第6章 一次方程组（复习讲义）（解析版）-华东师大版(2024)七下

第6章一次方程组（复习讲义）1.了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联系。2.熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。3.理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验和作答的基本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。【知识点01:二元一次方程(组)的定义】1.二元一次方程：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，形式为ax+by=c（a、b不同时为0）。2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且未知数种类一致。3.注意：含未知数的项次数必须为1（如x2+y=3不是二元一次方程）；方程必须是整式方程（如1x+y=2【知识点02:二元一次方程(组)的解】1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为x=ty=c-atb2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。3.注意：若x=my=n【知识点03:二元一次方程组的解法】1.代入消元法：步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得解。适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。2.加减消元法：步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加/减可直接得到x+y或x−y的值）。【知识点04.二元一次方程组的应用】1.常见题型：增长率问题（内销、出口收入增长）；购物问题（两种商品的数量与总价）；运输问题（车皮数量与货物运输量）；几何问题（坐标对称、图形面积）；新定义问题（“繁花数”“风月同天数”“树人数”等）。2.解题步骤：设未知数（明确未知量的含义）；列方程组（根据题意找等量关系）；解方程组（选择合适的消元法）；验根（检验解是否符合实际意义）。题型一题型一二元一次方程（组）的概念【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A．x+y=5xy=6 B．x-【答案】C【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键．二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可．【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意；B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意；C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意；D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意．故选：C．【变式1-1】下列方程中，二元一次方程的个数为（

）①xy=1；②2x=3y；③x-1y=2；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1，用排除法求出答案．【详解】解：①xy=1②2x③x-④x2⑤x4⑥x-故选B．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是（

）A．4x+3yC．x+4y【答案】A【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可．【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意；B、有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，不符合题意；故选A．题型二题型二二元一次方程（组）的解【例2】下列各组数值中，哪组是二元一次方程2x+yA．x=-2y=6 B．x=4y=3【答案】C【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将每个选项中的x和y值代入方程2x+y【详解】解：A、把x=-2y=6B、把x=4y=3C、把x=3y=4D、把x=-6y=2故选：C．【变式2-1】方程组2x-y【答案】无解【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．通过比较两个方程即可得到结论．【详解】解：对于方程组2x观察两个方程，左边均为2x-y，但右边分别为1和由于1≠-3，因此方程组矛盾，无解．故答案为：无解．【变式2-2】在①x=2,y=1,②x=1,y=1,③x=-1,y=4中，是二元一次方程x【答案】①③②③③【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键．根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可．【详解】解：将①③代入x+y=3方程成立，②将②③代入3x+2y=5方程成立，将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立．故答案为：①①③；②②③；③③．题型三题型三解二元一次方程组【例3】解方程组：x-【答案】x【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键在于正确掌握消元法．将原方程组整理为3x【详解】解：x-整理得3x由2×②+①解得x=3将x=3代入②中得：2×3+解得y=2∴方程组的解为x=3【变式3-1】解方程组：(1)y=2(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．（1）利用代入消元法解方程即可；（2）整理方程①得方程3x【详解】（1）解：y=2将①代入②可得2x+2x将x=2代入①可得y故方程组的解为：x=2（2）解：x2整理①得：3x-②+③得：6x把x=3代入②得，y∴方程组的解为x=3【变式3-2】解方程：(1)3(2)x【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程的步骤，消元法解二元一次方程组是解题的关键：（1）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1进行求解即可；（2）加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：3x339x9x5xx=（2）解：x-①×2+②，得5x把x=2代入①，得2-y=1∴x=2题型题型四二元一次方程组之错解复原问题【例4】在解关于x、y的方程组ax+by=22cx+7y=8时，甲同学正确解得x=3y【答案】-【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可．【详解】解：将甲同学的解x=3y解得：c将乙同学的解x=-2y=6联立①和③解方程组：解得：a=4因此a故答案为：-3【变式4-1】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：2解：①×2得4x②-③得-y=12……将y=12代入①得x=16所以，原方程组的解为x=16y(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________；(2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________；(3)直接写出该方程组的正确解：________．【答案】(1)加减，等式的基本性质(2)二，y(3)x【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立；（2）观察题中的解题步骤发现在第二步“②-③得-y=-12（3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果．【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到，故答案为：加减，等式的基本性质．（2）解：∵②-③得∴第二步错误，正确结果应为y=-12故答案为：二，y=-12（3）解：2x由①×2得，4②-③得，将y=-12代入①得，x∴原方程组的解为x=-20【变式4-2】（1）解方程组：x-（2）小明在解方程组2m解：①×3得：6m②×2得：6m④-③得：所以：n将n=-265代入①所以这个方程组的解是m=-任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________；任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________；任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________．【答案】（1）x=67y=-任务2：三，④-任务3：m【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．（1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可；（2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可．【详解】解：（1）x①×22x②+7x解得x=将x=6767解得y=-∴原方程组的解为x=（2）任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质；故答案为：加减消元法，等式的性质；任务2：第三步出现错误，原因是④-故答案为：三；④-任务3：2①×3得：6②×2得：6④-③所以：n将n=2代入①2m所以这个方程组的解是m=2故答案为：m=2题型题型五二元一次方程组的应用之古代问题【例5】今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？【答案】1只雀重219斤，1只燕重3【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可．【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤，根据题意得：5x+6y即1只雀重219斤，1只燕重3【变式5-1】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（

）A．3y-2=x2y-9=【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得x=3y-2；每2人坐一车有【详解】解：设共有x人，y辆车，由题意得：3y故选：C．【变式5-2】列二元一次方程组解应用题：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？”【答案】绳子长16尺，木条长9尺【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：y-x=7，绳子对折后比木条短1【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意得：y-解得：x=9答：绳子长16尺，木条长9尺．题型题型六二元一次方程组的应用之几何问题【例6】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（）A．28 B．26 C．24 D．22【答案】A【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y．由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长，即x+2左边阴影部分：长为x，宽为7-2y，其周长为2右边阴影部分：长为2y，宽为7-x，其周长为将两块阴影部分的周长相加并化简：2=2==28故选A【点睛】本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用．【变式6-1】如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为m、nm>n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为【答案】16【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据S1=m2-SB，S【详解】解：根据题意，得m-解得m=5∵S1=m∴S====16，故答案为：16．【变式6-2】综合与实践【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．【素材】如图．①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；②原始水面高度是26cm的高为55【实践操作】如图．步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为32cm步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为32cm【实践探索】(1)放入一个小球水面升高cm；(2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为50cm【答案】(1)2(2)放入4个大球，6个小球【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键．（1）根据“3个小球使水面上升6cm”列式计算；（2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到50cm【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，32-26÷3=2故答案为：2；（2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高32-26÷2=3设放入x个大球，y个小球，根据题意，得x+解得x=4答：放入4个大球，6个小球．题型题型七二元一次方程组的应用之销售问题【例7】七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套?【答案】男款服装21套，女款服装29套【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设购买的男款服装x套，则女款服装(50-x)套，根据购买50套演出服共需【详解】解：设购买的男款服装x套，则女款服装(50-x根据题意，得100x解得：x=21∴50-x答：该班购买的男演出服21套和女演出服29套．【变式7-1】某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数量和所花费用如表：一类门票/张二类门票/张费用/元甲公司251800乙公司161600根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价．【答案】一类门票的单价为400元，二类门票的单价为200元【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意列出等式是解题的关键．设一类门票的单价为x元，二类门票的单价为y元，分别利用甲乙两公司的费用列方程组求解即可．【详解】解：设一类门票的单价为x元，二类门票的单价为y元，则有2x解得x=400答：一类门票的单价为400元，二类门票的单价为200元．【变式7-2】运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划花180元购买A，B两种明信片共20盒．已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元．(1)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程a+b=________________,(2)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数．请你帮他列出方程组并计算购买A种明信片和B种明信片各多少盒．【答案】(1)180；20；a表示买A种明信片花的总钱数，b表示买B种明信片花的总钱数．(2)x+y=20,12x+8y=180,购买了【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．（1）由已知条件补全方程组，根据总价÷单价=数量即可得出a，b分别表示的含义；（2）根据A种盒数+B种盒数=20，A种盒数×单价+B种盒数×单价【详解】（1）解：180，20；a表示买A种明信片花的总钱数，b表示买B种明信片花的总钱数．从等量关系式入手分析，由“a12”、“b8”可知，12、8分别表示两种明信片的单价，而依等量关系式可知：总价÷单价=数量，便知a表示A种明信片的总价，b表示B（2）解：根据题意，得x解得x答：购买了A种明信片5盒，B种明信片15盒．题型题型八二元一次方程组的应用之方案问题【例8】2023年8月，吉林省农博会在长春举行，某校组织学生去农博会参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问：甲、乙两种型号客车各租多少辆？【答案】租用甲型车5辆，乙型车10辆【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键．设租用甲型车x辆，乙型车y辆，根据租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，再建立方程组解题即可．【详解】解：设租用甲型车x辆，乙型车y辆，根据题意，得x+解得x=5答：租用甲型车5辆，乙型车10辆．【变式8-1】综合与实践某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：方案一购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠方案二购买玩偶满50个时，立减10元(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．【答案】(1)一共花费180元(2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个(3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键．（1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论；（2）设购买钥匙扣x个，玩偶y个，利用总价=单价×数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设购买钥匙扣a(a>30)个，玩偶b(b≥50)个，利用总价=单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a，b【详解】（1）解：4×30+2×30=180（元）．答：一共花费180元．（2）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个．根据题意得x+解得x=50答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个．（3）解：设购买钥匙扣a(a>30)根据题意得4×30+3.2(a∴b∵a，b均为正整数，且a>30，∴a=35b=70或∴共有以下3种购买方案：方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．【变式8-2】随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元．(1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元；(2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案；(3)若该超市销售1个A型玩具可获利8元，销售1个B型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元(2)共有3种购买方案，方案一；购进A型玩具6个，B型玩具5个；方案二：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案三：购进A型玩具2个，B型玩具15个(3)购进A型玩具2个，B型玩具15个获利最大，最大利润为91元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设A型玩具每个的进价为x元，B型玩具每个的进价为y元，根据“2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元”即可得出关于x、（2）设购进A型玩具m个，购进B型玩具n个，根据题意可得25m+10n=200，再由（3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可．【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为x元，B型玩具每个的进价为y元，由题意，得2解得x=25答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元；（2）设购进A型玩具m个，购进B型玩具n个，由题意，得25m解得m=8-因为m，n均为正整数，所以m=6n=5或m所以共有3种购买方案，方案一：购进A型玩具6个，B型玩具5个；方案二：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案三：购进A型玩具2个，B型玩具15个；（3）方案一可获得利润：8×6+5×5=73（元），方案二可获得利润：8×4+5×10=82（元），方案三可获得利润：8×2+5×15=91（元），因为73<82<91，所以购进A型玩具2个，B型玩具15个获利最大，最大利润为91元．题型题型九二元一次方程组的应用之分配问题【变式8-1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人．(1)请根据题意，列出二元一次方程组；(2)宿舍有多少间？学生有多少人？【答案】(1)3(2)宿舍有11间，学生有45人【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．（1）设宿舍有x间，学生有y人．根据题意，列出二元一次方程组，即可；（2）利用代入消元法解答即可．【详解】（1）解：设宿舍有x间，学生有y人．根据题意，列出二元一次方程组：3x（2）解：由（1）得3把②代入①，可得3x解得x=11把x=11代入①，得3×11+12=解得y=45∴二元一次方程组的解为x=11答：宿舍有11间，学生有45人．【变式8-2】根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?(2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？【答案】(1)见解析(2)x【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系．（1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系；（2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程．【详解】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数；等量关系为：图书数=学生数×6+40；图书数=学生数×8-50（2）解：∵图书有x本，学生有y人，由“每人分6本，剩40本”得：x=6由“每人分8本，缺50本”得：x=8∴x=6【变式8-3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．(1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架；(2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人(2)6人【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键．（1）设分配x名工人生产镜片，(22-x（2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可．【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，(22-x根据题意得：20x解得：x=12∴22-x∴生产镜架10人，生产镜片12人；（2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意得：2×12×10-解得：y=5∴分出6人生产B镜片．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（

）①1x+y=116x-6y=-9；②xy=9xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可．【详解】解：①方程组1x+y=116②方程组xy=9x+2y=16③方程组x-y=2④方程组x+12⑥方程组x=2⑦方程组x=∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个，故选：C．2．若关于x，y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是x=2A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键．将方程的解代入原二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值．【详解】解：∵x=2，∴3×2-a解得a=5故选：A．3．用代入消元法解方程组2x-y=53A．y=2x+5 B．y=2x-5 C【答案】B【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键．根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用x表示y的形式，从而消去y．【详解】解：∵2x∴-y∴y故选：B．4．若x=3y=-3，是关于x、y的二元一次方程ax-yA．4 B．-4 C．6 D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x=3y=-3【详解】解：∵x=3y=-3是方程∴a×3-即3a∴3a∴a=4故选：A．5．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（）A．y=7x+2y=6x+3 B．【答案】B【分析】本题考查了列二元一次方程组．根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得y=7x-2；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少【详解】解：∵每人出7钱，多2钱，∴y=7∵每人出6钱，差3钱，∴y=6∴可列方程组为y=7故选：B．二、填空题6．把方程2x-y=3变形为用x表示y的形式：【答案】2x-【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把x当成常数，解方程即可．【详解】解：∵2x∴y=2故答案为：2x7．若x=1y=-2是关于x，y的二元一次方程mx-【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握“将方程的解代入方程可构造关于未知参数的方程”是解题的关键．将方程的解代入原二元一次方程，得到关于m的方程，求解即可得到m的值．【详解】解：∵x=1y=-2∴m解得m=1故答案为：1．8．二元一次方程组x=32x【答案】x【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可得到答案．【详解】解：x把①代入②得2×3-y=8，解得∴原方程组的解为x=3故答案为：x=3三、解答题9．解下列二元一次方程组：(1)x(2)3(【答案】(1)x(2)x【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．（1）根据代入消元法，将②变形为：y=2x-5代入①即可求得x，再将（2）根据代入消元法，将②变形为：y=-2x-1代入①即可求得x，再将【详解】（1）解：由②，得y=2把y=2x-5代入①，得把x=3代入①，得y所以原方程组的解是x（2）由②，得y=-2x把②代入①，得3x-2把x=1代入③，得y所以原方程组的解为x10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为9cm2(1)图2中间阴影小正方形的边长为_____cm；(2)设每一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为(3)求每个小长方形的面积．【答案】(1)3(2)3x=5y(3)135【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．（1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可；（2）根据设每个小长方形的长为xcm，宽为y（3）求出x、y，即可得出每个小长方形的面积.【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为acma2=9，解得：（2）设每个小长方形的长为xcm，宽为y则由图1可列二元一次方程为3x由图2可列二元一次方程为x+3=2（3）设每个小长方形的长为xcm，宽为y根据题意得：3x解得：x=15∴xy答：每个小长方形面积为135cm11．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？【答案】大箱：24，小箱：10【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装x瓶矿泉水，小箱每箱装y瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案．【详解】解：设大箱每箱装x瓶矿泉水，小箱每箱装y瓶矿泉水，依题意得3x解得x=24答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．若单项式2x2ya+b与-1A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1【答案】A【分析】本题考查同类项的定义、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法、同类项的定义是解答本题的关键．两个单项式为同类项，则对应字母的指数相等，据此列出关于a和b的方程组并求解.【详解】解：∵单项式2x2y∴a由①得：a=b将③代入②得：b+2+解得b=1将b=1代入③得：a∴方程组的解为a故a，b的值分别为3，1故选：A．2．若关于x，y的方程组x+2y=2a-1x-yA．-1 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键．由x与y互为相反数，可得x=-y，代入到方程组中得到x、y的值，进而可得【详解】解：∵x与y∴x将x=-y代入x-解得y=-3∴x将x=3，y=-3代入x+2解得a=-1故选：A．3．已知关于x，y的方程组2x+y=3k+23A．14 B．-14 C．1【答案】C【分析】本题考查了解二元一次方程组．先求出x-3y【详解】解：2x②-①得∵x-∴-4解得：k=故选：C．4．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．设火车的速度为xms，火车的长度为A．x=1000+y40C．x=1000+y0.4【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长.利用速度、时间和距离关系列方程．【详解】解：设火车的速度为xm/s∵从开始上桥到完全过桥用时60s，行驶距离为1000+∴60x∵完全在桥上用时40s，行驶距离为1000-∴40x因此，方程组为60x故选：B．5．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（

）A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．设哥哥今年年龄为G岁，妹妹为M岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解．【详解】解：设哥哥今年年龄为G岁，妹妹为M岁∵今年子女年龄和G+两年后爸爸年龄为34+2=36岁，且3(M化简得：G+3联立方程：G+②−①得：2M∴M代入①得：G=10故原方程组的解为G∴哥哥10岁，妹妹6岁；故选：B.6．已知关于x，y二元一次方程组2x+y=-2x+2yA．0 B．2 C．-2 D．2【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①+②得3x+3y=m【详解】解：2x①+②，得3x∴x又∵关于x，y的二元一次方程组2x+y∴m∴m故选：B．7．若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与yA．-5 B．-1 C．3 D【答案】D【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为x=2和y=1，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于m和n的方程组，通过加减消元法直接求解【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为x=2将x=2,y=1代入第一个方程组的mx+代入第二个方程组的nx+my=-7，得：将①和②相加：(2m整理得：3m则m+故选：D．8．已知|x+2y+3|+(A．-1 B．1 C．2025 D．【答案】A【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出x和y的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．【详解】解：∵|x∴x+2解得x=1∴x+故选：A．二、填空题9．已知|x-3y+6|+(x【答案】-65【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可．【详解】解：由非负数的性质，得，{x解方程组，将两式相减，得，(x即5y解得y=代入第二式，得，x+2×解得x=-故答案为：-65，10．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有4b-2a张长方形宣纸和3a-5b张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则【答案】1【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是找准等量关系．先根据题意，列出关于x，y的方程组，再将两个方程组相加后两边都除以5即可．【详解】解：∵有4b-2a张长方形宣纸和3a∴4x∴两式相加，得5x∴x+故答案为：1511．关于x、y的方程组a1x+b1y=【答案】x【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为a1x-【详解】解：∵a1∴a1而关于x，y的方程组a1x+∴x-解得：x=11故答案为：x=1112．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文x,y对应加密文x+2y,2x+3y，如明文【答案】3,2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设明文为x,y，由加密规则得方程组【详解】解：设明文为x,x+2解得：x=3∴明文为：3,2，故答案为：3,2三、解答题13．方程组2x+3y=-5ax【答案】4【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可．【详解】解：∵方程组2x+3y∴方程组2x+3y解2x+3y把x=2y=-3代入ax故2a14．已知满足方程组3x+5y=m+22x+3y=m的【答案】m=4，x=2【分析】本题考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．把两个方程相减得到x+2y