《机器人学基础》-第5章

第5章

速度与雅可比矩阵由机器人的逆运动学可知,在机器人的末端位置到机器人的关节位置的映射十分复杂,尤其是对于自由度多的机器人,有时可能没有解析解。而雅可比矩阵(JacobianMatrix)可以实现末端速度和关节速度之间的映射。使用雅可比矩阵可以实现机器人末端静力与关节力矩之间的映射,同时也可以对冗余自由度机器人进行轨迹优化。5.1

速度与角速度如图所示,P为坐标系{B}上一点,其在坐标系{B}的位置为,P相对于坐标系{B}运动,坐标系{B}相对于坐标系{A}运动,坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态为,坐标系{B}的原点在坐标系{A}中的位置为

。由机器人的数学基础可知,P点在坐标系{A}下的坐标为5.1

速度与角速度通过速度的定义可知,P点相对于坐标系{A}的速度为式(5-1)的微分。为坐标系{B}中某点速度的普遍表示,其中

为坐标系{B}原点相对于坐标系{A}的速度,为P点相对于坐标系{B}的运动速度在坐标系{A}下的表示,为坐标系{B}相对于坐标系{A}的角速度产生的P点的速度。5.1

速度与角速度定义当坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态不变时,坐标系{B}上固连刚体的任意点的速度称为线速度。此时坐标系{B}上固连刚体相对于坐标系{A}的速度简化为5.1

速度与角速度定义当坐标系{B}与坐标系{A}的原点重合,且坐标系{B}原点相对于坐标系{A}线速度为0,坐标系{B}上的刚体相对于坐标系{B}固连无相对运动,坐标系{B}相对于坐标系{A}旋转,规定角速度用矢量

表示,其中旋转速度为,旋转轴对应的单位矢量为

。此时求坐标系{B}上固连刚体上一点P相对于坐标系{A}的速度有两种方法:一种是矩阵法,另一种是矢量法。5.1

速度与角速度①由坐标系旋转引起的速度的矩阵解法:当坐标系{B}与坐标系{A}的原点重合,坐标系{B}相对于坐标系{A}绕坐标系{A}中表示的单位矢量r

旋转Δθ,可得5.1

速度与角速度当Δθ

趋近于0时,,,式(5-6)可以简化为将式(5-7)代入式(5-5),可得5.1

速度与角速度取极限可得记，则可以得到将(5-10)代入式(5-9)则可得到5.1

速度与角速度整理可得到将式(5-11)代入(5-4),可得到令5.1

速度与角速度将式(5-14)代入式(5-13)可得由,代入式(5-15),可以得到5.1

速度与角速度②由坐标系旋转引起的速度的矢量解法:如图所示,坐标系{B}与坐标系{A}的原点重合,坐标系{B}相对于坐标系{A}绕矢量

旋转,旋转速度为,旋转轴对应的单位矢量为

。P为坐标系{B}上固连的一点,当Δt→0时,ΔP在方向上垂直于矢量P和,数值上5.1

速度与角速度两边都除以Δt,可得到则根据矢量的定义,可以将式(5-18)写为矢量积的形式P点在坐标系{B}下的表示为将式(5-20)代入式(5-19)可得到5.1

速度与角速度对比式(5-16)和式(5-20),可知通过计算很容易证明对于任意矢量P公式(5-23)可以将矢量积运算转换为矩阵运算,从而利用矩阵的特性简化运算。由前述讨论可知,坐标系{B}在坐标系{A}下的旋转矩阵为,刚体的旋转在坐标系{B}下的角速度为,根据角速度的定义,则刚体在坐标系{A}下的角速度5.2角速度的特性通过式(5-7),可以计算得到坐标系绕自身的三个轴线做微小旋转后相对于坐标系的姿态矩阵。绕坐标系的X轴旋转,旋转角度为Δα绕坐标系的Y轴旋转,旋转速度为Δβ5.2角速度的特性绕坐标系的Z轴旋转,旋转速度为Δγ坐标系{A}与坐标系{B}初始位置重合,坐标系{B}绕坐标系{A}的X轴旋转Δα,再绕坐标系{A}的Y轴旋转Δβ,最后绕坐标系{A}的Z轴旋转Δγ,此时坐标系{B}在坐标系{A}下的表示为5.2角速度的特性当Δα、Δβ、Δγ

趋近于无穷小时,其任意两项或者三项的乘积相对于其自身为高阶无穷小,因此式(5-28)可以化简为同理,交换坐标系{B}绕坐标系{A}的坐标轴的旋转顺序,可以得到5.2角速度的特性当转动角度趋于无穷小时,机器人旋转矩阵相乘具有可交换性。令对式(5-30)求导,可得到对任意单位矢量定义角速度5.2角速度的特性对绕任意矢量r,以速度

旋转,与分别绕x轴旋转速度,绕y轴旋转速度,绕z轴旋转速度

任意组合等效。由此可知,速度具有可加性的特点,即当某一坐标系绕着各个坐标轴均有旋转速度,则角速度为绕各个轴旋转速度的矢量和。5.3机器人连杆间速度的传递由于串联型机器人是链式结构,机器人每个连杆的运动均与其相邻的连杆有关,基于链式结构的特点,可以由机器人从基坐标系依次向后计算各个连杆的速度。对于转动关节,由于角速度有可加性,关节i+1的角速度等于关节i的角速度加上关节i+1自身的角速度。由正运动学可知,关节的旋转方向只能是绕Z轴旋转,因为两个相邻关节间角速度关系为其中5.3机器人连杆间速度的传递对于转动关节,因为两个相邻关节间线速度关系为其中,为坐标系{i+1}的原点在坐标系{i}中的位置。对于关节i+1为移动关节的情况,可得到相应的关系由式(5-33)、式(5-35)和式(5-36)得到相邻关节间速度传递的关系,但是式(5-33)、式(5-35)和式(5-36)的表达方式递推困难,因此在上式等式的左右两边各乘以,得到5.3机器人连杆间速度的传递关节{i+1}为旋转关节时,两个关节的速度关系关节{i+1}为移动关节时,两个关节的速度关系由公式(5-37)和公式(5-38),可以实现从一个连杆到下一个连杆的速度传递,最终计算出机器人末端的线速度和角速度。5.4雅可比矩阵的求解机器人的雅可比矩阵J

是指从机器人的关节空间速度向机器人末端笛卡尔空间速度的映射,即其中V为机器人末端笛卡尔空间的速度矢量,V是6×1的矢量,包含机器人末端笛卡尔空间的线速度矢量和角速度矢量际上,机器人的雅可比矩阵J也可以实现机器人关节空间力矩与机器人末端笛卡尔空间的力/力矩映射5.4雅可比矩阵的求解5.4.1基于连杆间速度传递的雅可比矩阵求解算法由公式(5-37)和公式(5-38),可以计算出机器人末端的线速度和角速度与机器人关节角速度之间的数学关系,通过整理可以得到式(5-39)的形式,从而得到雅可比矩阵。但是该方法不能到雅可比矩阵的显式形式,还需要整理,使用不是很方便。5.4雅可比矩阵的求解5.4.2基于矢量积的雅可比矩阵求解算法机器人的每个关节运动都会对机器人的末端运动速度产生影响,因此通过计算关节速度与末端速度的关系,便可以写出雅可比矩阵。对于转动关节i,其转动在机器人末端产生的角速度为其中Zi

为机器人坐标系{i}的Z轴。5.4雅可比矩阵的求解关节i

转动导致机器人末端产生的线速度为其中

为机器人末端坐标系原点在坐标系{i}中的位置。则此时雅可比矩阵的第i列为对于移动关节i,其移动在机器人末端产生的角速度为关节i移动在机器人产生的线速度为5.4雅可比矩阵的求解则此时雅可比矩阵的第i列为根据式(5-43)和式(5-46),便可以直接写出雅可比矩阵的各列。而

的计算十分复杂,导致该方法计算雅可比矩阵也比较复杂。5.4雅可比矩阵的求解5.4.3基于全微分的雅可比矩阵求解算法由机器人的正运动学可以得到机器人末端相对于机器人基坐标系的位置展开得5.4雅可比矩阵的求解根据雅可比矩阵的定义可知,对

求全微分,便可以计算出机器人线速度与机器人关节角间的映射。整理可得5.4雅可比矩阵的求解两侧同时除以Δt,可得到可得到雅可比矩阵的线速度相关前三行矩阵元素,该方法只需对末端在基坐标系下的位置求全微分即可,算法简单。5.5雅可比矩阵的特性5.5.1雅可比矩阵在不同参考坐标系下的变换雅可比矩阵是指从机器人的关节空间速度向机器人末端笛卡尔空间速度的映射。而机器人末端笛卡尔空间速度在不同的坐标系下有不同的表示,因此机器人雅可比矩阵在不同坐标系下会不同。坐标系{B}在坐标系{A}下的旋转矩阵为,机器人末端速度在坐标系{B}下的速度为5.5雅可比矩阵的特性则机器人末端速度在坐标系{A}下的线速度为,角速度为

。将式(5-52)代入式(5-53),可得到在坐标系{A}中雅可比矩阵

为可得到雅可比矩阵在不同参考坐标系下的变换。5.5雅可比矩阵的特性例5.1对于两自由度平面机器人,写出其基坐标下的雅可比矩阵和末端坐标系下的雅可比矩阵。根据下图所示,机器人的末端坐标系在基坐标系下的齐次矩阵为可知5.5雅可比矩阵的特性采用基于全微分的雅可比矩阵求解算法,可以计算得到该两自由度机器人在基坐标下的雅可比矩阵。末端坐标系在基坐标系下的姿态矩阵为5.5雅可比矩阵的特性则基坐标系在末端坐标系下的姿态矩阵为由式(5-55)可得两自由度机器人在末端坐标下的雅可比矩阵5.5雅可比矩阵的特性例5.2参考下图,求RS10N型工业机器人在基坐标系下的雅可比矩阵。5.5雅可比矩阵的特性由第3章运动学中可知,RS10N型工业机器人末端坐标系原点在基坐标下的位置为由此可知雅可比矩阵的前3行为5.5雅可比矩阵的特性5.5雅可比矩阵的特性5.5雅可比矩阵的特性其中,代表雅可比矩阵的第i行,第j列元素。由，可以计算出机器人各关节坐标系在基坐标系下的姿态矩阵:5.5雅可比矩阵的特性可得5.5雅可比矩阵的特性雅可比矩阵的第4到6行为结合式(5-63)和式(5-89)可以得到RS10N型机器人在基坐标系下的雅可比矩阵:可以计算得到RS10N型机器人在末端坐标系下的雅可比矩阵。采用美国MathWorks公司出品的Matlab软件,给出了RS10N型6自由度工业机器人在末端坐标系下的雅可比矩阵。5.5雅可比矩阵的特性5.5.2运动学的奇异根据机器人雅可比矩阵的定义,由雅可比矩阵可以得到机器人的关节空间速度向机器人末端笛卡尔空间速度的映射。对6自由度机器人,由式(5-39)可以得已知机器人末端速度V情况下,由雅可比矩阵的逆可以计算出机器人关节的速度。然而雅可比矩阵不是在机器人所有的工作空间内都有逆矩阵。5.5雅可比矩阵的特性6自由度机器人的雅可比矩阵为方阵,机械臂的位形是不断变化的,而机器人的雅可比矩阵是机器人关节变量的函数,因此在机器人的某些位置会发生雅可比矩阵降秩的情况,此时雅可比矩阵的秩会小于6,即机械臂发生运动学“奇异”。雅可比矩阵奇异的位置称为机器人的奇异位形或者称为奇异状态。当机器人处于奇异位置时,机器人会失去一个或者多个自由度。此时机器人末端在某个方向上,无论以多大的速度运动,机器人末端在这个方向都不能产生运动。机器人雅可比矩阵的奇异位置通常出现下面两种情况:(1)机器人工作空间的边界。(2)机器人两个或者两个以上的关节轴线共线。5.5雅可比矩阵的特性例5.3如图所示,当机器人两个连杆l1=l2,机器人末端沿基坐标系X轴从基坐标系原点以速度v移动到2l1

的位置,求机器人的关节速度。5.5雅可比矩阵的特性计算两自由度机器人在坐标系{0}中的雅可比矩阵的逆:机器人的关节速度为:5.5雅可比矩阵的特性当θ2

为0°和180°时,机器人的雅可比矩阵奇异,机器人的两个关节速度均趋近于无穷大。当l1=l2=1m、v=1m/s时。机器人的关节运动速度如图所示。5.5雅可比矩阵的特性当机器人在奇异位形附近时,机器人末端即使在某方向运动的速度不大,其关节速度也可能很大,因此,机器人要尽量避免在奇异位形及其附近工作。5.6力域中的雅可比在机器人静止状态下,不考虑机器人