专题08 等腰（直角）三角形中分类讨论思想的模型解读与提分精练（原卷版）

专题08等腰（直角）三角形中分类讨论思想的模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 4模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14 22模型1.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对角（边）与高的分类讨论模型1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（）A． B． C．或 D．或例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A． B．或 C．或 D．例3．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4例4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．模型2.等腰三角形中的分类讨论思想模型之对边的分类讨论模型1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。等腰三角形的两种分类讨论方法方法1.

“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。方法2.

“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为．例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转α0°<α<90°得．若交于点F，当时，为等腰三角形．例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为．例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为．模型3.直角三角形中的分类讨论思想模型之斜边（或直角）不确定的直角三角形模型若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为．例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为．

模型4.直角三角形中的分类讨论思想模型之直角三角形分类讨论模型直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分三种情况，如图：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．例1．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是．例2．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为．例3．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将AB绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为．

例4．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为．一、单选题1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（）A．5 B．4 C．8 D．4或62．（24-25八年级上·四川凉山·期末）中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（

）A． B． C．或 D．或3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）在中，，，在直线或射线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个4．（2025八年级下·全国·专题练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（

）A． B． C．或2 D．或5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在日常生活中，我们经常会接触到等腰三角形的相关元素，如许多桌子、椅子的腿部设计以及桥梁的支撑结构、塔楼的框架结构．这些设计不仅考虑到了稳固性，还融入了美学和人性化的设计理念，一个等腰三角形结构中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（

）A． B． C．或 D．或二、填空题6．（河南省郑州市高新区区2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测数学试题）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为．7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为．8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点是的中点，，点是射线上的一个动点，则当为直角三角形时，的长为．9．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，垂足分别为点B，C，，．点P为射线上一动点，连结，若是以为腰的等腰三角形，则的长为．10．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动．已知点M的速度为，点N的速度为．设点M，N运动后停止运动，则其中运动时，为直角三角形时．三、解答题11．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，．点P是线段上的一个动点（不包括端点），过点P作的垂线交线段于点Q，连接．(1)求证：．(2)当为等腰三角形时，求的长．12．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中；，点从点出发，以的速度沿线段向终点运动，同时点从点出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为（秒）．

(1)连接，当时，求的值；(2)当点运动到点的右侧时，连接交于点，当是等腰三角形时，求的值；(3)直接写出当为何值时，是直角三角形？13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，．(1)点在上，①如图1，当时，；②如图2，当点在的平分线上时，求的长；(2)如图3，点在上，若为等腰三角形，直接写出的长．14．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．15．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点