6 用导数研究函数的性质教学设计北师大版2019选择性必修 第二册-北师大版2019

6用导数研究函数的性质教学设计北师大版2019选择性必修第二册-北师大版2019教学课题课时1备课时间2025年10月授课时间2025年10月设计思路一、设计思路以函数单调性、极值、最值为研究主线，结合课本实例，引导学生通过导数符号判断单调性、求极值与最值，经历“直观感知—抽象概括—应用深化”过程，强化数形结合与逻辑推理，落实导数工具性的核心素养培养。核心素养目标二、核心素养目标数学抽象：通过导数符号抽象函数单调性、极值的本质特征。逻辑推理：经历导数符号与函数性质间的逻辑推导，培养严谨推理能力。数学运算：熟练运用导数求函数单调区间、极值与最值，提升运算准确性。直观想象：结合函数图像理解导数与函数性质的联系，强化数形结合思想。数学建模：运用导数解决实际问题中的最优化问题，培养数学建模意识。学习者分析三、学习者分析1.学生已掌握导数的概念、几何意义、基本初等函数的导数公式及四则运算法则，具备求导运算基础，能理解导数描述函数瞬时变化率。2.学生对用数学工具解决函数性质问题有较高兴趣，具备一定抽象思维和逻辑推理能力，部分偏好数形结合学习，部分擅长抽象推导，个体差异明显。3.可能困难：导数符号与单调性、极值的对应关系易混淆；复合函数求导运算易出错；结合图像分析性质时数形结合能力不足；解决实际最优化问题时建模与转化能力较弱。教学资源准备四、教学资源准备1.教材：每位学生配备北师大版2019选择性必修第二册教材。2.辅助材料：准备函数单调性、极值的动态图像图表，导数应用例题解题步骤视频。3.实验器材：无需实验器材。4.教室布置：设置分组讨论区，便于合作探究导数性质问题。教学流程基本内容1.导入新课（5分钟）

展示函数f(x)=x³-3x的图像，提问：“函数图像在哪些区间上升或下降？如何用数学工具精确描述？”结合学生已学的导数几何意义，引导其观察：图像上升时切线斜率（导数）为正，下降时为负，从而引出本节课主题——用导数研究函数的单调性、极值与最值。

2.新课讲授（20分钟）

（1）导数与函数单调性（7分钟）

分析定理：若f'(x)>0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递增；若f'(x)<0，则单调递减。举例f(x)=x²，求导得f'(x)=2x，当x>0时f'(x)>0，函数单调递增；x<0时f'(x)<0，单调递减。强调“导数非负（非正）但不恒为0”是单调递增（减）的充分条件，突破“导数等于0时是否单调”的难点。

（2）导数与函数极值（7分钟）

分析极值点必要条件：f(x)在x₀处可导且取得极值，则f'(x₀)=0。举例f(x)=x³-3x，求导得f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。列表分析导数符号变化：x<-1时f'(x)>0，-1<x<1时f'(x)<0，x>1时f'(x)>0，故x=-1处极大值，x=1处极小值。强调“导数由正变负或负变正”是极值点的充分条件，突破“导数为0不一定是极值点”（如f(x)=x³在x=0处）的难点。

（3）函数最值的求法（6分钟）

分析闭区间上最值步骤：求导数→找临界点（f'(x)=0或不存在）→计算临界点及端点函数值→比较大小。举例f(x)=x³-3x在[-2,2]上，临界点x=±1，计算f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2，最小值为-2。强调“端点不可忽略”，突破“只比较临界点”的误区。

3.实践活动（9分钟）

（1）单调性判断（3分钟）

给出函数f(x)=2x³-3x²-12x+1，学生独立求导f'(x)=6x²-6x-12，令f'(x)=0得x=-1,2，分析各区间导数符号，写出单调区间：(-∞,-1)单调递增，(-1,2)单调递减，(2,+∞)单调递增。教师巡视指导求导运算及符号判断。

（2）极值求解（3分钟）

给出函数f(x)=x⁴-2x²，求导f'(x)=4x³-4x=4x(x²-1)，令f'(x)=0得x=0,±1。列表判断符号变化，得出x=-1处极小值-1，x=0处极大值0，x=1处极小值-1。强调列表法清晰直观，突破符号变化判断难点。

（3）实际应用（3分钟）

问题：“用总长为20m的篱笆靠墙围矩形场地，长宽多少时面积最大？”设宽为x，长为20-2x，面积S=x(20-2x)=-2x²+20x(0<x<10)，求导S'=-4x+20，令S'=0得x=5，此时长10m，面积50m²。引导学生将实际问题转化为函数模型，用导数求最值，培养建模能力。

4.学生小组讨论（9分钟）

（1）导数符号与单调性对应关系（3分钟）

问题：“若f'(x)≥0在区间I上恒成立，f(x)一定在I上单调递增吗？”举例f(x)=x³在R上，f'(x)=3x²≥0，但x=0时f'(x)=0，函数仍单调递增；反例f(x)=1（常数函数），f'(x)=0，但不单调递增。讨论得出“导数非负且不恒为0”是单调递增的充分条件。

（2）极值点与导数的关系（3分钟）

问题：“f(x)在x₀处导数不存在，是否可能取得极值？”举例f(x)=|x|，x=0处导数不存在，但取得极小值0；反例f(x)=x^(1/3)，x=0处导数不存在，但无极值。讨论得出“极值点可能在导数为0或不存在处”，突破“极值点必导数为0”的误区。

（3）最值求解中的注意事项（3分钟）

问题：“开区间上函数一定有最值吗？”举例f(x)=x在(0,1)上无最值；f(x)=1/x在(0,+∞)上无最值；f(x)=x²在[-1,1]上有最值。讨论得出“闭区间上连续函数必有最值，开区间需结合单调性与极限判断”，突破“闭区间与开区间最值条件”的难点。

5.总结回顾（2分钟）

梳理核心知识：导数符号→单调性；导数0及符号变化→极值；闭区间临界点与端点值比较→最值。强调易错点：单调性中“导数非负不恒为0”，极值点中“导数不存在也可能”，最值中“端点不可忽略”。呼应导入问题，明确用导数研究函数性质的逻辑链条，落实核心素养。教学资源拓展1.拓展资源

（1）函数类型拓展：除教材中的多项式函数外，补充分式函数（如f(x)=x/(x²+1)）、指数函数（如f(x)=e^x-x）、对数函数（如f(x)=lnx-x）的导数性质研究，分析其单调区间、极值及最值，理解不同函数类型中导数符号变化与函数形态的对应关系。

（2）导数的物理意义：结合瞬时速度（位移对时间的导数）、加速度（速度对时间的导数）等实例，体会导数描述变化率的实际应用，深化对“导数刻画函数变化快慢”的理解。

（3）数学史背景：介绍费马求极值的方法、牛顿“流数术”中导数的思想，以及莱布尼茨符号体系的形成，感受导数概念的发展历程，体会数学文化的严谨性与创新性。

（4）导数与不等式：利用函数单调性证明不等式（如证明x>0时，lnx≤x-1），通过构造函数f(x)=lnx-x+1，求导分析单调性，利用极值或端点值证明不等式，体现导数在代数证明中的应用。

（5）导数与方程根的分布：结合函数单调性与极值，判断方程f(x)=0根的个数（如判断方程x³-3x+k=0根的个数），通过求导分析函数极值，结合图像与x轴交点情况，培养数形结合与逻辑推理能力。

2.拓展建议

（1）分层练习巩固：基础层完成教材PXX“习题6.3”中变式训练（如改变函数类型或区间，求单调区间）；进阶层探究含参函数（如f(x)=x³-ax²+3x）的单调性与极值，讨论参数a对性质的影响，提升分类讨论能力；应用层解决实际问题（如“用导数优化利润问题”“运动学中的最大高度问题”），体会数学建模思想。

（2）绘制图像对应图：选取复杂函数（如f(x)=x³-6x²+9x+1），使用绘图工具或手工绘制函数图像与导数f'(x)=3x²-12x+9的图像，标注单调区间、极值点，观察导数正负与函数升降的对应关系，强化数形结合思想。

（3）整理易错点卡片：总结常见误区，如“导数不存在的点可能是极值点（如f(x)=|x|在x=0处）”“开区间上函数不一定有最值（如f(x)=x在(0,1)上）”“证明不等式时需确定定义域”等，形成知识卡片，便于复习巩固。

（4）跨学科应用探究：结合物理中的速度-时间图像，分析导数（加速度）与运动状态的关系；结合经济学中的边际成本、边际收益，理解导数在优化决策中的应用，体会数学的工具性与应用价值。

（5）小组合作探究：以“生活中的最优化问题”为主题，分组收集实例（如材料最省、容积最大、利润最高等），用导数建立函数模型求解，撰写小报告并在班级交流，培养合作意识与表达能力。板书设计①核心概念与定理

-导数与单调性：f'(x)>0⇒f(x)单调递增；f'(x)<0⇒f(x)单调递减

-极值点必要条件：f(x)在x₀处可导且取得极值⇒f'(x₀)=0

-极值点充分条件：f'(x)在x₀处由正变负⇒极大值；由负变正⇒极小值

-闭区间上最值步骤：求导→找临界点（f'(x)=0或不存在）→算临界点及端点值→比较大小

②易错点与注意事项

-单调性：导数非负且不恒为0才单调递增；导数=0不一定是极值点（如f(x)=x³）

-极值点：导数不存在处也可能有极值（如f(x)=|x|在x=0处）

-最值：开区间上不一定有最值；闭区间必须比较端点值

③逻辑链条与应用方法

-导数符号→单调性→极值（导数符号变化）→最值（闭区间比较）

-实际应用建模：实际问题→建立函数模型→求导找临界点→分析性质→求解最值反思改进措施（一）教学特色创新

1.数形结合贯穿始终，用动态图像直观展示导数符号与函数升降的对应关系，帮助学生突破抽象难点。

2.分层探究设计，从基础单调性判断到含参函数讨论，再到实际应用建模，满足不同学生需求。

3.生活化问题驱动，如篱笆围场地、利润优化等，让学生体会导数的实用价值。

（二）存在主要问题

1.部分学生求导运算不熟练，尤其是复合函数求导易出错，影响性质分析效率。

2.小组讨论时，少数学生参与度不高，讨论深度不够，难以形成思维碰撞。

3.评价反馈偏重结果，对学生逻辑推理过程的关注不足，易忽略思维误区。

（三）改进措施

1.每日课前增设“导数速算5分钟”，强化公式记忆与运算技巧，夯实基础。

2.设计“问题链”引导讨论，如“导数=0一定有极值吗？举例说明”，明确讨论方向，确保全员参与。

3.增加“过程性评价”，记录学生分析思路，对典型错误进行集体辨析，提升思维严谨性。教学评价1.课堂评价：通过提问“导数符号与单调性的对应关系”检查学生对核心定理的理解，观察学生求导运算（如复合函数求导）的过程，及时发现符号判断错误或步骤遗漏；利用课堂小测试（如判断给定函数的单调区间、求极值点）反馈学生掌握情况，针对典型错误（如忽略导数不存在点、混淆极值与最值）进行即时讲解，确保当堂问题当堂解决。

2.作业评价：对教材PXX习题中的含参函数单调性问题（如f(x)=x³-ax²+3x）进行批改，重点点评参数分类讨论的逻辑严密性；对实际应用题（如“用导数优化利润问题”）的建模过程给予反馈，强调函数定义域的确定和临界点分析的有效性；对作业中的共性错误（如极值点充分条件应用不当）进行集中讲评，对优秀解法予以展示，激励学生巩固基础，提升综合应用能力。课后作业1.求函数f(x)=x³-6x²+9x的单调区间及极值。

答案：f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，当x<1或x>3时f'(x)>0，单调递增；1<x<3时f'(x)<0，单调递减。x=1处极大值f(1)=4，x=3处极小值f(3)=0。

2.讨论函数f(x)=x³-ax²+3x（a∈R）的单调性。

答案：f'(x)=3x²-2ax+3，Δ=4a²-36。当|a|≤3时，Δ≤0，f'(x)>0，单调递增；当a>3时，x∈(a-√(a²-9))/3或(a+√(a²-9))/3<x时单调递增，中间区间单调递减；a<-3时类似对称。

3.求函数f(x)=x⁴-4x²+1在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

答案：f'(x)=4x³-8x=4x(x²-2)，临界点x=0,±√2。计算f(-2)=9，