高等代数(上)期末复习题

高等代数(1)复习题

一、判断题

1、四阶行列式中含因子a”年的项为34a42和32a44。()

2、设D为六阶行列式，则牝02443a3必5。16是D中带负号的项。()

3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。()

4、排列〃(〃一1)…321的逆序数为〃。()

5、排列〃(〃一1)…321为偶排列。()

6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。()

7、若4=32,则4=3或4=一3。()

8、若=4=0,则8=C。()

9、若矩阵力满足寿=4,则4=0或4=七。()

10、设力是〃阶方阵，若4工0,则必有力可逆。()

11、若矩阵/满足/=o,则4=0。()

12、若矩阵4,8满足48=0,且则8=0。()

13、对〃阶可逆方阵力，B,必有(/台尸二大区-、()

14、对〃阶可逆方阵力，B,必有+()

15、设“，4为〃阶方阵，则必有|川+忸|_|4+4］。()

16、设力，8为〃阶方阵，则必有|48|=|比1|。()

17、若矩阵4与3等价,则|4|=忸|。()

18、若4与8都是对称矩阵，则力8也是对称矩阵。()

19、若矩阵力的所有，―1级的子式全为零，则力的秩为()

20、设4…凡,”为矩阵,则A(4+8)W火(力)+火(8)。()

21、设/=0,则RQ)=0。()

22、线性方程组4〃X=0只有零解，则|4|工0。()

23、若4¥二〃有无穷多解，则4¥=0有非零解。()

24、设〃级方阵48,。满足力BC=E,E为单位矩阵，则C/B=E。()

25要使■>_1,-（l都是线性方程组4Y二。的解，则系数矩阵力可为（11-1）。（

。=1|'冬=1厂111'

26、若a。”□…口。“线性无关,且〃|。|+色。2+…+%,。〃=。，则匕=左2~-=左=0。：）

27、单独的一个零向量是线性相关的。（）

28、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（）

29、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（）

30、向量组为。4£7…£7。“（/?>2）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。（）

31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（）

32、句量组…。G”线性相关，则必由功口③。…OOz线性表示。（）

33、若向量组a。外。…。q线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。（）

34、若向量组a,4,…,a（S之2）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（）

35、两个向量线性相关，则它们的分量对应成比例。（）

36、任意〃个〃+1维向量必线性相关。（）

37、任意〃+1个〃维向量必线性相关。（）

38、向量组qo外£7…£7（7〃的秩为零的充要条件是它们全为零向量。（）

39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（）

40、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（）

二、填空题

第一组：

1、已知排列1s46t5为奇排列，则s、t依次为

2、若排列修,占,..，勺的逆序数是女，则排列乙,与”,...,修的逆序数是

1234

6-17°中元素423的代数余子式为

3、四阶行列式

5—28-3

4956

4、%得23。32。44在四阶行列式中应带号

⑴3

6、(1-23)-2=_______7、()=________

I邛21

1Y

I10、设4=(1,2),8=(2,1),则(〃8户=

423)

设/=032,则(/)

1112、设4为三阶方阵，M=3,则|54-1-24

1。06,

「cos6-sin0\

13、设/二|,贝IJ%T=________

、sin6cos0)

,(a力)、

14、设4=，当〃,b,c,d满足___________时，4T存在，此时力T=_________

[cd)

17、设n阶方阵A满足邓一24+E=0,贝I」/-1=

Q241

18、要使矩阵241甲秩取得最小值，则4=__________

Uioj

19、列向量组a。a。…a的秩与矩阵A二外。…〃a)的秩

20、设向量组。1=(123),02=(314),6=(567),CJ4=(021)线性关

21、设4=(1£71£71£71),秩=(0〃1£71£71),=(0£70£71£71),4=(0000001燃性_关

22、已矢吟二(1。0。0),a2=(ooioo),a,=(00001),a4=(0Z72oi),用线性防Q三

23、B0a。a线性相关，则6。a。a。a线性关

24、伙17aoqoq线性无关，则线性关

25、由m个n维向量组成的向量组，当mn时，向量组一定线性相关

26、4Mx=6有唯一解的充要条件是有无穷多解的充要条件是无解的充要条件是

27、设n阶方阵A,若R(A)="2,则4丫=0的基础解系所含向量的个数二

28、已知4丫=6有两个不同的解Xi，/，则4t=0有一个非零解为

J1u-1T

29、若/=，且4=A

ko1J则a=_______

30、若(x-l)21++1,则。二,b-

第二组：

3215332053

1.=

7228472184

123

2.101202303=

102030

00•..01

00•..20

3.D”=,.•・•・・................•

0n-1•..00

n0•..00

12a

4.设行列式203中，余子m1=3,则Q=

369

1013

-11-12

5.设/=

14十月24+月34+*44=-------------。

11-10

-2214

111

6.行列式123的余子式〃21+/22+河23的值为

149

7.设矩阵片可逆，且|川=1,则力的伴随矩阵才的逆矩阵为

8.设力、8为"阶方阵，则(力+3)2=力2+245+32的充要条件是。

9.一个〃级矩阵/的行(或列)向量组线性无关，则力的秩为o

10.设尸、。都是可逆矩阵，若PXQ=B,则万=。

(\-112)

11.设矩阵力=3A-12,且R(4)=2,则*=(),〃=()。

।53〃6।

12.设力为〃阶矩阵，且同=1,则R(A)=0

(2n

13.A=，则4T=。

153)

作°n

14.己知力1-11其中女工0,则4t=_______________

、0。L

15.若力为〃级实矩阵，并且力力7=0,则/=

16.设4为5阶方阵，且dct4=3,则dct/T=,dct(44')=,dct(J*)=

p24\

17.A=012,则(4*尸=___________。

[121)

18.设4为4阶矩阵，且同=2,则|2Mf|=o

19.设4=1(4+/),则彳2=/的充要条件是。

2

20.设力为〃阶矩阵，且/”位(4)二〃，则4¥=0的基础解系中有个解向量.

21.一个齐次线性方程组中共有！人线性方程、&个未知量，其系数矩阵的秩为〃3,若它有非零解，则它的基础

解系所含解的个数为_________。

22.含有〃个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是o

23.4是〃x〃矩阵，对任何“0d矩阵，方程力¥=力都有解的充要条件是。

24.若0^^+…旬、=0，则向量组…。、必线性

25.已知向量组5=(1,2,3,4),5=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a3=(4,5,6,7),则该

向显组的秩是。

26.单个向量a线性无关的充要条件是o

27.设。，。2,…,5为〃维向量组，且火91,5,…,％)=〃，则〃加。

28.〃+1个〃维向量构成的向量组一定是线性的。(无关，相关)

29.已知向量组a=(1,0,1)02=(22,3)03=(1，3")线性无关,则£=o

30.向量组｛a,q,…,a”｝的极大无关组的定义是。

31.设/3,…，/两两不同，则向量组。=(1,Z,巴…，广I),i=l,2,…，尸线性“

12siitf

32.多项式可整除任意多项式。

33.艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。

34.实数域上不可约多项式的类型有种。

35.若不可约多项式p(x)是/(X)II勺％重因式，则p(x)是/(X)(4T)的重因式。

三、选择题

410

1.行列式3-2。中，元素a的代数余子式是()。

65-7

4041

A.D.

6-7656-765

2.设48均为〃阶矩阵，则下列选项中正确的为()。

A.det(4+8)=det/+detBB.AB=BA

C.det(43)=det(3d)D.(A-B)2=A2-2AB

3.设4为3阶方阵，力”42,4为按列划分的三个子块，则下列行列式中与14等值的是(

力.—A-yA2~AyAy-JB.|/l|A।4-Ay4+力？+

C.|/4|+A?A]—A]D.^2,Ay—44+43]

4.设Id为四阶行列式，且Ml=-2,则邮=（）

A.4B.25C.-25D.8

5.4是”阶矩阵，攵是非零常数，则()。

A.k\A\；B.\k\\A\；C.kn\A\D.\k\J\A\

6.设4,4为数域/上的〃阶方阵，下列等式成立的是()。

A.det(A+B)=det(A)+det(B)；B.det(AJ)=kdet(A)；

C.det(H)=F-1det(4)：D.dct(AB)=det(J)deK^)

7.设N*为〃阶方阵4的伴随矩阵且4可逆，则结论正确的是()

A.(Ay=\A\n-lAB.(Ay=\A\n+]A

C.(Ay=\A\n-2AD.(Ay=\A\n+2A

8.如果"T=/rN=/,那么矩阵力的行列式同应该有()，

A.|j|=0；Z?.J/]H0：C.|yi|=Zr,Zr>1；D.|j|=Zr,Zr<—1

9.设4,8为〃级方阵，mwN,则“命题甲：\-A\=-A；命题乙：（48严二々”8〃”中正确的是（）。

A.甲成立，乙不成立；B.甲不成立，乙成立；C.甲，乙均成立；。.甲，乙均不成立

10.设/为〃阶方阵4的伴随矩阵，则卜*|力卜（）。

从对C.\AC"ML

11.若矩阵4,8满足48二。，则（）。

4.4=0或3=0；B.4工O且B±O；C.4=0且8=0：。.以上结论都不正确

12.如果矩阵力的秩等于广，则（）。

4至多有一个，♦阶子式不为零；8.所有一阶子式都不为零；C.所有/—1阶子式全为零，而至少有一个，•阶子式

不为零；。.所有低于，•阶子式都不为零

13.如果，•（％）=〃，则（）

A.至多有一个厂阶子式不为零；8.所有厂阶子式都不为零

C.所有尸+1阶子式全为零，且至少有一个厂阶子式不为零；D.所有低于，•阶子式都不为零

14.设,4为数域产上的〃阶方阵，满足力2-2/=(),则下列矩阵哪个可逆()。

A.AB.A-IC.A+IDA-2I

15.4,8为〃阶方阵，力W。，且R(48)=0,则()。

A.B=0xB.R(B)=0；C.BA=0；D.R(A)+R(B)<n

16.A,B,C是同阶方阵，且/8C=/,则必有()。

A.ACB=I；B.BAC=I；C.CAB=ID.CBA=I

17.设,4为3阶方阵，且R(4)=l,则()。

A.A(/f)=3；B./?(J*)=2；C.火(4*)=1；D.R(A*)=0

18.设.4,8为〃阶方阵，A于O,且44=。，贝ij（）.

A.B=08.忸|=0或|力|=0C.BA=OD.{A-By=A2+B2

19.设/是加x〃矩阵，若（）,则4¥=。有非零解。

A.m<n；B.R（A）=n；C.m>nD.R（A）=m

20.A,B是〃阶方阵，则下列结论成立得是（）。

4.48#。=力工。且8工。；B.\A\=0^>A=O；

C.MB|=00M|=O或忸|=O；D.力=/=|*=1

21.设,4为〃阶方阵，且火（4）=/〈〃，则4中（）.

A,必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关

C.任意广个行向量构成一个极大无关组。.任意一个行向量都能被其他，•个行向量线性表示

22•设.4为3x4矩阵，〃为2x3矩阵，。为4x3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。

A.BCTATB.ACBTC.BACD.ABC

23.设力是〃阶方阵，那么44'是（）

A.对称矩阵；B.反对称矩阵；C.可逆矩阵；。.对角矩阵

24.设4为任意阶（〃23）可逆矩阵，《为任意常数，且女工0,则必有（双尸=（）

A.knA-xB.人A-C.kA-}。.一4T

k

25.设,4=1（8+/）,则/2=力的充要条件是（）

2

A.B=I；(B)B=3C.B2=ID.B2=-I

26.设〃阶矩阵力满足力2-4-2/=0,则下列矩阵哪个可能不可逆（）

A.A+21B.A-IC.A+ID.A

27.设〃阶方阵力满足力2-24=0,则下列矩阵哪个一定可逆（）

A.A-2I；B.A-hC.4+/D.A

28.设/是mx〃矩阵，若（）,则〃元线性方程组4¥=0有非零解。

A.m<n3.彳的秩等于〃C.in>n0.4的秩等于〃？

29.设矩阵力二（%）,…，4¥=0仅有零解的充分必要条件是（）.

A.力的行向量组线性相关3.力的行向量组线性无关

C.4的列向量组线性相关0.4的列向量组线性无关

Ui+X2+X3=1

30.当才=（）时，方程组3,有无穷多解。

2r+2v+2x

ll23一八

A.1B.2C.3D.4

31.设线性方程组4Y=A及相应的齐次线性方程组4¥=0,则下列命题成立的是（）（>

4.4E-0只有零解时，4K-6有唯一解；4.XT-0有非零解时，4Y-6有无穷多个解；

C.4¥=6有唯一解时，4¥=0只有零解；D.4¥=〃解时，4Y=0也无解

32.设〃元齐次线性方程组4¥=0的系数矩阵4的秩为广，则力X=0有非零解的充分必要条件是（）o

A.r=nB.r<nC.r>nD.r>n

33.若向量组中含有零向量，则此向量组（）

力.线性相关；B.线性无关；C.线性相关或线性无关；。.不确定

34.设。为任意非零向量，则。（）。

力.线性相关；4.线性无关；C.线性相关或线性无关；D.不确定

35.设向量组aqq线性无关，而a。,q线性相关，则（）。

4a必可由q0。4线件表示；8.必可由aAA线性标；

C.q必可由线性表示；4必不可由a。,q线性表示

36.设向量组劣。2，。3线性无关。。|。2。4线性相关，则（）。

4.5必可由4,604线性表示；8.S必可由02，。3线性表示；

c.q必可由aaa线性表示；D.q必不可由qq乌线性表示

37./（刈=〃/+〃“1-1+…+空+*£Z[x]，若既约分数匕是/⑴的有理根，则下列结论正确的是

q

（）

A.p\a„9q\anB.p\an9q\at,C.p\a),q\a„D.p\a),q\a)

38.若既约分数二是整系数多项式/Q)的根，则下面结论那个正确()

s

A.54-r|/(1),5-r|/(-1)B.s+r\f(\),s+r\f(-\)

C.5：+r|/(-l),5-r|/(1)D.5+r|/(-l),5+r|/(-l)

四、计篦题

1234

31301

2341

1.求行列式12102的值。2.求行列式。=的值。

3412

24199

4123

11111222

12342222

3.求行列式。、3610的值。

2232

1410202224

123431-12

2341-513-4

5.求行列式D=的值。6.求行列式。二的值。

3412201

41231-53

13-510y0X

5-27-2X0y0

7.求行列式的值。8.求行列式的值。

21-4-10X0y

-3-463y0X0

101-1

0-1-11

9.把行列式依第三行展开然后加以计算。

abcd

-1--110

aaaa1+x

aa+baa1

10.求行列式D=削但。11.次仃列工二的值。

aaa+ca1

aaa4+d1

\+a1…1

Xyx+y

11+a…i

12.求行列式。二yx+yX的值。13.计算〃阶行列式

x+yXy

11…1+4

Xy0...00

x-cIaa

0Xy…00

aX—3…a

14.计算〃阶行列式15.计算”阶行列式

00o...xy

aa■•x-a

y0o...0x

Xyy•yy

zxy•yy

zZX1•yy

16.计算〃阶行列式。“二

♦•••••

zZ2•Xy

zZ2♦zX

1+a111•••

11+a21I

17.il算〃阶行列式D„=（其中aaa；^0)

・\2'''n

111•••1+aI,

a+bab0••00

1a+bab••00

18.计算〃阶行列式=01a+b••00（其中a羊b）

♦•・

000••a+b

cIo1111

1为000

10a200

19.11算〃阶行列式D„=

100-akl0

1000G

a]-m生…4X]+1x2

%的一〃？...a„x+1%

20.计算n阶行列式21.计算〃阶行列式2

•••

%a2an-mx2x”+l

XX1XX2

22.解方程0-23=0023.解方程0-11=00

17X12X

24.设/为3x3矩阵，[4\=-2,把力按列分块为4=(4,42,4)。其中次。=1,2,3)是4的第丁列。

求(1)即24,阕;(2)%-24,34,4|。

25.如果Q是/")的一个k重根，证明。是四)=_[.f(x)4-/'(〃)]一/(x)+j\a)的一个人3重根。

26.设/(1)=/一4r+1,g(x)=x3-3x2+l,

求(/(Ag(x))，并求〃(x),8)使(/(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)

五、解答题

1、设。=(123)\0=(11/21/37,(1)计算、伙。；(2)求(印『)"。

f°12、(2

2、解矩阵方程114%=|15o

°J136)

2-1

(03

3、设矩阵/=110|,且ZX=4+2X,求X。

X-12

,010](\

4、设矩阵X满足方程X=4¥十3,其中4=-111,B=20,求X。

015

,1-3/

f-1-214]

5、设4二23~4~5,(1)求R。)；(2)求力的列向量组的一个最大无关组;

1-4214

v11-3-1J

(3)把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。

&^0=(1£7102£72£71/,a=(p£72£71£75£717,a=(2O0£73£71037,O=(1£71£W4£7l)r,

I234

求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。

7、1^=(10-10204),a=(003/71£72),0y=(3£70£77£714),04=(2£710506),O；=(1£7-1£7200)

求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。

fxi十axi+X3=0

8、讨论。取何值时，方程组x+x+x=0有非零解？在有非零解时，求其通解。

II23

'x+x+ax=0

I123

fxi+2x2-X3=0

2x+5x+2x=0

9、求齐次线性方程组"14丫\lx3=o的基础解系及通解。

I23

I[Xj+3X2+3/=0

[Ari+X2+X3=/\-3

10、对十线性方程组'x+Ax+x=-2讨论/为何值时方程组有无穷多解,

)I23

'x+x+Ax=-2

23

并在有无穷多解时求其通解。

11、已知。=(1,1,一1),0=(1,2,3),试求：①晔;②(。70)\

「1113

12、已知A=，求力

-1—1

0331

1

13^设/二11o»AB=A+2B,求B.

-123,

'1~23k、

14、设/=-12k-3,已知R(Z)=1,求上。

k-2、3/)

336

fl2-1-2(

13

15、求矩阵1的秩='2-1111的秩

13

4-11310-1Ij

25

V3J

-314-5-2-4-104-

4

111218、求矩阵力=T-20-1

17、求矩阵4=的秩的秩

T?)

LJ

-1-1210一\2-4r

19、求矩阵力=20601的秩20、求矩阵4二1-52的逆矩阵

1-152-521J1Li-11J

2L求矩阵人:「021]

1-1I1

0的逆矩阵22、求矩阵力二的逆矩阵

L-645lj113-121

1

23、求矩阵力=310的逆矩阵。

卜0F

24、设"片0

0,给出力可逆的充分必要条件，并在力可逆时求其逆.

12-1

25、设力=310请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求“7。

「o-2|

12

26、已知矩阵4:34-2,用矩阵的初等变换求4的逆矩阵。

5-41，

‘0-2i

27、已知矩阵力二30-2.用矩阵的初等变换求4的逆矩阵。

「230J

28、设4为三阶矩阵，Z*为力的伴随矩阵，已知|臼二[，求（1）的值；（2）

（34尸-21|的值。

29、设力为〃阶方阵，A2-5A+6E=0,判断/+3E与力-3E是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。

~23

30、设矩阵4二，求矩阵X,使得4¥二4『。

-12

・.

3514-12]

31、用求逆矩阵的方法解矩阵方程1Cx=.八7」

X/1

_

_(2

H_

„(o；-21X_1

——-_

320_233、解矩阵方程X|2

11

)k)1/

「11-1~1-111fl1-T-1-11

1

34、解矩阵方程X02211035、解矩阵方程[022x二-110

1

\\_\-10J1|_21-1

「10J[2111」

<10-P-3n

36、求解矩阵方程042X110|

U-0,<211.

X|-JC2+2x3=0

37、判断齐次线性方程组，却।+岩是否有非零解？

fX+2t=4|Xl72+2X3=1

38、用求逆矩阵的方法解线性方程组《।39、用求逆矩阵的方法解线性方程组！X2-X3=2

[3x]+5X2=12x+x=3

ax\+axi+bx3=\

40、用克莱姆法则解线性方程组，笋1+小,+〃巧=1(其中

bx+ax+ax=1

I!23

fbx-ay+2ab=0

41、用克莱姆法则解线性方程组q-2少+3bz-儿=0(其中abcwO)

ex+az=0

xi++x3=4

42、用克莱姆规则解方程组代修+通+苑=4

2x-x+x=3

I123

pXl+X2+工3=。-3

43、讨论。取何值时，方程组有解，并求解。\X]+ax2+x3=-2

Xj+x2+ax3=-2

2

x,+(a+l)x2+2X3=a

44、讨论。取什么值时，方程组有解，并求解。]ax]+^2+(26+l)x.=0

x4-(2Q+1)X+2x=2

II23

.|fxi+X2-A3=4

45、选择/，使方程组？x+x-2x=6无解

AY+x-x=4

46、确定土的值，使齐次线性方程组《人囚料力)1土有非零解

2x|一X2+3X3=0

47、&取何值时，齐次线性方程组有非零解？

II23

kx\+X2+X3=0

48、齐次线性方程组〈系+质,=Q有非零解，则人为何值？

1123

^Ax]+X2+X3=0

49、问人〃取何值时，齐次线性方程组花比匐声；§_0有非零解？

I123

(l+/4)xi+X2+X3=0

50、问/取何值时，非线性方程组，X1+(1+/\)X2+X3=3有无限多个解？

x+x+(r+Qx=A

II23

X]+X2+X3+欧4=0

x+2x+x+x=0

1234

“1、7r入双I土〃管出、c八eTbAATF，X'JV,"①，啊工II4>Krr；

x+x-3x+x=0

123