高考数学新题型

高考数学新题型选编(共70个题)

1.(I)已知函数：求函数的最小值；

(II)证明:"十"2(巴吆)”(〃>0,b>0,〃wN・)；

22

(ill)定理:若均为正定则有』+靖+?+…2(什*+二+与成立

kk

(其中.请你构造一个函数，证明：

当均为正数时，.

解:(I)令得…2分

当n寸，故在上递减.

当故在上递增.所以,当时，的最小值为•….4分

(||)由，有即

故..............................5分

(III)证明：要证：

只要证：

n

设g(x)=(4+1)”[a：+a；+a；+…+X”)—(q+ci2+/+•，•+x)............7分

则g'(1)=(k+l)w-1-nx0~}-w(O1+/+…+/+Jr)"”

令g，(x)=0得x=4+%+…+4........................................8分

k

当时，

£〃(〃l+4+，，，+4+X)”1—+%+，，，+4+X)"I=0

故上递减，类似地可证递增

所以当-4+%+…+4时,g*)的最小值为g(%+%+…+%)..........1。分

kk

而建4+%+…+勺=伏+网4»：+...+W+(〃*+•••+%).]_(4+出+..i+4+%+…+为

kk'k

(k+ly1-1

二———伙”3；+a；+…+a；)+(4+a+...+a)n—(Z+I)(q+a+…+4)”]

K2k2

=写-故@+力“+2-如+4+“+W=爷-[rV+4+”,+4)-(q+q+“,+aJ]

由定理知：广|(。：+屋+・・,+4')—(《+。2+・一+4)"2°故晨％+%+…+醍0

k

•.•aMe[0,+8)「.黑见句)2以卬+4：…+4)>0

k

1n

故(R+1)"(a；+a；+〃；+,••+a£])2(at+a2++•,•+a-+i)

即.+，¥+4'+…+4'+i之产+/+4+…+怎+1)”...................14分

k+1-k+1

2.用类比推理的方法填表等比数列｛，｝中

等差数列｛〃”｝中

%=。2+d

%+&=a2+a54也

4+生+%+。4+6=5%

••

答案：/7,/?2by•^•b5=b；

3.10.定义一种运算“种:对于自然数n满足以下运算性质：

(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于

A.nD.n«1C.n1D.答案；D

4.若为的各位数字之和，如：，，贝I];记—

答案：5

5.下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

(D请画出四棱维S-ABCD的示意图，是否存在一条侧枝垂直于底面？

存在，请说明理由；

(2)若SA面ABCD.E为ABQ点，求二面角E-SC-D的大小；

(3)求点D到面SEC的距离。

(1)存在一条侧棱垂直于底面(如图)...........3分

证明：且AB.AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD...............5分

(2)分别取SC、SD的中点G；F,连GE、GF、FA,

则GF//EA,GF=EA,AAF//EG

而由SA面ABCD得SACD,

又ADCD,CD面SAD,

又SA=AD,F是中点，

AF±面SCD,EG_L面SCD,/.tfilSEC±面SCD

所以二面角E-SC-D的大小为90°.......10分

(3)作DHSC于H.

面SECJ.面SCD,/.DH面SEC,

DH之长即为点D到面SEC的距离，12分

在RtSCD在

答：点D到面SEC的距离为.................14分

(D6.一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B,将自然数列中的各数依次输入A

口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得;②当时，从A口输入，

从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇

数。试问：

从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。

解(1)%=6x1+5=—a=<7x3-j-7=一

153235

(2)先用累乖法得q=-------!-------UiwN,)

”(2〃—1)(2〃+1)

11

得==

(2x100-1)(2x100+1)39999

7、在AABC中，，给出AABC满足的条件，就

能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条

方程

件及方程：

条件

①△48C周长为10G：y2=25

2

②△46C面积为10C2：x+/=4()，*0)

x2v2

③aABC中，ZA=90"g：—+y=lb^0)

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为(用代号G、C2、g填入)

答案：C3GC2

8、已知两

K123

个函数和

的定义域g(x)132

和值域都

填写下列g［/Cr)］的表格.其三个数依次为

是集合123

(1,2,3),X123

其定义如

下表.gb(x))

X

fQx)231

A.3.1.........2.1........C.1,2.......D.3.2,1

答案：D

9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算如下：

当时，；

当时，。

则函数/*)=(1㊉X)・工一(2㊉x)(x£卜2,2。的最大值等于(c)

(“•"和“一"仍为通常的乘法和减法)A.B.1C.6D.12

10、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则;使成立的x的取值范围是

_____________答案：2

11.为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究：

(I)首先选取如下函数：

求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：

与其反函数的交点坐标为(-1,-1)

与其反函数的交点坐标为(0,0),(1.1)

与其反函数的交点坐标为。，(-1,0),(0.-1)

(II)观察分析上述结果得到研究结论；

(III)对得到的结论进行证明。

现在，请你完成(II)和(III)。

解：(II)原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上2分

(III)证明：设点(a.b)是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线

y=x对称.则点(b.a)也是的图象与其反函数图象的交点，且有

b=f(a),a=f(/?)

若a=b时.交点显然在直线上

若a〈b且是增函数时.有，从而有b〈a,矛盾；若bQ且是增函数时，有，从而有a<b.矛盾

若a〈b且是减函数，有.从而a〈b成立，此时交点不在直线y=x上；同理.b<a且是减函数时，交点

也不在直线y=x上。

综上所述.如果函数是增函数.并且的图象与其反函数的图象有交点.则交点一定在直线上；

如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y=x上。

14分

12.设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根,②

进水量区水量蓄水量

18、已知等比数列0)的前〃项和为鼠

(1)若甑，Sm+2,Sm+1成等差数列，证明am,am+2,arr+1成等差数列；

(II)写出(I)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

证(I)VSm+1=Sm4-am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.

由已知2Sm+2=Sm+Sm+l,2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),

...am+2=—am+1,即数列｛an｝的公比q=一.

.*.am+1=_am,am+2=am,...2am+2=am+am+l,/.am,am+2,am+1成等差数列.

(ID(I)的逆命题是：若am,am+2,am+1成等差数列，则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

设数列｛an｝的公比为q,•.,am+1=amq,am+2=amq2.

由题设，2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2—q-1=0,.,僧=1或4=-.

当q=1时，A*0./.Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.

逆命题为假.

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按

本地区确定的标准，情况如右表：

本地区在“十一五”规划中明确

提出要缩小贫富差距，到2010年

要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数

量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基

础要降低的百分比分别为（B）

A.25%,27.5%B.62.5%,57.9%C.25%,57.9%D.62.5%,42.1%

20、一个三位数abc称为“凹数，如果该三位数同时满足a>b且bVc,那么所有不同的三位“凹数”

的个数是____________________.

答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba,共有=45,另一类是abc,a#=c,共有2=240,故共有45+240

=285个

21.定义运算，若复数，，则。答案：-4

22.从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球,共有种取法。在这种取法中，可以分成两类:

一类是取出的个球全部为白球，共有，即有等式：成立。试根据上述思想化筒下列式子：。

答案：根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分

为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等类，故有种取法。

23.定义运算x※尸，若|m一”※则m的取值范围是

24.在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在

公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有=o

25.考察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式

成为推广不等式的特例，则推广的不等式为

/收+〃”+〃>#少+/7/”(。口>0,。£〃,，几〃>0)

26.对任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知，且有一个

非零实数，使得对任意实数，都有，则。

27、对于任意实数，符号口表示的整数部分，即口是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上口

是在点左侧的第一个整数点，当是整数时□就是。这个函数口叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实

践中有广泛的应用。那么=__________________8204

28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部

队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆

料”：

媒体A:“……,凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元J

媒体B："……,凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同

时增加了不少附加条件J

媒体C:“……，凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元J

请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们

可以发现只有媒体（填入媒体的守母编号）的报道真实性强一些。

汇率

欧元兑美元1:1.19

英镑兑欧元1:1.52

29、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。

设数列的前项和，

（D求数列｛。”｝的通项公式；

（2）试构造一个数列.（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求

数列的变号数。

解：（1）二.的解集有且只有一个元素，•••・

当时，函数在上递增.故不存在，使得不等式成立。

当时，函数在上递减.故存在,使得不等式成立。

综上.得.，.；

（2）要使，可构造数列，•.•对任意的正整数都有.

••・当时.恒成立,即恒成立.即.

又，等等。

（3）解法一：由题设.

•••时，，•••时・数列递增，

由，可知.即时.有且只有个变号数；

又丁，即，.••此处变号数有个。

综上得数列共有个变号数，即变号数为。

解法二：由题设，

时,令；

又•••时也有。

综上得数列共有个变号数,即变号数为。

30、在R上定义运算△:xAy=x（1-y）若不等式（x-a）△（x+a）<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值

范围是。

31.已知之间满足

（1）方程表示的曲线经过一点，求b的值

（2）动点（x,y）在曲线（b>0）上变化，求x22y的最大值；

（3）由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并

求出解析式。

解：⑴（4分）

22/2\

（2）根据工+2=得工？=41-与（5分）

4b2V）（从J

.­.x2+2y=4（l-i=-y-^\+,+4（-0”叫。分）

当生之丽,

即624时(d+2y)a=2"4

4

•2

当心涮",即0W方W40寸(x2+2))觥=『+4

4

2/7+4,(Z?>4)

=J从（10分）

彳+4,(0工〃<4)

（2）不能(11分)

如再加条件xy<0就可使x、y之间建立函数关系G2分)

（14分）

（噎（*<。）

（不唯一，也可其它答案）

32.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木

板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分

的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是。

33.已知，记，（其中），例如：

。设，且满足，则有序数组

(w+x\y-v)=27J〃+x=9,y-u=3、

是（8,6,1,9）。

(ii—A：X.V+v)=105]〃-x=7,y+u=15,

34.（12,=9'+3,）（理）设表示幕函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集

合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。

（文）设户表示零函数），=在（0,士山）上是增函数的C的集合；。表示不等式

,一1|十归一4|20对任意工£/?恒成立的0的集合。（1）求PDQ;（2）试写出一个解集为尸DQ

的不等式。

解：（理）（1）...幕函数在上是增函数.•••，即.

又不等式对任意恒成立，即.

尸CQ=（-00,（））U（1,2）u（3,-KO）。\/,

（2）一个解集为。CQ的不等式可以是—1）1—0\^/12\q/3

（文）（1）...寻函数在上是增函数，.；即，

又不等式对任意恒成立，..•，即，

PuQ=（-oo,3]u（4,+oo）。

V—3

（2）一个解集为PuQ的不等式可以是一->0o

x-4

35.（理）已知为正常数。

（1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出

推广后的结论（无需证明）；

（2）若在上恒成立,且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；

（3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使

当时，,当时.取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。

（2）在上恒成立，即在上恒成立，

V,A.即，

又•••

即时，

r263I39376(6丫V6

/ma、=-----a>\=>a>一f==------=——=。>——,

max92茅412J2

又综上,得0

易知,是奇函数，•.・时，函数有最大值....时,函数有最小值。

故猜测：时,单调递戒；时.单调递增。

(3)依题意,只需构造以为周期的周期函数即可。

如对，，此时，

即^(^)=t/2(x-4Z;)--(x-4^)\xG(4^-2,4^+2),A:GN。

(文)已知函数，，

(।)当时，若在上单调递增，求的取值范围；

(ID求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

(HD对满足(ID的条件的一个实数对，试构造一个定义在,且上的函数，使当时，，当时，取得最大

值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

解：(I)当时，，

若，，则在上单调递减;不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足，•••。

(II)若，，则无最大值，故，为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

又取最小值时,，依题意，有，则，

•••且，•；得.此时或。

•••满足条件的实数对(a,b)是(-1,-1),(-1,3)。

(in)当实数对是时，

依题意，只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。

如对，，

此时一

故h(x)=—(x-2k)2-2(x-2k),xe(2k-2,2k),keN.

36.有穷数列｛an｝.Sn为其前n项和，定义为数列｛an｝的“凯森和”，

如果有99项的数列a1、a2.a3.…、a99的“凯森和”为100)则有100项的数列

1.a1,a2xa3、a4、…a99的“凯森和”=991。

37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知，,求证，

证明：构造函数

22222

f(x)=2x-2(〃]+a2)x+at+a2=2x++a2

因为对一切x(R,恒有廿0,所以WO.

从而得.

(1)若，，请写出上述结论的推广式；

(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解:(1)若，，

求证：(4()

(2)证明：构造函数(6()

2

=nx-2(6/1+a2+•••+凡)x+a；+a；+•••+〃：(9')

=nx2-2x+a；(ir)

因为对一切x(R,都有20.所以△:《0,

......从而证得：.(14()

38、已知两个向■,.

(1)若t=1且.求实数x的值；

—♦—♦

(2)对赳/f写出函数/(工)二。功具备的性质.

解：(1)由已知得……2分

嗟2凶=0或logzN=-2....4分

解得，或……6分

2

⑵/(A)=log,|Aj+(1+/)log2|x|....8分

具备的性质：

①偶函数；

②当即时，取得最小值(写出值域为也可)；

③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增,在递

减……14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分,包括写出函数的零点(.)等

皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

39、对于集合N={1,2.3,…，n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序

重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1,2,4,6.9}的交替和是9-6

+4-24-1=6,集合⑸的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},

{1.2},则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2-1)=4,请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”

的总和S3、S4,并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…，n}的每一个非空子集的"交替和”的总和Sn=

n.2n-1。(不必给出证明)

40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于AB的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平

行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有二。

41.已知

(Dg(x)=f(x2+6x+4)-/(x),求g(幻的最小值

(2)P、Q关于点(1,2)对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的

轨迹方程。

(3)在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质,试

分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质

由h(x)=可抽象出+x2)=〃(玉)-h(x2)

由(p(x)=可拍象出(p〈X\+x2)=(p(xj+(p{x2)

⑴=lg=lg(x+7+6)>1.....31

等号当x=2时成立，...................4'

(2)设P(x.y)则Q(2—x.4-y)......................................5'

由4—y=lg(2—x)可得：y=4—lg(2—x)..........................8,

(3)h(x)=y=2'等____.9*0(x)=丫二底等_11'

42.已知函数的最大值为正实数，集合

,集合。

(1)求A和8；

(2)定义与的差集：且。

设，,均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率.与出与的二组值，使，O

(3)若函数中,，是(2)口较大的一组,试写出在区间Ln]上的最大值函数的表达式。

答案：(1)•••,配方得，由得最大值。.............................................3分

o.....................6分

(2)要使,°可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。

则。.....................................9分

②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。

则.......................................................12分

(3)由(2)知=—七(/6[〃_*,〃]).....................13分

-4n2-\[ln-,H<--y-

g（〃）=v=，一噜...................................18分

-4«2+=,〃>0

43.在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=,例如：1*2=1.3*2=2,则函数的值域为。

44.已知点列B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(nGN)

顺次为一次函数图象上的点，

点列A(xi,0)、A?(xz.0)、…、A..(x,„0)(nGN)

顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a(0<a<1),

对于任意n£N.点An、Bn、An+1构成以

B.为顶点的等腰三角形。

⑴求｛yn｝的通项公式，且证明｛yn｝是等差数列；

⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数(不必证明)，并求出数列｛xn［的通项公式；

⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明

理由。

解:(1)(n(N),yn+1-yn=,「.｛yn｝为等差数列(4()

(2)xn+1-xn=2为常数(6()x1,x3,x5,…，x2n-1及x2.x4.x6.,x2n都是公差为2的等差数列，

x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a,x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,

・•.x厂Jn+a-1,,当n为奇数(100

n-a,当n为偶数

(3)要使AnBnAn+1为直角三形,则|AnAn+11=2=20(xn+1-xn=2()

当n为奇数时，xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,.,.xn+1-xn=2(1-a).

(2(1-a)=2()(a=(n为奇数，0<a<1)(*)

取n=1,得a=,取n=3,得a=.若n25,则(*)无解；(14()

当偶数时，xn+1=n+a,xn=n-a,.,.xn+1-xn=2a.

...2a=20(a=(n为偶数，0<a<1)(*(),取n=2,得a=,

若n24.则(*()无解.

....综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、.(18()

45.(1)证明：当a>1时，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述埋由；若不能，乜请说

明理由。

⑶;青你根据”)、(2)的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解:⑴iE：,Va>1,.,.>0,

•••原不等式成立(69

(2)•••aT与a5-1同号对任何a>0且a(1恒成立，.•.上述不等式的条件可放宽

为a>0且a/1(9r)

(3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a>0且a(1,m>n>0,则有(12()

证：左式-右式二(140

若a>1,则由m>n>0(am-n>0,am+n>0(不等式成立；

若OVaV1,则由m>n>0(OVam-nV1,0Vam+nV1(不等式成立由16()

46.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下图：

明文加，密钥密码密文发邀文解密科密码,

现在加密密钥为y=loga(x+2),如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，

再发送.接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密

后得到明文为14。

47、规定aZkb=,a,b,若12^=3,则函数f(x)=k2kx的值域为(1,+()

48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低;

.反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语

言描述为：若有限数列满足，则

(结论用数学式子表示).

6/1++•••+CI,(li++•••+Cl,.、

-——--------”n<-——---------(14"7<〃)和

tnn

《川+勺心+…+*/勺+的+…+%(­)

n一m

49、已知数列，其中是首项为1,公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列。.

(1)若.求；

(2)试写出关于的关系式，并求的取值范围；

(3)续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)

类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论.

［解］(D..........….4分

(2),……8分

当时…12分

.(3)’所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1,公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差

数列.・・•・・・14分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.……16分

研究的结论可以是：由，

1-dn+i

依次类推可得囚0(什|)=10(1+</+…+〃〃)={10'―/，E,

10(〃+1),d=\.

..当时,的取值范围为等...........….18分

50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：

①2*2=1；②(2〃+2)*2=(2〃*2)+3。则2004*2的数值为3004

51.已知命题：平面上一矩形的对角线与边和

所成角分别为,则。若把它推广到空4

间长方体中，试写出相应的命题形式：

________________________________________________。D；........

长方体中，对角线与棱所成的角分别为.贝IJ,。或是：长方体中.对角线与平面磁邈分别忘期

或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为.贝hj'—一■彳

52.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则

称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式；

(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

(3)设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺

序的排列作为某种密码，求这种密码的个数.

⑴解：由等方差数列的定义可知：...........5分

⑵证法一：..•是等差数列，设公差为，则

又是等方差数列，:•.......................7分

即，.........................10分

即是常数列......................................11分

证法二：.•.是等差数列，设公差为，则……

又是等方差数列，设公方差为，则...........7分

代入得，……

同理有，……

两式相减得：即，.........................10分

•••,即是常数列....................................11分

证法三：(接证法二、)

由、得出：若，则是常数列.............8分

若，则是常数，A,矛盾.......10分

---是常数列..............11分

⑶依题意，，

*

或,..............13分

即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种

确定方法,当每个数确定下来时.密码就确定了.即确定密码的方法数是种，

故.这种密码共种..........................................16分

53.已知函数，当点在的图像上移动时，

点在函数的图像上移动.

（1）若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；

（2）求函数y=g（x）的解析式；

（3）当时.试探求一个由数使得在限定定义域为

时有最小值而没有最大值.

解：G）当点坐标为。，点的坐标为，.......2分

•・•点也在的图像上，•・.，即.……5分

（根据函数的单调性求得，请相应给分）

（2）设在的图像上

则.即..............................8分

而在的图像上.•••

代入得，为所求............................11分

（3）；或等...............15分

如：当时,

2

/（人）十冬（人）十〃（八）=log/4十1）十log/2八十/）十logJu.=log4（l-A）

••.在单调递减，故，

即有最小值.但没有最大道...................18分

（其他答案请相应给分）

（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；②由于和都是

以为底的对数.所以构造的函数可以是以为底的对数.这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以

为底的对数是减函数，只有当其数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过

乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有

最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或

在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，财且

抛物线开口向下.

①54.如图，一个计算装置有两个数据输入口I、II与一个运算结果输出口川,当I、II分别输入

正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：

若I、II分别输入1,则；②若I输入固定的正整数，

II输入的正整数增大1,则输出结果比原来增大3；③若II输入1.

I输入正整数增大1,则输出结果为原来3倍。

试求：

（1）/（）〃/）的表达式（加£N）;（2）/（相，用的表达式（〃?,〃£N）;

（3）若I、II都输入正整数.则输出结果能否为2005?

若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。

解：（1）

（2）

ml

f（myM）=/（/«,/?-1）+3=一2）+3x2=…=f（m\）+3（n-1）=3~+3（/?-1）

（3）,V,

A/（〃,n）输巴结果不可能为2005。

55.对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中/。

对自然数/,规定为的/阶差分数列，其中。

（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不

存在，则请说明理由。

解：（1）..•.是首项为4公差为2的等差数列。

△4=2(〃+1)+2-(2〃+2)=2

...是首项为2,公差为0的等差数列；也是首项为2,公比为1的等比数列。

(2),即，即，

猜想：

证明：i)当时，；

ii)假设时，

时，结论也成立

.•・由i)、ii)可知，

(3),即

・•・IC：+2C；+3C；+…+仁=业3+C；T+C；..+…+C：：：；)=〃.2M

•••存在等差数列，，使得对一切白然都成立。

56.对于在区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意x£［m,n］均有|f(x)-g(x)|

W1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的，否则称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的，现有

两个函数f1(x)=loga(x-3a)与f2(x)=Ioga(a>0,a*1),给定区间［a+2,a+3］.

(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间［a+2,a+3］上都有意义，求a的取值范围；

(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间［a+2,a+3］上是否是接近的？

解:(D要使f1(x)与f2(x)有意义，则有

x-3a>0

■x-«>0=>x>3a

a>。且a工1

要使f1(x)与f2(x)在给定区间［a+2,a+3］上有意义.

等价于其数的最小值大于0

a+3-a

即。+2-3a>0n0〈"l

a>0且awI

(2)f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的

OI九(x)-八(x)|W1

=log“(x-3a)-log〃一!一W1

x-a

<=>Ilog,[(x-3a){x-a)]|W1

U>aW(x-2a)2-a?W—

对于任意xW[a+2,a+3]恒成立

设h(x)=(x-2a)2-a2.xW[a+2,a+3]

且其对称轴x=2a<2在区间[a+2.a+3]的左边

%。)//+2)

ojI

①、八(％)-0(a+3)

%

a4-4a4

a-

<=>1I.5

9—6〃

6a2-9a+10

4

a—

5

9-V579+V57

a--------或a

1212

八9-后

Ova---------

12

当0<。吐且时

12

f1（x）与f2（x）在给定区间［a+2.a+3］上是接近的

当<a<1时.f1（x）与f2（x）在给定区间［a+2.a+3］上是非接近的.

57、已知是定义在一8.+8上的函数，e-oo.请给出能使命题：“若+1