高考数学 试题汇编 第二节 简单的线性规划 理（含解析）

第二节简单的线性规划

析考情寻规律

线性规划的基本问题,即求线性目标函数在线性约束条件下的最值,一直是新课标高考

命题的重点，多以选择、填空题的形式出现,难度中低档，所占分值为4~5分

解决此类问题的关键是(1)准确作出可行域注意边界的实虚.(2)准确理解目标函数的

几何意义.(3)充分利用数形结合思想解题

(x-yM10.

1.(年辽宁卷，理8,5分)设变量x,y满足(0«%+jrm20,则2x+3y的最大值为()

I0<y15,

(A)20(B)35

(C)45(D)55

解析:令z=2x+3y,

如图,将1。平移至1处,过点(5,15)时,z有最大值,

z皿=2X5+3X15=55.故选3.

答案:D.

2.(年广东卷,理5,5分)已知变量x,y满足约束条件,+VN1,则z=3x+y的最大值为()

、叼Si

(A)12(B)11(C)3(1))-1

解析:画出可行域：

lo：y=-3x

1:y=-3x+7.

将直线1。平移至1处,过点(3,2)时,z有最大值.

z皿=3X3+2=11.

答案:B.

3.(年广东卷,理5)已知平面直角坐标系x()y上的区域I)由不等式组y42给定.若

、2y

M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(0,1),则z=01­易的最大值为()

(A)4«?⑻3g

(04(1))3

解析：

y

区域D如图阴影部分所示

目标函数片国・0.4

=\OM\\OA\cos<OM,OA>

=\0A\|OM|cos<OMOA>

•••I而Icos而l亦为而在扇上的投影,

由图知当点M为直线x32与y=2交点时。M在。A方向的投影最大,则目标函数z最

大,MANZ)即为所求的最值点，此时,zZi-0★(、22)•"21)=6X、，2X1=4.故选

C.

答案C

4.(年安徽卷,理4)设变量x,y满足|x|+1y|玄1,则x+2y的最大值和最小值分别为()

(A)l,-1(B)2,-2

(01,-2(D)2,-l

解析：

|x|+|y|wl对应的可行域如图所示,

设z=x+2y,

则尸字写，

当直线经过可行域的点

8(0,-1)时，总产-2,

过

经

选

故

案B.

答B.

x+2y-5>0

2x+y-7>。,若X，y为整数，贝IJ3x+4y的最小

x20”0.

值是()1

(A)14(B)16(017(D)19

解析：

设3x+4y=z,

贝IJy=_；x+j

J2x+y-7=0

lv+2y-5-0

得点A为⑶1),

平行移动直线厂jx,

又x,y为整数，

则当过点(4,1)时,z=3x+4y取最小值为16.

故选B.

答案:B.

6.(年湖北卷,理8)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且aJ_b.若x,y满足不等式Ix|+1y|W1,

则z的取值范围为()

(A)[-2,2](B)[-2,3]

(0[-3,2](D)[-3,3]

解析：

由已知2_1_1)得2•b=0,

2x+2z+3y-3z=0,

z=2x+3y,

又•二|x|+1y|W1表示的区域为如图所示的正方形内部包括边界.

:•在点B(0,1)处,z=2x+3y取最大值3.

在点D(0,-1)处,z=2x+3y取最小值-3.

/.zG[-3,3].

故选D.

答案:D.

z+y^2.

7.(年福建卷，理8)已知。是坐标原点，点A(T,1).若点M(x,y)为平面区域X£L上的一

"2

个动点，则易•血的取值范围是()

(A)[-1,0](B)[0,1]

(0[0,2](D)[-1,2]

解析：

a

由0、・01M=(T,1)・(x,y)=-x+y.

令z=-x+y即y=x+z.

画出可行域和直线y=x如图.平移y=x,可知

当直线经过C(1,D时,Zmin=0,

当直线经过B(o,2)时,Z.2,故选C.

答案:C.

W+2N0.

x-5y+10«0,则目标函数z=3x-4y的最大值

0.

和最小值分别为(){

(A)3,-ll(B)-3,-ll

(011,-3(D)ll,3

解析:画出平面区域如图所示：

z-5y+10=0

当直线3x-4y=0平移到(5、3)点时，

目标函数z=3x-4y取得最大值3;

当直线3x-4y=0平移到(3、5)点时，

目标函数z=3x-4y取得最小值T1,故选A.

答案:A.

x-y+10,

W0.则z=3x-y的最小值

x+3y-3^O.

为•(

解析:可行域如图，

*+y-3=0

目标函数z=3x-y最小时，平行直线系z=3x-y横截距最小,

故直线过点A(0,1)时z最小,最小值为T.

答案:一】

10.(年新课标全国卷,理14,5分)设x,y满足约束条件卜”三3,则z=x_2y的取值范围

I尸之0.

为.

解析:本题主要考查线性规划问题,难度不大.

画出可行域为如图所示阴影部分四边形OABC.

作与直线x-2y=0平行的直线x-2y=z.

当直线x-2y=z过A、B点直z分别取到最大值与最小值,又A(3,0),B(l,2),

，-3这z这3.

答案：［-3,3］

1L(年安徽卷,理11,5分)若x,y满足约束条件卜+2y^3.则x-y的取值范围

l2"y«3.

是•

解析:本题考查求线性目标函数在线性约束条件下的最大值最小值问题.

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分区域：

三个交点坐标分别为A(0,1.5),B(0,3),C(l,1),代入x-y分别得到的值为7.5,-3,0,所以

x-y的范围是［-3,0］.

答案：［-3,0］

口点受求解线性规划问题关键的是作出可行域,然后作出初始直线,把初始直线向可行域

平移,根据目标函数中y的系数,系数为正,向上平移目标函数增大，向下平移目标函数减小,

系数为负，向上平移目标函数减小，向下平移目标函数增大.若可行域为三角形或四边形等封

闭区域,可以求出各个顶点,把顶点坐标代入目标函数,其中最大值为目标函数的最大值,最

小值为目标函数的最小值.

12.(年陕西卷，理14,5分)设函数£6)［八)八D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点

JSV.

(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上的最大值为，

解析:f(x)=lnx,f'(x){,f'(1)=1,在点(1,0)处的切线为y=x-l.

如图：1。:尸*,1:号-于

Zg=0-2X(-1)=2.

答案：2

13.（年全国新课标卷，理⑶若变量x,y满足约束条件.则z=x+2y的最小值

为

3；煞皆表示的平面区域,

解析:画出

平移lo：x+2y=O.当直线过A时,z取最小值.

解巴］喏工

z=4+2X(-5)=-6.

答案：-6

14.（年辽宁卷，理14）已知-l<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是.（答案用

区间表示）

解析:题设条件表示的可行域如图所示，由z=2x-3y,

得y=5x-l

当直线丫弓乂彳经过A点时，-请大,z取最小值;当直线经过B点时，-猫小,z取最大值,

由［»；\］；‘得''(3，1)，

由””3,得伙「2),

VX+><="1

.­.2X3-3Xl<z<2Xl-3X(-2),

即3<z<8.故z=2x-3y的取值范围为(3,8).

答案：(3,8)

・考点二线性规划的实际应用

考

向纵观近几年新课标高考试题，线性规划问题的实际应用有所侧重.主要解决实际生活、

聚生产中的最优化问题，如用料最省、用时最少、效益最好•、获利最大等，难度中低档，分

焦值为5分左右

备

考

解决线性规划实际应用问题的关键是准确理解题意列出两个变量满足的约束条件及线

指

性目标函数，作图时要力求准确规范，注意最优解的确定方法

津

15.(年江西卷,理8,5分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超

过54万元/片设种植黄瓜和非菜的产量、成本和售价如表

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润(总利润:总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积

(单位:亩)分别为()

(A)50,0(B)30,20

(C)20,30(D)0,50

解析:本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实

践能力.

设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩，总利润为z万元则目标函数为

z=(0.55X4x-l.2x)+(0.3X6y-0.9y)=x+0.9y.

x+y<50,

{,NO：

x+y^50,

(Y铲8a

画出可行域,易求得A(0,50),B(30,20),C(0,45).

作出直线lo：x+O.9y=0,向上平移至点B（30,20）,

即x=30,y=20时,z取得最大值，

故选B.

答案:B.

16.（年四川卷，理9,5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料

1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利

润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、

B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可

获得的最大利润是（）

（A）1800元（B）2400元

（02800元（D）3100元

解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶，

（XNOjr«N.

g12

设获利z元，则z=300x+4C0y.

画出可行域如图.

画直线l:300x+400y=0,

即3x+4y=0.

平移直线L从图中可知，当直线1过点M时，目标函数取得最大值.

俨+2112

(2A+)=1?

解得［二,

即M的坐标为(4,4),

「•z小-300X4+400X4-2800(元).故选C.

答案C

i?土f本题考查利用线性规划求实际应用问题，考查分析问题、解决问题的能力，考查数形

结合思想.属中档题.

17.（年四川卷，理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡

车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载

且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙

型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,

可得最大利涧z等于（）

（A）4650元（B）4700元

（04900元（D）5000元

解析:设该公司派甲型卡车x辆,乙型卡车y辆，

10x+6y>72,

x+yS12.

（0<x<axaN

0£y<7,yEN

10x+6y=12.p9

利润z=450x+350y,可行域如图所示.

喧¥7；得A"5

当直线350y+450x=z过

A（7,5）时z取最大值，

z加二450X7+350X5

=4900（元）.故选C.

答案:C.

18.（年广东卷,理19）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个

单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的

碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至

少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花

费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解:设为该儿童预订x个单位的午餐,y个单位的晚餐，

12x+8y>64.

则x,y满足6v+6r42.（x,yGN*）

6x+lOyN54.

px+2yN16

即x+”7.（x,yG«.

l3x+Sy227.

目标函数z=2.5x+4y.

下面画出可行域,如图,其中A(2,5),B(4,3),

当目标函数过B点时z最小，

此时x=4,y=3.

即为该儿童预订4个单位的午餐,3个单位的晚餐时,满足营养要求,且花费最少.

江卤更涉及线性规划的实际应用题，首先确定影响整个问题的两个主要变化因素，用x,y表

示出来,然后根据题目的要求把一些限制条件用x,y的不等式表示出来,并写出目标函数,运

用数形结合的思想进行求解.

◎考点三线性规划的综合应用

考

向

高考难点内容主要涉及(1)已知目标函数最值求参数值或参数范围:(2)线性规划与其

聚

他知识的综合应用，难度较大，多为选择、填空题,分值为5分左右

焦

备

考

指解决此类问题的关键在于准确理解•目标函数的几何意义及利用数形结合思想解题

津

(%+y-340,

19.(年福建卷,理9,5分)若函数产2,图象上存在点(x,y>满足约束条件j於2A3<0,则实数

IT之

m的最大值为()

(A)；(B)1(C)|(D)2

解析:本小题主要考查线性规划的应用，由约束条件画出可行域,如图所示,设曲线y=2'与直

线x+y-3=0相交于点P,则直线x=m过点P时m取得最大值，二.P(m,3-m),又点P在曲线y=2x

m=l.故选B.

也-3=0

答案:B.

20.(年重庆卷,理10,5分