热点题型9-1 排列组合与二项式定理经典问题全归纳8大题型（学生版）-2026新高考数学热点题型全解全练

排列组合与二项式定理经典问题全归纳8大题型目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01相邻问题题型02不相邻问题题型03特殊元素（位置）题型04定序倍缩题型05分组分配题型06三项式题型07二项式乘积题型08展开式系数问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（不相邻问题）（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（

）个.A．432 B．257 C．282 D．5042．（不相邻问题）（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（

）A．144 B．240 C．336 D．4563．（特殊元素（位置））（2026高三·全国·专题练习）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的方法种数是（

）A．48 B．144 C．288 D．5764．（定序倍缩）（24-25高二下·湖北·期中）系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（

）A． B． C． D．5．（分组分配）（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．360 D．5406．（三项式）（2022·安徽宣城·二模）的展开式中常数项为（

）A． B． C．0 D．207．（二项式乘积）（2025·江苏扬州·三模）的展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．608．（展开式系数问题·多选题）（2026·湖北十堰·一模）若，则（

）A．（）B．C．从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种D．从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种01相邻问题9．（2025·河南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（

）A．120种 B．360种 C．240种 D．720种10．（2025高三·全国·专题练习）将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（

）A．10种 B．20种 C．18种 D．15种11．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（

）A．18种 B．24种 C．48种 D．60种12．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（

）A． B． C． D．02不相邻问题13．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）一个8位数的密码由5个1和3个0组成，则3个0都不相邻的概率为（

）A． B． C． D．14．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（

）A． B． C． D．15．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（

）种A．40 B．60 C．80 D．12016．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（

）种.A．216 B．360 C．432 D．67217．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（

）A．16种 B．20种 C．24种 D．28种03特殊元素（位置）18．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种19．（25-26高三上·贵州·月考）甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（

）A．36种 B．72种 C．60种 D．96种20．（25-26高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（

）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种21．（25-26高三上·天津·期中）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（

）种.A．120 B．60 C．24 D．3622．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（

）．A．72种 B．66种 C．42种 D．36种23．（25-26高三上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（

）A． B． C． D．04定序倍缩24．（24-25高二下·山东菏泽·月考）某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（

）A．21 B．30 C．42 D．6025．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（

）A．10 B．20 C．60 D．3026．（23-24高二下·广东中山·月考）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（

）A．150 B．300 C．900 D．45027．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（

）A．12种 B．16种 C．24种 D．28种28．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（

）个．A．480 B．600 C．720 D．84029．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（

）A．8400 B．11760 C．13440 D．2016005分组分配30．（24-25高二下·广东广州·月考）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种31．（25-26高二上·安徽六安·期末）临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（

）种A．60 B．90 C．150 D．24032．（25-26高三上·河南漯河·期末）将6名学生分别安排到甲､乙､丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（

）A．392 B．390 C．262 D．26033．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（

）A．450 B．540 C．630 D．90034．（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（

）A．150种 B．360种 C．450种 D．800种35．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（

）A．110种 B．140种 C．220种 D．280种06三项式36．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（

）A．15 B．45 C．60 D．9037．（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（

）A．60 B．120 C．240 D．36038．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（

）A．360 B．540 C．720 D．108039．（25-26高三上·北京·月考）展开式中的系数为（

）A． B．C．160 D．8040．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（

）A．30 B． C．60 D．41．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（

）A．10 B． C． D．07二项式乘积42．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．2043．（2025高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（

）A．88 B．89 C．90 D．9144．（25-26高三上·湖北·月考）的展开式中的系数为（

）A．162 B．168 C．180 D．18545．（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（

）A．16 B．32 C．48 D．6446．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（

）A．－60 B．－80 C．100 D．12047．（2026·重庆·模拟预测）的展开式中的系数为（

）A．18 B．21 C．22 D．2808展开式系数问题（多选题）48．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（

）A． B．C． D．除以6所得的余数为549．（25-26高三上·江西·月考）已知，则（

）A． B．C． D．50．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）若，则（

）A． B．C． D．51．（2026·重庆·一模）已知，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．中，与最大52．（2026高三上·湖北孝感·专题练习）若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．被16除的余数是1553．（2026·山东·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．54．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知，则（

）A． B．C． D．一、单选题1．（25-26高三下·北京·开学考试）在的展开式中，的系数为（

）A．10 B．-10 C．40 D．-402．（2026·安徽马鞍山·一模）若，则（

）A．-56 B．-28 C．28 D．563．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（

）A．5 B．9 C．15 D．194．（2026·陕西·模拟预测）展开式中的系数为（

）A．56 B．42 C．84 D．1205．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（

）A．8 B．9 C．10 D．116．（2026高三·全国·专题练习）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（）A．10种 B．种 C．种 D．45种7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（

）A． B． C． D．8．（2026高三·全国·专题练习）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（

）A．560 B．2735 C．1136 D．480二、多选题9．（2025·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（

）.A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法10．（2025·陕西西安·模拟预测）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（

）A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种一、单选题11．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（

）A． B． C． D．12．（25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（

）A．24 B．48 C．64 D．12813．（2026·山东潍坊·模拟预测）某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）：运行模式代码绿波协调0红灯截流控制1区域协调-1现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（

）A．40 B．51 C．131 D．21014．（25-26高三上·天津河东·期末）包含甲在内的4名在校大学生计划参加2025年上海合作组织天津峰会的志愿者服务，有五大道、海河游船码头、意大利风情街三个地区可以选择，每个学生必须且只能选择一个地区，每个地区至少招募这4名志愿者中的一名，若甲只去五大道服务，则不同的招募方式共有（

）A．6 B．27 C．18 D．1215．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（

）A． B． C． D．16．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（

）A． B． C． D．二、多选题17．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（

）A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大C．存在常数项 D．有理项共有7项18．（25-26高三上·湖南常德·月考）若，则下列正确的是（

）A．B．C．D．19．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题20．（25-26高三上·福建福州·期中）来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故