高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题23恒成立、能成立问题(原卷版+解析)

微专题23恒成立、能成立问题

【方法技巧与总结】

1.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)Vxe力，m<f(x)<=>m<f(x)niin；

(2)V.VGD,<=>/«>/(.x)imx；

(3)HxeD,w</(x)<=>/n</(x)nm；

(4)BxsD,m>/(x)<=>in>/(x)n，n.

2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),y=g(x)，xe[c,d].

(1)若V内句，VwWcd],有/(%)<&(々)成立,则/(k2<8(力而/

(2)若肉，切e[cd],有〃x)vg(w)成立，则/(力-<g(x)1rax;

(3)若肛£口,可,理4。,力,有〃x)vg(q)成立,则/(")〃vg(x)g；

(4)若％W%/小玉2aM,有/(x)=g(巧)成立,则“X)的值域是g(x)的值域的子集.

【题型归纳目录】

题型一：分离参数

题型二：判别式法

题型三：数形结合

题型四：多变量的恒成立问题

题型五：主元法

题型六：直接法

【典型例题】

题型一：分离参数

例1.(2()23•江苏•连云港市赣马高级中学高一阶段练习)若对任意1WXW2,有fWa恒成立，则实数的取

值范围是()

A.{a\a^2)B.5|。24}

C.(a\a^5}D.(a\a^5]

I4

例2.(2023•天津•高一期末)对于满足等式上+E=l的任意正数，力及任意实数xdLxo),不等式

ab+\

a+b>-x2+6x-加恒成立，则实数m的取值范围为()

A.[2,+00)B.(L-KO)C.[0,+oo)D.[-3,-K0)

例3.（2023♦全国•高一课时练习）已知对任意g2_侬_1＜—〃?+5恒成立，则实数X的取值范围

是（）

2+8

6

一8,二

变式L（2023・全国•高一单元测试）已知1OW2,工2一公＞0恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.｛布训

变式2.（2023•广东•深圳外国语学校高一阶段练习）若关于.1的不等式/—61+11-〃＜0在区间（2,5）内有

解，则实数。的取值范围是（）

B.(6,*o)C.[2,-HX)D.(2,+oo)

题型二：判别式法

例4.（2023・山东•潍坊一中高三期中）若关于x的不等式卜/-4*+（〃+2卜-12（）的解集不为空集，则实

数。的取值范围为（）

A.f-2,1B.-2,1

I，」J

例5.（2023•陕西•西安市西光中学高二阶段练习）关于x的不等我2+依+4一］＜0的解集为R,则。£（）

A.(y,0)B.(0,+8)C.(0,1)D.Y。

例6.（2023・河北唐山•高一期中）已知关于X的不等式加、2必+22（）的解集为R,则实数，〃的取值范围

是（）

A.0<m<2B.0<??/<2

C.m<0/??>2D.〃?<0或，〃>2

3

变式3.（2023・广东•石门高级中学高一阶段练习）若不等式2履2+京-三＜0对一切实数工都成立，则&的取

O

值范围是（）

A.[-3,0]B.(-OO,-3)U(0,-FOO)

C.(-3,0]D.(^»,-3]O[0,-H»)

变式4.(2023•北京市第五十中学高一阶段练习)对于任意实数I,不等式(2-"?了一2(〃?-2.+4>0恒成

立，则优的取值范围是()

A.{/n|-2</n<2}B.{m\-2<m<2]

C.{"?l〃？<-2或〃?>2}D.{"1|〃？<一2或〃]22}

变式5.(2023•河南•洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知不等式公2一。一。)工+1>0对任意实数x都成

立，则实数〃的取值范围是()

A.2&或。<()}B.伍|3-2正<"3+2伪

C.{a|av3-2g或a>3+20}D.{43-2&<〃<3+2夜}

题型三：数形结合

例7.已知定义在R上的函数/(力满足/(幻=/(-力，且在(0.内)上是增函数，不等式/(ar+2),J(T)对于

xe[\,2]恒成立，则。的取值范围是()

B.(-00,--]C.[-3,--]D.[--,-1]

222

例8.当X€(l,2)时，不等式x-lvlog"A•恒成立，则实数〃的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.(2,+oo)

例9.当xe(l,2)时，不等式。-1)2<10院彳恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(2,3]B.[4,+00)C.(1,2]D.[2,4)

变式，存在33,4]使得3-。)力成立，则实数〃的取值范围是」3.冬白

题型四：多变量的恒成立问题

例10.(2023•江苏省镇江第一中学高一阶段练习)已知困数/(x)=Y+at+2,〃eR.

⑴若不等式的解集为口⑵,求不等式f⑶之I-]?的解嵬

(2)若对于任意％e[T/L不等式f(x)W2a(x-l)+4恒成立，求实数。的取值范围；

(3)已知g(x)=-x+M,当a=-3时,若对任意%€[1,4],总存在电€(1,8),使/(%)=g(w)成立,求实数

“I的取值范围.

例11.(2023•浙江•杭十四中高一期末)已知函数f(x)=x+g-4,g(x)=x-b,h(x)=x2+2bx

X

⑴当。=2时，求函数y=/(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间(直接写出结果)；

(2)当。«3,4]时,函数/(“在区间[1,向上的最大值为/(〃?)，试求实数机的取值范围：

⑶若不等式力($)-。(占)＜卜(西)|-卜(々)|对任意占，x,e[0,2](XV与)恒成立，求实数力的取值范围.

例12.(2023•辽宁・大连二十四中高三阶段练习)已知定义在R上的函数/(“满足/(-4)-/(工)=0,且

/(-v)=Iog2(2、+1)-如，g(x)=f(x)+x.

(1)若不等式8(4'-。2'+2)＞前一2)恒成立，求实数〃的取值范围；

⑵设力(幻=/+月门-2尔+1,若对任意的N«0,3],存在七€卜1],使得求实数/〃的取

值范围.

变式7.(2023•湖北武汉•高一期中)已知函数/(x)=f-"M〃wR).

⑴若存在实数x,使得/(27)=-/(2,)成立，试求机的最小值；

⑵若对任意的小王£卜1』，都有|/&)-/(%)归2恒成立，试求〃?的取值范围.

变式8.(2023・湖南・株洲二中高一阶段练习)已知定义在R上的函数“力满足/(-力-/(工):0且

x

/(x)=log2(2+l)+^,g(x)=f(x)+x.

(1)求/(”的解析式；

(2)若不等式g(4'-叱2'+1)>g(-3)恒成立，求实数。取值范围；

⑶设/?")=/一2g+1,若对任意的再«0,3],存在使得g(x)NMW),求实数〃?取值范围.

4

变式9.(2023•山西・晋城市第一中学校高一阶段练习)已知函数/(x)=x+M,

⑴判断函数/(X)在区间(0,y)上的单调性，并利用定义证明；

⑵若对任意的孙占£时，|、«)-/⑸归机+，成立，求实数加的取值范围.

变式10.(2023•黑龙江•哈尔滨三口高•阶段练习)已知定义域为R的函数/(工)满足

/(x+1)=.r2+2(1—a)x—3n+2.

⑴求函数“力的解析式；

⑵若对任意的〃目-3,-2],都有〃力<0恒成立，求实数x的取值范围；

⑶若玉收«-2』使得/(芭)”(W)+4,求实数a的取值范围.

变式11.(2023・江西•贵溪市实验中学高三阶段练习(文))设函数/(力的定义域是(。,丑)，且对任意的正

实数X、y都有f(')=〃x)+〃y)恒成立,已知"16)=4,E0<x<lflt/(x)<0.

⑴求/⑴与”2)的值；

(2)求证：对任意的正数网、勺，，(内+占)>/($);

⑶解不等式“6+1/(⑵-8).

题型五：主元法

例13.(2023•广东实验中学高三阶段练习)已知函数/(“对任意实数乂)，恒有/(x+y)=/a)+/(y),当

彳>0时，/(x)<0,且/(1)=-2

⑴判断/W的奇偶性；

⑵求函数/(x)在区间[-3,3]上的最大值；

(3)若e[—14—1,1]//一2a〃?—2恒成立，求实数机的取值范围.

例14.(2023•广东•深圳中学高三阶段练习)已知当一1<。<1时，f+e-4)x+4-2a>0恒成立，则实数工

的取值范围是()

A.(f,3)B.(^oj]u[3,+oo)

C.D.(-COJ)<J(3,-HX)

例15.(2023•黑龙江•双鸭山一中高一阶段练习)若命题“九目-1,3]⑷2-(2〃-1卜+3-。<0”为假命题，则

实数大的取值范围为()

A.[-1,4]B.0,|C.[-1,0]|,4D.[-U0)jf|，4

变式12.(2023•江西•于都县新长征中学高一阶段练习)己知1],不等式/+(〃—4)%+4-2〃>0恒

成立，则x的取值范围为()

A.(一8,2)53,+8)B.(-oo,1)52,+8)

C.(一8,1)53,+8)D.(1,3)

变式13.（2023•江西•金溪一中高三阶段练习（理））不等式ox：2+5x—7a>3—2/对一切恒成立,

则实数x的取值范围是（）

1B.(-<O,-4]U[-L4<O)C.(-4,-1)D.卜制

A.(f-4]U-,+8

2

题型六：直接法

例16.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=-2f-ar+3满足对任意恒有/。）>（）,

则实数〃的取值范围是（）

A.(-U)B.

3J

f5-Vw1.5+同

C.D.1,

3

例17.（2023・全国•高一单元测试）若不等式/+4（%—1）+120对一切xe（l,2］都成立，则〃的最小值为

)

A.0B.-2&C.-2x/2-2D.-5

例18.（2023•全国•高一课时练习）若关于x的不等式而一为21+（加一1）20在（_］,］）有解,则加的取值范围

为（)

A.(-oo,-l]L[0,+<x>)B.ST)U(Om)

C.[0,1]D.(0,1)

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•浙江•杭州高级中学高一期末）已知函数"k=log,（8-"）满足〃>1,若/（力>1在区间口，2］上

恒成立，则实数。的取值范围是（）

8.8

A.(4,-KO)B.?4C.D.O(4,+oo)

（d-2）x+I,x<1,

2.（2023・全国•高一单元测试）己知函数/（4）=•dl〈x<2,（”0且"1）,若对任意两个不相等的

x2+2ax-a,x>2

实数/，&，（大-％）[/&）-/（%）]>0恒成立，则实数〃的取值范围是（）

A.[2,4]B.（1,4]C.（2,一）D.（2,4]

3.（2023・湖南•高一阶段练习）已知〃x）=ln（而不一曲）（。>°）是奇函数，若/（如?一法）+/（仆+1）<。

恒成立，则实数b的取值范围是（）

A.（—8,8）B.（。,8）C.（—8,16）D.（—8,0）

4.（2023•江苏•高一专题练习）若4'-〃2'+3>0在xe（O，l）上恒成立，则实数，〃的取值范围是（）

A.仅6+8）B.（4,+a））

C.（-8,2@D.（—4）

5.（2023•辽宁•东北育才双语学校高一期中）定义在R上的函数/⑺满足〃27）=/（力，且当时，

—K+3]<%<4

/（、）=I।'一、』，若对任意的“e上J+1],不等式〃2-x）&/（x+1+/）恒成立，则实数/的最大值为

l-log2x,x>4

（）

A.-1B.--C.\D.--

333

6.（2023•四川•石龙中学高一阶段练习）已知对于任意实数x,&2一21+&>0恒成立，则实数k的取值范

围是（）

A.k>\B.k=]C.k<\D.k<\

7.（2023・全国•高一单元测试）已知函数/（x）=++x-3,若对任意的外,占41,”），且

工产生""）一"~）<3恒成立,则实数〃的取值范围是（）

王一W

A.（-ooJ）B.（fl]C.（一8,。）D.（-oo,0]

8.（2023•江苏省横林高级中学高一阶段练习）已知对任意乂y«0,zo）,且x+2）'=3,/《去+奈]恒

成立，则f的取值范围是（）

112

A.t<4B./<-C.t<-D.t<-

233

二、多选题

9.（2023•重庆十八中高一阶段练习）不等式/+法+G22工+。充任意工€—恒成立，则（）

A.〃2_4c+4KoB./?<（）

C.c>1D.b+c>0

10.（2023・福建・三明一中高一阶段练习）已知函数“X）的定义域为卜|不>0},当天>%>0时，

Mz[/（M）-〃X2）]+X-A2>0恒成立,则（）

A.y=/(x)在(O,y)上单调递减

B.y=〃x)—；在(O,+8)上单调递减

乙人

C./(2)-〃3)4

D./(2)-〃3)<:

O

11.(2023•浙江省平阳中学高一阶段练习)设函数/(力-入2十2天十若关丁x的不等式/(/(.v))N0恒成

立，则实数。的可能取值为()

A.0B.-C.1D.-

22

2

12.(2023•江苏省怀仁中学高一阶段练习)已知函数/(x)=-21+1(工4—2,2]),^(x)=x-2,r(x€[0,3]),

则下列结论正确的是()

A.Vxe[-2,2],/(力>。恒成立，则实数a的取值范围是(f,-3)

B.*4-2,2],/(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是(f,-3)

C.3Lve[0,3],g(x)=a,则实数〃的取值范围是卜1,3]

D.VXG[-2,2],3/e[0,3],f(x)=g(t)

三、填空题

13.(2023•江苏省新海高级中学高一期中)若不等式log“x-(ln”2v4(a>0,"l)对于任意叫恒成

立，则实数。的取值范围是

14.(2023・全国•高一单元测试)若关于x的方程题产二弋在区间(0,1)上有解，则实数〃?的取值范围是

15.(2023・全国•高一专题练习)已知关于x的方程卜+/卜,_,=_/+2公1+2"有解，则实数，的取值

范围是.

16.(2023•全国•高一单元测试)记max{a,b}=«：!“一?，已知g(x)=/-3J(x)=2x,设函数

[Z?(a<b)

F(.v)=max{/(x)^U)},若方程F(x)-〃，=0有解，则实数〃，的取值范围是__________________.

四、解答题

17.(2023・广东•广州市第十六中学高一期中)已知函数/")是定义在[-2,2]上的奇函数，满足〃1)=(,

当-2"«0时，有/")二华不

x+4

⑴求函数/(X)的解析式；

（2）判断/（x）的单调性，并利用定义证明；

⑶若关于x的不等式/（耳2疗-1在工«-2,2］上有解，求实数”的取值范围.

18.（2023・四川・成都市树德协进中学高一阶段练习）设/W是定义在R上的奇函数，当x＞0时,

/（x）=x（2-x）.

（1）求函数/（X）的解析式.

（2）当x＞0时，有解,试求”的取值范围.

（3）当x＞（）时，/（幻＞，+3〃_3在aw［0,l］上恒成立，试求二的取值范围.

19.（2023•广东•广州六中高一期中）已知两数/（幻是定义在R上的奇函数，当NO时，/（x）=4"+I

（1）求函数/（幻的解析式；

（2）求/"（—5］及/（1。823）的值；

（3）若存在实数xeg』］，使得不等式［/（刈2+8［/（幻+吟〃有解，求实数小的取值范围.

20.（2023•黑龙江・哈九中高一阶段练习）已知函数/（x）的定义域是（0.+8）,对定义域内的任意内，勺都有

/（—）=〃％）+/*2），且当0＜xvl时，/W＞0.

（1）证明：当人＞1时，/（x）＜0；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）如果对任意的与天£（0，内），/（斗2+与2）＜“。）+/&9）恒成立，求实数。的取值范围.

21.(2023•江苏•高一单元测试)已知函数=x+一.

X

⑴写出函数/(力的定义域及奇偶性；

⑵清判断函数/(力在(0,1)上的单调性，并用定义证明在(04)上的单调性;

(3)当xe时，V-ai+lNO恒成立，求实数。的取值范围.

22.(2023•江苏•高一单元测试)已知不是定义在卜I』上的奇函数.

⑴求/(X)的解析式；

(2)判断并证明〃力的单调性；

⑶若不等式/'(〃>)-/'㈠-〃“)>。对工4，4恒成立，求〃?的取值范围.

微专题23恒成立、能成立问题

【方法技巧与总结】

1.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeD,/n</(x)<=>w</(x)niin；

(2)VxeD,〃后

(3)BLieD,

(4)3XGD,m>/(x)<=>m>./(x)n,n.

2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b]ty=g(x),x^[c,d].

⑴若依小,0,Vx,e[c;f/],有/(x)vg(w)成立,则/(MgvgOOdn；

(2)若％w[M，玉*[c,d],有/(xJvgQq)成立，则/(力3<g(x)2；

(3)若肛文肉,切士,办有/(%)<g(%)成立,则/⑸iJgULx；

(4)若依小肉,切目端],有/a)二g(w)成立，则/(力的值域是g(。的值

域的子集.

【题型归纳目录】

题型一：分离参数

题型二：判别式法

题型三：数形结合

题型四：多变量的恒成立问题

题型五：主元法

题型六：直接法

【典型例题】

题型一：分离参数

例L(2023・江苏•连云港市赣马高级中学高一阶段练习)若对任意1WXW2,有fw。恒成

立，则实数的取值范围是()

A.(a|aW2}B.伍|«24}

C.miaW5}D.

答案：B

【解析】因为对任意14x42,有/石〃恒成立，

因为1WXW2,所以Oex'44,

所以4之4,

故选：B

例2.（2023・天津•高一期末）对于满足等式1上4+-=1的任意正数。力及任意实数

ab+\

xe[l,+oo）,不等式4+力？-/+6*一〃?恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.[2,-KO）B.IL+oo）C.[0,+oo）D.

答案：B

14

【解析】因为任意正数，心满足等式二街"

所以4+〃=“+(〃+1)-1=[〃+(〃+1)](■!■+

-1

当且仅当〃+1=2〃=6,即〃=3,〃=5时等号成立，

因为任意实数xw口,+8）,不等式a+bN-x2+6x-tn恒成立，

所以，，〃之-/+6%-8对任意实数xe[l，*»）恒成立，

因为xe[l,y）时，一f+64-8=-（x一3）2+14，当且仅当x=3时等号成立，

所以，〃?21,即实数”的取值范围为[1,转）.

故选：B

例3.（2023・全国•高一课时练习）已知对任意〃"[1,3],〃吠2-〃氏-1〈-川+5恒成立，则实

数x的取值范围是（）

答案：D

【解析】对任意不等式〃1<-〃?+5恒成立,

2

即对任意me[l,3],W（x-x+l）<6恒成立，

所以对任意we[l,3],xi-x+\<—恒成立,

tn

所以对任意〃z«l,3],

所以x2—x+l<2,解得匕正<]<匕避

故实数x的取值范围是

故选：D.

变式1.(2023・全国•高一单元测试)已知1W2,f一奴恒成立，则实数。的取值范

围是()

A.>11B.C.D.{布〈1}

答案：D

【解析】由1WXW2,/-or>0恒成立，可得在［L2］上恒成立，

即即a<1.

故选：D.

变式2.(2023・广东・深圳外国语学校高一阶段练习)若关于x的不等式/一61+11-〃<0在

区间(2,5)内有解，则实数。的取值范围是()

A.［6,-K»)B.(6,-KO)C.［2,4OO)D.(2,+oo)

答案：D

【解析】由关于K的不等式炉—6丫+11<0在区间(2,5)内有解，

得〃-6X+11在区间(2,5)内有解,

令f(x)=/-6x+U,则""*=6(3)=9-18+11=2,即a>2,

所以实数。的取值范闱是⑵y).

故选：D.

题型二：判别式法

例4.(2023・山东・潍坊一中高三期中)若关于大的不等式(/-4)f+(a+2)x-120的解集

不为空集，则实数〃的取值范围为()

答案：C

【解析】根据题意，分两种情况讨论：

①当,J一4=0时，即a==2,

若。=2时，原不等式为4X-IN0,解可得：x>l,则不等式的解集为卜1北［,不是空

集；

若。=-2时，原不等式为-120,无解，不符合题意：

②当一4工。时，即々=±2,

若(/_4)f+(a+2)x-lN0的解集是空集，则有｛a-4<0八，解得

A=(a+2)-+4(«--4)<0

-2<av?，

则当不等式(/-4)/+(.+2)4-120的解集不为空集时.有av—2或且。工2,

综合可得：实数〃的取值范围为(YO,-2)5«+8)：

故选：C.

例5.(2023•陕西•西安市西光中学高二阶段练习)关于犬的不等如2+如+〃-1<0的解集为

R,则()

A.(e,0)B.(0,+oo)C.(0,1)D.SO]

答案：D

【解析】当。=0时，依2+奴+。-1=-1<0对xwR恒成立，符合题意；

当〃工0时，构造y=ax'+iir十。一1,

要使丁<。对xeR恒成立,由二次函数的图像可知：

a<0且△=『-4a(a-1)=-3a2+4a<0,

解得：a<0,

综上：a4().

故选：D.

例6.(2023・河北唐山•高一期中)已知关于「的不等式混+2皿+2之0的解集为R,则实

数,"的取值范围是()

A.0<〃2<2B.0<m<2

C.，〃工0或/”N2D.〃7<()或〃?>2

答案：B

【解析】当“2=0时，则2N0恒成立，加=0成立;

当…时,则｛I：—-解得。<心

综上所述：实数，〃的取值范围为04〃?W2.

故选：B.

变式3.(2023•广东•石门高级中学高一阶段练习)若不笨式2"2+米_<。对一切实数x都

O

成立，则女的取值范围是()

A.[-3,0]B.(e,-3)5。，+°°)

C.(-3.0]D.(^)O.-3]<J[0.4-OO)

答案：c

3

【解析】当上0时，-?<。对•切实数x都成立，故Z句符合题意;

O

当女工0时，要使不等式2.lv2+^-j<0对一切实数X都成立，

O

kO

则

-4?k

综上可得—3<&K0,即Ze（―3,0］；

故选：C.

变式4.（2023•北京市第五十中学高一阶段练习）对于任意实数》,不等式

（2->丫+4>0恒成立，则，"的取值范围是（）

A.{/M|-2<m<2)B.{/n|-2</?/<2}

C.{，〃lv-2或〃?>2}D.{词〃一2或"i之2}

答案：B

【解析】当2=0,即，片2时，4>0恒成立，满足题意.

2-m>0

当2-加工0时，则有L/7必，解得：-2<，〃<2

A=4（w-2）-4?（3«0«）?

综上，实数〃［的取值范围是-2v，〃W2

故选：B

变式5.（2023•河南洛宁县第一高级中学高一阶段练习）己知不等式混一（l-a）x+l>0对

任意实数工都成立，则实数〃的取值范围是（）

A.伍|"3-2&或a<0}B.{a\3-2y/2<a<3+2>/2］

C.{〃|a<3-2/或a>3+2&}D.*/|3-2&<av3+2&}

答案：D

【解析】当4=0时，不等式为T+l>（）,即工<1,不符合题意；

当4K0时，不等式亚2-（1一々）戈+1>0对任意文数X都成立，

由一元二次函数性质可知，。>0且判别式4=［-（1-幻］2-4〃<0,

解得3-2应<〃<3+2&.

故选:D.

题型三：数形结合

例7.己知定义在A上的函数/（x）满足/*）=/（-幻，且在（0,位）上是增函数，不等式

/（以+2）,"（-1）对于,2］恒成立，则a的取值范围是（）

A.(-00,-1]B.(-00,-1]C.[-3,-1jD.

【解析】解：由题可知，/*)的图象关于)，轴对称，且函数/(X)在(73,0)上递减，

由函数的图象特征可得-囹法+21在[1,2]上恒成立，得-士麴h-上在[1,2]上恒成

xx

立，所以-2副7—1.

2

故选：D.

例8.当xt(l,2)时，不等式x-lvlog“x恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1，2]D.(2,+oo)

【解析】解：,函数y=x-l在区间(L2)上单调递增，

.•.当xc(l,2)时，y=x-le(0,l),

若不等式x-l<log,x恒成立，

则a>1且L,log”2

即aw(l,2],

故选：C.

例9.当xe(l,2)时，不等式(x-<log”x恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(2,3]B.[4,+00)C.(1,21D.[2,4)

【解析】解：•.,函数y=a-1)2在区间(1,2)上单调递增，

.•.当xe(l,2)时，y=(x-l)2e(0J),

若不等式(x-l)2vlog“x恒成立，

则a>1且L,log”2

即ae(l,2],

故选：C.

变式6.存在XE[3,4]使得MX-4,,1成立，则实数。的取值范围是」3-巫,马一

32

【解析】解：由题意，存在xe[3，4]使得(x-«)2„-,设

X

/(x)=(x-a)2,xe[3,4],g(x)=Lx€[3,4]，且g(x)皿=[g(x)而“=:，

x?4

如图①，当3时，函数/(X)在[3,4]上单调递增，此时只需f[x},nin=/(3)=(3-a):1,

解得3-立釉3+且，故3-近勘3：

333

如图②，当3<”4时，函数/*)的最小值为/0)哂=/(a)=0,显然恒成立，

如图③，当a.4时，函数/(幻在［3,4］上单调递减，此时/(x)哂=/(4)=(4—a)2,,；,

解得2捌/2,故4捌/-；

222

综上，实数〃的取值范围是［3-且?］.

32

故答案为：［3-正；］.

32

题型四：多变量的恒成立问题

例10.(2023•江苏省镇江第一中学高一阶段练习)已知函数/(x)=Y+办+2,〃wR.

(1)若不等式fMV0的解集为［1,2］,求不等式f(x)>\-x2的解集;

⑵若对于任意工£［-L1］，不等式/(x)<2a(x-1)+4恒成立，求实数。的取值范围：

⑶已知8(*)=-*十，〃，当”=一3时，若对任意Ze",4］,总存在巧仁(1，8),使

/(xj=g(』)成立，求实数机的取值范围.

【解析】(1)由题意，L2为方程V+⑪+2=()的两个不等实数根，

.\\+2=-a=>a=-3,所以不等式/(x)N1—f为

x2-3x+2>\-x2=>2x2-3x+1>0>

解得xwg或所以不等式解集为TU［l,“o).

(2)1•,/(工)<2〃(工-1)+4012-《戊+24—2〈0对]£[-1,1]恒成立，

令力(x)=Y-衣+2a—2,即力(力40对xe[-l,l]恒成立,

因为函数小开口向上，故只需满足｛〃、"=<,”八

/z(-l)<0[l+a+2a-240

解得所以4的取值范围为1一应；

JI工

_3

2

(3)当〃=-3时，f(x)=x-3x+2t开口向上，对称轴为

当xe[1,4]时，/(x)min=一:，/(Mm”=6,二.一J</(x)<6，

44

xw(l,8)时，g(x)t(-8+巩一1+〃7),由题意，

对任意方£[1,4],总存在々€(1,8),使/(%)=g(%)成立,

即函数“力的值域是函数g(x)的值域的子集，

..1

rI—8+/fi<——

即一76£(—8+/〃,-1+川)，.j4,

-\+m>6

解得7<〃?<?，所以〃?的取值范围为(7,弓]

例1L(2023•浙江•杭十四中高一期末)已知函数/(x)=x+q-4,g(x)=x-b,

JC

h(x)=x2+2bx

⑴当4=2时，求函数y=/(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间(直接写出结果)；

(2)当。«3,4]时,函数/(X)在区间[1,向上的最大值为,试求实数机的取值范围;

⑶若不等式〃(%)-人(々)<卜(内)|-年(巧)|对任意巧，毛«0,2](%<个)恒成立,求实数b

的取值范围.

y=f(x)+g(x)=x+——4+x-b=2(x+—)-4-b

【解析】(1)当。=2时,

所以函数y=/a)+g(x)的单调递增区间为(3,T),(L”),单调递减区间为(-1,0),

(0,1)；

(2)因为"03,4],且函数y=/(x)在U,上单调递减，在M,+8)上单调递增,

又因为/(尤)在U,M上的最大值为了(⑼，所以/(〃?)之/(1),

即〃1+且一421+〃一4,整理可得w2-(a+\]ni+a>0,

m

所以。〃-1)。〃-a)N(),所以mN4n4,g|Jm>4：

(3)由不等式/fa)igxga)iT8』)i对任意为，》一°,2］(%<七)恒成立,

即h(xt)-Ig($)|<力(再)-1g(电)I,

可令2")=〃*)-lg*)l,等价为在［0,2］上单调递增，

而F(x)=h(x)-|g(x)|=丁+2Z?x-|x-q=.：+［，+一产<，，

［x4,+(2b-1)x+b,x>b

分以下三种情况讨论：

①当斤外彳即叱一：时，可得_〃+g«o,解得2g,矛盾，无解；

②-力-g</)<-8+；，即一(</)<；时，函数尸(x)的图象的走向为减、增、减、增，

但是中间增区间的长度不足1，要想?(X)在[0,2)递增，只能一〃+?与。，即〃之!，矛

盾，无解；

③。N-b+g即人之;时，此时尸5)在[一。-：,+8)上单调递增，

要想F(x)在10,2]递增，只能_｝一?<0,即此一，所以8

224

综上可得满足条件的b的取值范围是1yl

例12.(2023.辽宁・大连二十四中高三阶段练习)已知定义在R上的函数/'("满足

r

/(-A)-/(X)=0,fi/(J)=log2(2+l)-h:,g(x)=/(x)+x.

⑴若不等式8(4、-如2，+2)>8(-2)恒成立，求实数〃的取值范闱；

⑵设立(%)=工4+xlnx-2〃“+1,若对任意的Ne[0,3],存在七t[e,e],使得

8(%)之网占),求实数机的取值范围.

【解析】⑴由题意知，嗨(2一+1)——噫(2*+1)*=0,

l

即2Ax=log2（2+l）-log.（2'+l）=log2^7^Y-=log2^-=-x,

所以A=」,

2

故〃x）=log2（2*）-5,

工g（力=/（X）+X=log?（2"+1）+"

乙

因为函数)，=2，+i为增函数，函数yfogzx在其定义域上单调递增,

所以)'=1。82(2*+1)单调递增，又y=gx为增函数，

所以函数g(x)在R上单调递增，

所以不等式g(4、•2,+2)>g(-2)恒成立等价于4'-〃2+2>-2,

4'+4

即"恒成立,

2X

V

设1=2"贝打>0,"4箕4-4=f-2+14=/+4224,当且仅当r=2,即4=1时取等号,

2Xtt

所以〃<4,

故实数〃的取值范围是(―,4)；

(2)因为对任意的西电司，存在马#41使得《)训七)，

所以g(x)在［。，3］上的最小值不小于/7(x)在上的最小值，

因为8(丫)=1。&(2,+1)+；”在［。、3］上单调递增,

所以当x«0,3］时，且口僵=g(O)=l,

//(A)=x4+xlnx-2mx+1<1,即存在xe［e,e［,使〃此gx5+gInx成立,

令f(x)=L+4…

22

因为y=gV在［«，/］上单调递增，y=lInx在［e,e［上单调递增，

・・・/&)在［e"］上单调递增，

/.r(x).=r(e)=-e3+-,

\/mm\/22

131

••N—eH—,

22

所以实数〃?的取值范围是；斯+；,+8).

变式7.(2023.湖北武汉.高一期中)已知函数“X)才-尔(〃zeR).

⑴若存在实数x，使得〃2-)=-/(2,)成立，试求〃，的最小值；

⑵若对任意的小94-1，1］，都有|/(%)二/'(毛)归2恒成立，试求，〃的取值范围.

［解析］(I)由题意，由/。、)=_/(?)得，2为_〃?.2-=-22'+〃卜2、即

2~2X+22X

m=--------

2T+2”,

(27+2，)2-2-22

2T+2,2-X+2X

._____2

令"2~X+2X>2A/2-XX2V=2，则6=22），

2

由于函数丁=，在l2,+oo）为增函数，y=7在⑵+8）为减函数,

2

=2一]=1，即〃？佗最小值为I.

⑵二次函数,（"）*-侬的开门向上，对称轴为“-5,

若对任意的8都有|/（内）-/伍）归2恒成立，

则当xe[Tl]时，/Wnux-/（x）nUn<2,

①当豹,即〃?22时，/(A-)^=/(-I)=1+/n,f(x)n.n=/(I)=1-m,

故1+/〃一(1一〃?)W2,解得/n«l,又用22,故无解;

②当一1«?金，即一2q三2时，/J)1nM=/(?)=—字，

/(x)ma、=max{/(-l)J(l)}=max{l+，"，17〃}，

要使得〃力皿一外)小2,只需/⑴―/仁卜2且/㈠)—/仁上2,

Akl+W+—<2<=>(1+—)2<2<=>-2V2-2<W<2X/2-2,

42

l-w+^<2o(y-l)2<2<^-2x/2+2</n<2>/2+2,

故2-2近金-2+26

③当1,即〃?《一2时，

/㈤皿=〃1）=1一见/（%焉=/（-1）=1+加，

A-A

则/（）inax/（'）,nin42,即一2/〃<2,解得m>-1»与m<-2矛盾，无解.

综上，实数〃?的取值范围是-2及+2K〃Y2及+2