，求AD的长．

【答案】(1)证明见解析

9

(2)

5

【分析】（1）根据圆周角定理得出CDBCDA90，则ACDA90．根据FACD，结合

FABC，得出ABCACD，则ABCA90，即可证明．

（2）根据CDDF，得出DCFF，结合FACD，得出ACDDCF．结合BDC90，证

出△ACE是等腰三角形，则ACEC3，ADDE．由（1）可知ACB90，勾股定理求出AB5，证

明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）证明：BC为O的直径，

CDBCDA90，

ACDA90．

FACD，FABC，

ABCACD，

ABCA90，

BCA90．

OC为O的半径，

AC是O的切线．

（2）解：CDDF，

DCFF，

FACD，

ACDDCF．

BDC90，CDCD，

ACD≌ECDASA，

ACEC3，

ACE是等腰三角形，

ADDE．

BC是O的直径，OC2，

BC2OC4．

由（1）可知ACB90，

ABAC2BC232425．

ACDABC，AA，

△ACD∽△ABC．

ADAC

，

ACAB

AC2329

AD．

AB55

方法透视

切线证明：常考两种方法——连半径证垂直（已知点在圆上）或作垂直证半径（未知点是否在

考向1.

圆上）。

解读

2.切线长计算：利用切线长定理，从圆外一点引两条切线长相等，结合勾股定理求线段长。

3.半径求解：在含有切线的直角三角形中，利用勾股定理或相似三角形列方程求半径。

判定方法明确：已知点在圆上连半径证垂直；未知点在圆上作垂直证半径等于已知线段。

方法1.

2.勾股优先：出现垂直即构造直角三角形，用勾股定理列方程求线段长或半径。

技能

3.相似辅助：有平行线或公共角时，利用相似三角形对应边成比例求未知线段。

变式演练

【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，ABC内接于O，D是O的直径AB延长线上一点，且满足

BCDBAC，过圆心O作OE∥BC交DC的延长线于点E．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若BC2，AC4，求DE的长．

【答案】(1)见解析

105

(2)DE

3

【分析】（1）连接OC，由AB是直径得到ACB90，因此CABABC90，又BOCOCB，

BCDBAC，得到BCDOCB90，即可证明；

1

（2）根据勾股定理求出ABAC2BC225，得到半径AOBOAB5．证明△BCD∽△CAD，

2

BDBC1

得到，设BDx，则CD2x，ODBOBD5x，在RtCOD中，根据勾股定理构造方

CDAC2

25DEDB

程，求出x，根据OE∥BC得到，即可求解．

3DCDO

【详解】（1）证明：连接OC，

∵AB是直径，

∴ACB90，

∴CABABC90，

∵OBOC，

∴BOCOCB

∵BCDBAC，

∴BCDOCB90，即OCD90，

∴OCCD，

∴CD是O的切线．

（2）解：∵ACB90，AC4，BC2，

∴ABAC2BC225，

1

∴AOBOAB5．

2

∵BCDCAD，DD，

∴△BCD∽△CAD，

BDBC21

∴，

CDAC42

设BDx，则CD2x，ODBOBD5x，

∵在RtCOD中，OC2CD2OD2，

222

∴52x5x

25

解得x，

3

254555

∴BD，CD，OD，

333

∵OE∥BC，

55

DEDODE

∴，即3，

DCDB4525

33

105

∴DE．

3

【变式02】（2026·四川雅安·二模）如图O是ABC的外接圆，ABC45，延长BC至点D，连接AD，

使得AD∥OC，AB交OC于E．

(1)求证：AD与O相切；

(2)若AE25，CE2．求O的半径和AB的长度．

【答案】(1)见详解

165

(2)4；

5

【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点．

（1）连接OA，通过圆周角定理，平行线的性质，得到OAD90，继而得证结论．

（2）作OHAB于点H，设O的半径为R，根据勾股定理可得R4，利用三角形不同边上的高计算面

45

积相等，得到OH，继而根据勾股定理得到AH及AB的长．

5

【详解】（1）证明：连接OA，

ABC45，

AOC2ABC90，

又ADOC，

∠OAD180∠AOC1809090，

OAAD，

AD是O的切线；

（2）解:如图，作OHAB于点H，

设O的半径为R，则OAR，OER2，

AE25，

在Rt△OAE中，OA2OE2AE2，

22

R2R225,解得R4，

OEOCCE422，

OHAB，

1

AHBHAB，

2

11

OHAEOEOA，

22

OEOA2445

OH，

AE255

2

在△中，2224585，

RtAOHAHOAOH4

55

165

AB2AH．

5

典例引领

【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ADC内接于O，过点A作AB平行于CO交CD的延长

线于点B，OCAADC．

(1)求证：AB是O的切线；

(2)若ABAC4，求AD的长．

【答案】(1)见解析

2

(2)

2

1

【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理得到OACOCAAOC，再利用三角形的内角和定理得到

2

AOC=90,进而得到OABAOC90，从而得出结论；

（2）根据勾股定理得到ACOA2OC22OA4，进而求出OA的长，再利用圆周角定理求出

AOD2ACB45，最后利用弧长公式计算即可．

【详解】（1）证明：如图，连接OA，则OAOC，

OACOCA，

1

OCAADCAOC，

2

1

OACOCAAOC，

2

OACOCAAOC180，

11

AOCAOCAOC180，

22

AOC90，

AB∥CO，

OABAOC90，

OA是O的半径，且ABOA，

AB是O的切线；

（2）解：如图，连接OD，

ABAC4，OAOC，AOB90，

BACB，OCAOAC45，

ACOA2OC22OA4，

OA22，

AB∥CO，

BOCB，

1

ACBOCBOCA22.5，

2

AOD2ACB45，

45π222

AD的长是π．

1802

【典例02】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于

点D，过点D作DEAC，垂足为点E，延长CA交O于点F．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若AF4，C30，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析

8

(2)63π

3

【分析】（1）如图，连接OD，由ODOB根据“等边对等角”得OBDODB，已知BC，即可得

ODBC，根据“同位角相等，两直线平行”得OD∥AC，根据DEAC，可得ODDE即可证明结论；

1

（2）如图，过点O作OGAF，垂足为点G，根据垂径定理，则得AGGFAF2，再根据等边对等

2

角以及三角形的外角的性质可得OAG60，解直角三角形可得OG23，OA4，进而得到SVAOG23；

60π428

再证明四边形ODEG是矩形，以及S矩形ODEG83；易得AOD2B60，则S扇形π，最

OAD3603

后根据S阴影S矩形ODEGS△AOGS扇形OAD求解即可．

【详解】（1）证明：如图，连接OD，

以AB为直径的O交BC于点D，

ODOB，

OBDODB，

ABAC，

BC，

ODBC，

OD∥AC，

DEAC，

ODDE，

DE是O的切线．

（2）解：如图，过点O作OGAF，垂足为点G，

在O中OGAF，AF4，

1

AGGFAF2

2

ABAC，

BC30，

∴OAGBC60，

AG

∴OGAGtan6023，OA4OD，

cos60

1

∴S22323，

△AOG2

DEAC，OGAF，ODDE，

∴GED90，ODE90，OGE90，

四边形ODEG是矩形，

∴S矩形ODEG42383，

AOD2B60，

60π428

Sπ，

扇形OAD3603

88

∴S阴影S矩形SS扇形8323π63π．

ODEG△AOGOAD33

方法透视

切线证明与计算：先证切线（连半径证垂直），再结合勾股或相似求半径或线段长。

考向1.

扇形面积计算：利用切线性质求出圆心角，代入扇形面积公式求面积。

2.S=2

解读𝑛�

3.阴影面积综合：切线分割圆形成扇形和三角形，用割补法求阴影部36分0面积（常为扇形加减三角

形）。

先证切线得垂直：通过切线证明得到直角，为后续勾股或角度计算打基础。

方法1.

2.圆心角定弧长：由切线性质或角度关系求出圆心角度数n，代入弧长或面积公式。

技能

3.割补求阴影：阴影面积不规则时，分割为扇形和三角形，分别计算后相加减。

变式演练

【变式01】（2026·山东威海·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的顶点B、C、D在O上，连接OC，OD．

(1)若COD120，CD6，求CD的长．

(2)若COD128，A58，求证：直线AB是O的切线．

43

【答案】(1)π

3

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，圆的切线的证明，弧长的计算，作出合适

的辅助线是解本题的关键．

（1）如图，过O作OMCD于M，证明ODCOCD30，求解OD23，再利用弧长公式计算即

可；

（2）如图，连接OB，利用等腰三角形的性质与平行线的性质证明ABO90，可得OBAB，从而可

得结论．

【详解】（1）解：如图，过O作OMCD于M，

∵COD120，CD6，OCOD，

∴DMCM3，ODCOCD30，

DM

∴OD23，

cos30

12023π43

∴CDπ；

1803

（2）证明：如图，连接OB，

∵COD128，OCOD，

1

∴ODCOCD18012826，

2

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AB∥CD，而A58，

∴ABC18058122，BCDA58，

∴OCB582632，

∵OBOC，

∴OBCOCB32，

∴ABO1223290，

∴OBAB，

OB是O的半径，

∴直线AB是O的切线．

【变式02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AD平分BAC交BC于

点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的O经过点D，交AB于点F，连接DF．

(1)求证：BC是O的切线；

(2)若BD6，tanADB3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【答案】(1)见解析

(2)8π

【分析】（1）连接OD，由OAOD，得到OADODA，由角平分线定义得到OADBAD，因此

ODABAD，推出OD∥AB，得到半径ODBC，即可证明问题；

（2）连接OF，DE，由tanADB3，得到ADB60，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余

弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解

决问题．

【详解】（1）证明：如图，连接OD，

∵OAOD，

∴OADODA，

∵AD平分BAC，

∴OADBAD，

∴ODABAD，

∴OD∥AB，

∴ODCB90，

∴ODBC，

又∵OD是O的半径，

∴BC是O的切线；

（2）解：如图，连接OF，DE，

∵ÐB=90°，tanADB3，

∴ADB60，BAD30，

∵BD6，

∴AD2BD12，

∵AE是O的直径，

∴ADE90，

∵AD平分BAC，

∴DAEBAD30，

在RtADE中，AD12，

AD3

∵cosDAE，

AE2

∴AE83，

1

∴OAAE43，

2

∵AD平分BAC，

∴BAC2BAD60，

∵OAOF，

∴AOF是等边三角形，

∴AOF60，

∵OD∥AB，

∴S△ADFS△AOF，

2

∴60π43．

S阴影S扇形8π

OAF360

典例引领

【典例01】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD2ABBC中，E是BC中点，以点E为圆心，CE

长为半径在矩形内画半圆，AG切半圆于点F，与CD交于点G，连接AE,GE．

(1)求证：AEGE；

(2)若AE:EG4:3,AB4，求四边形ADGE的面积．

【答案】(1)详见解析

117

(2)

8

【分析】（1）结合矩形的性质，以及切线的性质，证明AFE≌ABEHL，得AEFAEB，

则同理GFE≌GCEHL，得GEFGEC，故AEGAEFGEF90，即可作答．

BE3

（2）先得AFAB4，结合AE:EG4:3，故tanBAE，又因为A