高考数学真题及答案解析【一】

高考数学真题及答案解析【一】

一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要

求的.

1.设集合A=[x\x2_4x+3<()｝,｛x|2x-3>0｝，那么A13=

(3)

⑻-,3

(2)

2.设(1+i)x=1+yi,其中是实数，那么,+»|=

(A)1(B)72(C)V3(D)2

3.等差数列｛%｝前9项的和为27,即)=8,那么Go。=

(A)100(B)99(C)98(D)97

4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达

发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是

(A)\(B)|(C)\(D)\

JQ

22

5.方程——-3一=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔为4,那么〃的取值范围是

m~+n3m~-n

(A)(-1,3)(B)(-1,5^)(C)(0,3)(D)(0,A/3)

6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直

的半径.假设该几何体的体积是手，那么它的外表积是

(A)177r(B)18万(C)20〃(D)28%

7.函数y=2x2-*在［-2,2］的图像大致为

(A)

(C)

8.假设a>b>l,O<c<\，那么

cccc

(A)a<b[B)ab<ba(C)alogz,c<hk)gf；c(D)logac<logftc

9.执行右面的程序框图，假如输入的x=0,y=L〃=1,那么输出x,y的值满足

(A)y=2x(B)y=34(C)y=4x(D)y=5x

10.以抛物线。的顶点为圆心的圆交C于4、5两点，交C的准线

于。、E两点.|4阴=4夜必0=26,那么C的焦点到准线的间隔

为

(A)2(B)4(C)6(D)8

11.平面a过正方体的顶点上。〃平面CBD,

QI平面ABCD=m,a\平面AB尸〃，那么n所成角的正

弦值为

V2百1

(A)(B)—(C)+(D)-

T233

12.函数/(x)=sin(ox+。)(㈤>(),|^|<y),x=-^为fix)的零点,x=(为)=/(X)图像的对

称轴，且/*)在空]单调，那么。的最大值为

\1836)

(A)11(B)9(C)7(D)5

二、填空题：本大题共3小题，每题5分

222

13,设向量«=(/»,1),Z>=(1,2),3.\a+b\=\a\+\b\f那么m=.

14.(2x+«)5的展开式中，3的系数是.(用数字填写答案)

15.设等比数列｛。〃｝满足。1+〃3=10,〃2+。4=5,那么a\ai…斯的最大值为.

16.某高科技企业消费产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.消费一件产品A需要甲材料乙

材料1kg,用5个工时；消费一件产品B需要甲材料，乙材料，用3个工时.消费一件产品A的

利润为2100元，消费一件产品B的利润为900元,该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg那么

在不超过600个工时的条件下，消费产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题总分值为12分)

△48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosC(«cosB+/?cosA)=c.

⑴求c；

(II)假设。=近，AA3C的面积为上叵，求A43C的周长.

2

18.(本小题总分值为12分)如图，在以A,3,C,D,E,尸为顶点的五面体中，面A8E尸为正

方形，AF=2FDfZAFD=90,且二面角O-AF・E与二面角Cd£・尸都是60.

(I)证明：平面A3E尸1平面E尸。C；

(II)求二面角E-5C-A的余弦值.

19.(本小题总分值12分)某公司方案购置2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损

零件,在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元,在机器使用期间，假如备件缺乏再

购置，那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台

这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器

更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年

内共需更换的易损零件数,〃表示购置2台机器的同时

购置的易损零件数.

(I)求X的分布列；

(H)假设要求P(XW〃)20.5,确定〃的最小值；

(III)以购置易损零件所需费用的期望值为决策根据，

在〃=19与〃=20之中选其一,应选用哪个？

20.(本小题总分值12分)设圆f+y2+2x-i5=0的圆心为4直线/过点5(1,0)且与x轴不

重合，/交圆A于GD两点，过3作AC的平行线交于点£

(I)证明|H4|+|£8|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(II)设点E的轨迹为曲线Ci,直线/交G于MW两点，过B且与，垂直的直线与圆.4交于P,°

两点，求四边形MAN。面积的取值范围.

参考答案

题号123456789101112

答案DBCBAADCCBAB

3

4=卜产-4x+3<o|={x|l<x<3}8={x|2x-3>0}=Xx>—>

2

故应选D.

x=1

2由（1+，*=1+M可知—+#=1+义故卜=），

解得:I'」

所以应选B.\x+yi\=\jx2+y2=41

3.由等差数列性质可2J知

警=9…

故4=3,

d，i5_]

而4。=8,因此公差10-5

•••4oo=4o+%d=98♦

应选c.

4.如下图，画出时间轴：

7:307:407:508:008:108:208:30

ADB

小明到达的时间会随机的落在图中线段至中，而当他的到达时间落在线段AC或。6时，才能保

证他等车的时间不超过10分钟

.jo+io_1

根据儿何概型，所求概率-40-2.

应选B.

X2y2

5"+〃3〉一〃」表示双曲线，那么（病+〃）（3>-〃）>0

••♦—nr<n<3m2

由双曲线性质知：/="+"）+（3病-〃）=4吟其中°是半焦距

...焦距2c=2.2帆=4,解得帆|二1

•・•-1</?<3

应选A.

6.原立体图如下图:

是一个球被切掉左上角的8后的三视图

7

外表积是1的球面面积和三个扇形面积之和

71

S=—x44x2?+3x—乃x2?=17开

84

应选A.

7〃2)=8-/>8-2.82>0,排除人

/(2)二8-/<8-2.7:1排除B

x>0时，k)=2人，/(*)=4…、，『(叫时,r(x)<%4-/=0

(1、

因此/(X)在I'可单调递减，排除c

应选D.

8.对A：由于函数)'=/在R上单调递增，因此力=A错误

XVB：由于T<c=l<0,.,・函数产-在(LR)上单调递减，

。>Z?>1oae~'<bc~l<=>ba'<ab',g错误

a\ncb\ncIncInc

充C：要比拟和R°g“c,只需比拟Inb和Ina，只需比拟。ln/2和alna,只需切n〃和alna

构造函数/(H=Enx(x>1),那么尸(x)=hlx+l>l>0,在(1,内)上单调递增，因此

f(a)>f(b)>0<^>a\na>b\nb>0<^—?—<---

aInab\nb

IncInc,,,

----<-----<=>blogc<alog.,c

又由°<cvl得IncvO,a\nabinb,C正确

IncInc

充D：要比拟唾/和log/,只需比拟Ina和Inb

./[__\6/>Z?>1<=>In6/>In/?>0<=>-----<-----

而函数y=在U，”)上单调递增，故In6/\nb

IncInc..

又由0<cvl得lnc<0,・・.In。6'c'o,、D错误

应选C.

9.如下表：

判断

循环节运小…2)是否

y(y=ny)〃(〃=〃+1)

行次数x2+y>36输出

运行前01//1

第一次01否否2

第二次2否否3

2

3

第三次6是是

2

__3

输山x=3,y=6,满足y=4x

应选c.

10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为V=2Px（P>°）,设圆的方程为X2+>，2=

题目条件翻译如图：

点电,20）在抛物线/=2Px上，,・.8=2PM……①

石］，2_，5+/=/

点（21在圆x+>=厂上，.・.⑴……②

点“卬2夜）在圆f+y2=/上一+8=/.③

联立①②③解得：…,焦点到准线的间隔为P=4

应选B.

11.如下图：

..・a〃平面C8Q,...假设设平面C8Q［平面A8CD="3

那么叫〃〃？

又・.•平面ABC。〃平面A4GA,结合平面平面44GA=与乌

.Bp//叫故BQJ/m

同理可得：CR〃〃

故〃，、〃的所成角的大小与B〃、OA所成角的大小相等，即NO。声的大小.

nr_nn_mZ-CDXBX=—sin/C£)[3]=且

而片A=C.(均为面对交线)，因此3,即2

应选A.

12.由题意知:

兀,

--(o+(p=k1n

71,7t

—co+(p=k,兀+一

4.2

那么啰=22+1,其中ZEZ

71

(2L^|.5TI兀_软T

♦.•/(x)在([8,36)单调，,36"T8-12-?，6y-

接下来用排除法

6y=11(p--/(x)=sinfllx--f—

假设’4,此时I4人/(x)在(1S3递增，在(443621递减，不满足

（兀5兀、

/（X）在［1836）单调

兀£/、•九)(兀57rl

假(设0=9’CD-4-,此时/(x)=sin19x4+-人满足/八(x)在1一18,一36)单调递减

应选B.

13.-214.1015.6416.216000

13.由得：〃+》=('〃+1，3)

。+=卜『+|『=(m+1)2+32=>+广+/+2[解得机=一2.

设展开式的第"1项为加，丘{°」23,4,5}

14.

.小=c；⑵广⑷Lew-

••♦

5——―3,<a5——i

当2时，k=4,即4=仁2x2=10/

故答案为10.

15.由于｛“〃｝是等比数列，设见二卬广〔其中4是首项，9是公比.

4=8

eq+aq2=10

%十6—1°}1

<。q=­

・&+。4=5的+4/=5,解得:2

、〃一4/]\(-3)+(-2)+...+(n-4)/]、/网”_7)

1q.q•••••%七J

故2)

749

n—

2Vz-

当"=3或4时，2」取到最小值d,此时取到最大值2'’.

所以4"2的最大值为64.

16.设消费A产品x件，B产品)'件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件,

构造线性规则约束为

1.5x4-0.57=^150

K+0.3JW9。

51+3『W600

GO

尸0

目的函数z=2100x+900y

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(的,100)("200)(0,0)(90,0)

在(60,100)处获得最大值，z=2100x60+900x100=216000

2cosC(«cosB+/?cosA)=c

17.解：(1)

2cosC(sinA-cos8+sin8•cosA)=sinC

由正弦定理得:

2cosC•sin(A+B)=sinC

・・A+3+C=7rA、B、CG(O,TT)

•9

.sin(4+8)=sinC>0

cosC=-

•2cosC=l2

「一7r

..Ce(O,7i).c-3

*aa

⑵由余弦定理得：c2=a2+b2-^ibcosC

,、1

22

j=a+b-2ab--

2

(a+b)~-3ab=7

242

•ab=6

.(«+/?)2-18=7

*♦

6/4-/2=5

:.AABC周长为a+〃+c=5+V7

18.解：(1),:ABE”为正方形:.AFLEF

•••ZAFD=90°

.・.AF±DF

・♦DFEF=F

AF上面ABEF

，平面A8£/U平面EFDC

⑵由⑴知

ZDFE=NCEF=3

•:AB//EF

46•平面EEOC

EFu平面EFDC

・•.43〃平面ABC。

45u平面人5cZ)

•/面ABCD1面EFDC=CD

.・.AB//CD

.・.CD//EF

・•・四边形及DC为等腰梯形

以后为原点，如图建立坐标系，设

Mil

c一,。,—ci4（2。，2。，0）

£(0,0,0)8(0,2a,0)\22/

BC=­,-2at^-a

EB=(0,2a,0)22

AB=(-2af0,0)

设面.C法向量为，〃=（，门z）

2a-3j—0

i7i-EB=0

acg

--x-lay.+——a•z,=0

m-BC=0，即12।21%=>/3,_)*1=0,Z1=-1

m=(G,0,-1)

设面48c法向量为〃=（%，％，z?）

必-2ayTdz=G

“•8C=022

n,AJB=0即2ax、=0•^2=0»)\=，z,=4

〃二(0,\[3,4)

设二面角七一BC-A的大小为。

m-n-42yli9

cos0=--------=i--------------j=----------------------------

m.n7m13+1619

2x/19

・♦・二面角£_8C—A的余弦值为19

19解：（1）每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件4为第一台机器3年内换掉27个零件（好1，234）

记事件瓦为第二台机器3年内换掉'+7个零件（'=123,4）

由题知P（A）=P（A）=P（a）=P（4）=P（8j=P（幻=0.2,P（4）=P闯=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,那么X的可能的取值为16,17,18,19,20,

21,22

产（X=16）=夕（A）〃（4）=0.2：＜0.2=0.04

产（X=17）=P（A）P（8j+P（&）P⑻=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16

尸（X=18）=P（A）P（员）+P（A2）P（3j+P（4）P（Bj=0.2x0.2+0.2x0.2+0.4x0.4=0.24

P（X=19）=P（＞A1）P（B4）+P（A2）P（B3）+P（i43）P（B2）+P（A4）P（B1）=0.2x0.2+0.2x0.2+04x0.2

40.2x0.4=0.24

r（X-20）-r（A2）P（Z?4）+P（A3）r（Z?3）+P（/l4）P（Z?2）-0.4x0.24-0.2x0.4+0.2x0.2-0.2

P（x=21）=P（4）P（鸟）+尸（4）尸（四）=0.2x0.2+0.2x0.2=（）.08

尸（x=22）=P（A）P（RJ=0.2x0.2=0.04

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

（2）要令°-5,-.0.04+0.16+0.24＜0.5,0.04+0.16+0.24+0.24£0.5

那么〃的最小值为19

⑶购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置.零件的费用，另一局部为备件缺乏时

额外购置的费用

当〃=19时，费用的期望为19K200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4040

当〃=20时，费用的期望为20x200+500x0.08+1000x0.04=4080

所以应选用〃=19

20.⑴圆A整理为(K+l)f'=16,A坐标(T°),如图，

•BE//AC,那么NC=NEBQ,由AC=AR则NO=NC,

:.NEBD=/D,那么EB=ED

AE+EB—AE+ED—AD—4

2)

三+21=1

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为43",(〉*°)；

C.£.+£=J

⑵43；设/：1=7政+1,

因为尸Q_L/,设P0：y二-〃7(工一1),联立/与椭圆G

x=tny+1

,x2y2

了+亍一得(3/2?+4)y2+6祇)，-9=0

I-------I-------./36/n2+36(3w24-4j12(/w2+l)

IMN\=Ji+〃/I_)%|=Ji+加2\————---------

2

那么3〃厂+43m+4.9

|-/H(-1-1)|_\2m\

圆心A到PQ间隔"+苏Ji+病,

所以

1一………112。—+1)4力疗+424ylm&+1…|1Q

・•,八stPNQ=-\MN\\PQ\=------——：,•=,-=24-----------G12,873

223〃入4VlW>/WT4J3+_!_L)

rm2+1

2([)/(x)=(x—1)«'+2〃(x—1)=(x—1)(/+2a)

（i）设。二°,那么/（"）=（♦2）*f（幻只有一个零点.

（ii）设〃＞。,那么当xw（一8』）时，尸（x）＜0；当XW(1,”)时/'(犬)>()所以/(X)在(YO,1)

上单调递减，在ax。）上单调递增.

又/⑴=一一八2)=。，取〃满足b<0且“<叱，那么

f(b)>-(b-2)+a(b-1)2=a(b2——Z?)>0

22

故/(X)存在两个零点.

(iii)设。<(),由/‘(幻二°得X=1或x=ln(-2〃)

a2_

假设一2,那么ln(-2a)Kl,故当工£(1，+°°)时，/(幻>°,因此/(、)在亿口)上单调递

增.又当不<1时，/(龙)所以/‘(X)不存在两个零点.

e

Q

假设2,那么ln(-2a)〉l,故当”e(l,ln(-2a))时,尸(天)<0；当大亡(ln(-2a),*o)时，

/«)>0因此，(“)在(l/n(-2a))单调递减,在Qn(-2a),+oo)单调递增.又当“小时,

〃幻<°,所以八幻不存在两个零点.

综上，。的取值范围为(°，+8).

(II)不妨设项<芍，由(口知％u(y，D,x2c(l,+oo)>2-X2C(-OO,1)>/(x)在(YO,1)上

单调递减，所以％+工2<2等价于/(现)〉/(2-“gp/(2-X2)<0

由于.f(2—%)=一工2/-*2+a(%T)2,而/。2)=(无2-2)*+。*2—1)2=0,所以

x2

/(2—x2)=—x2e^~--(x2—2)e'

设g(x)=-xe2~