高考解析几何压轴题(含答案)

1.设抛物线

y=/>>0）

的焦点为

,点

30,2）

.若线段

的中点

在抛物线上，则

到该抛物线准线的距离为o（3分）

（第211）

2.已知m>l,直线

m'

x-mv--=0

，椭圆

nt

分别为椭圆

的左、右焦点.（I）当直线

过右焦点

时，求直线

的方程；（n）设直线

与椭圆

c

交于

两点，

V/此

9

YBF、F：

的重心分别为

G.H

.若原点

O

在以线段

GH

为直径的圆内，求实数

m

的取值范围.（6分）

3已知以原点0为中心，

F（VS.O）

为右焦点的双曲线C的离心率

石

..--

（I）求双曲线c的标准方程及其渐近线方程；

（TT）如题（20;图，已知过点

的直线

4：A"43y=4

与过点

（其中

&*K

）的直线

A：4%y=4

的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求

\OGH

的面积。（8分）

4.如图，已知椭圆

土♦立=l（j>ft>0）

%a

的离心率为

,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点

为顶点的三角形的周长为

4（石♦1）

.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设

为该双曲线上异于顶点的任一点，直线,

和

PK

与椭圆的交点分别为

4B

和

C、D

PF,

的斜率分别为

，证明

4生=1

；（III）是否存在常数

，使得

用小小A⑷・|田

恒成立？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由.（7分）

5.在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆

—♦—二I

的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T(

/,m

)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M

、

,其中m>0,

N>0./<0

(1)设动点P满足

PF'-PR”,&

,求点P的轨迹；

(2)设

X.=2,x.="

3

,求点T的坐标；

(3)设

，二9

，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。(6分)

6.如图，设抛物线

C:y=x2

的焦点为F,动点P在直线

/:x-y-2=0

上运动，过P作抛物线C的两条切线PA：PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求AAPB的重心G的轨迹方程.

(2)证明NPFA二NPFB.(6分)

7.设A、B是椭圆

3x‘+/=4

上的两点，点N(l,3)是线段AB的中1,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于

C、D两点.

(I)确定

的取值范围，并求直线AB的方程；

(II)试判断是否存在这样的

A

,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

(此题不要求在答题卡上画图)(6分)

8.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点Fl,F2在x轴上，长轴A1A2的

长为4,左准线1与x轴的交点为M,|MA1|：|A1F1|=2：1.

(I)求椭圆的方程；

(II)若点P为1上的动点，求NF1PF2最大值.(6分)

9.设Fl,F2是椭圆

I

94

的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1,则三角形

PF1F2的面积等于.(3才)

10.在平面直角坐标系X0Y中，给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在

X轴上移动，当

ZMPN

取最大值时，点P的横坐标为o(3分)

11.若正方形ABCD的一条边在直线

广2x-l7

上，另外两个顶点在抛物线

上.则该正方形面积的最小值为.（3分）

12.已知

*

和

*

—-1（>>6>0）

O试问：当且仅当a,b满足什小条件时，对

G

任意一点p,均存在以P为顶点、与

Q

外切、与

q

内接的平行四边形？并证明你的结论。（4分）

13.设曲线C1:

（a为止常数）与C2:y2=2（x+m）在x而上方公有一个公共点P。

（1）实数m的取值范围（用a表示）；

（2）0为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<a<

£

2

时，试求/OAP的面积的最大值（用a表示）。（5分）

14.已知点

40,2）

和抛物线

r

上两点

B.C

使得

AHL*

,求点

c

的纵坐标的取值范围.（4分）

15.一张纸上画有半径为R的圆0和圆内一定点A,且OA=a.拆叠纸片，使

圆周上某一点A/刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当

A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.（6分）

16.（04,14）在平面直角坐标系xoy中，给定三点

3

，点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。

（I）求点P的轨迹方程；

（II）若直线L经过

的内心（设为D）,且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范

围。（5分）

17.过抛物线

y=小

上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交

x

轴于D,交

y

轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足

AE

—二X.

EC

;点「在线段BC上，满足

BF

——A,

FC

,且

,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.（6分）

18.参数方程练习题（13分）

1.直线

的参数方程是（)0

A.

B.

v=4/4-1

C.

x-r

p工2/

D.

x-mO

♦2sinO+1

2.方程

1

=，♦-

I

v»2

表示的曲线是（)O

A.一条直线B.两条射线c.一条线

段D.抛物线的一部分

3.参数方程

fx-2^m20

=一1+88%

（

e

为参数）化为普通方程是（）。

A.

2x-y+4=0

B.

2x+y-4=0

C.

2x-y+4=0

X€[23]

D.

2x+y-4=0

xe[23]

4.直线1：

y+lr+2=0

与曲线C：

p=2cos。

相交，则k的取值范围是（）0

A.

B.

7

4

C.

kwR

D.

kwR

但

*#0

5.圆的方程为

x=-l+2cos。

y=3+2sin6

，直线的方程为

x=2/-l

*

y=6t-1

,则直线与圆的位置关系是（）「

A.过圆心B.相交而不过圆心C.相

切D.相离

6.参数方程

为参数）所表示的曲线是（）。

ABC

D

7.曲线C：

X=CM6

（L

0

为参数）的普通方程为：如果曲线C与直线

有公共点，那么实数a的取值范围为。

8.（2011广东）已知两曲线参数方程分别为

“在f“＜初

尸sin。

和

5,

x=-/

4

(t

wR

),它们的交点坐标为

9.已知x、y满足

(X-1)2+(J+2)2»4

,求

的最大值和最小值。

答案：1.解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出P的值为

4i

,B点坐标为（

）所以点B到抛物线准线的距离为

,本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题

2.（I）解：因为直线

/：

x*my-=0

经过

,所以

Jnf-I=-

，得

m

,又因为

m>\

,所以

,故直线

的方程为

（第21邃）

(II)解:设

O由

m'

LIjr■mvf—2

Im

,消去

得

则由

,知

m'<K

,且有

mm:I

iOi

由于

,故

O

为

FR

的中点，由

/U7.2GO.BH=2HO

,可知

。（工4小匕4，

3333

1199

设

M

是

（ill

的中点，则

M（二2LLL）

66

,由题意可知

2|A/O|<|G//|.

即

4［（二尸.（左41<12L1AL.包二幺

6699

而

m:m:

♦—X/ny；4—）>畀/

I

=（of.1X---）

82

所以

nf14

———<0

R2

即

m2<4

又因为

m>\

且

A>0

所以

\<m<2

O所以

m

的取值范围是

（1,2）

O

3.【解析】（［）由题意知，椭圆离心率为

，得

a-

，又

2A♦2c=

4c♦I)

,所以可解得

J-2>/2

,所以

»j'-c,»4

,所以椭圆的标准方程为

MJI

84

;所以椭圆的焦点坐标为（

,0）,因为双曲线为等轴双曲线，且顶皆是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准

方程为

44

（n）设点p<%.”>，则右・_A_,玲・金_，所以知心=_^----"-・

X.+2%-2%+2Xo-2

又煮P（%,%）在双曲娃上.所以有孝-4=1.即x/=Xo'-4,所以

ki，ki=J、-1*

（IU）傕设存在礴心使用|48|+6|=可4卦|0。|愎成立.则由（II>知用也=1,所以设直线AB

的方程为>=gx+2）,则直线CD的方程为>>>=J（x+2）,

1y・Hx+2）

由方程组卜2/，消、,阳（源+1）/+/，+如-8=0,设«4冗，8（巧.%）,

T+T=1

_gp9Jt3-8

则由韦达定理得।七+Xa・再叼・乳;.

酗AB-7i7P~如+xJ-4格-4噂］：：）,同理可用

O同/+4i,丁等三噌弁，

题为网+倒一网囱，制U・高+疡•端口4鼻

・丁券*=挛，所以存在常数2=当，使得,8|+=4网•侬|恒成立.

4.

（II）解济一：如答（20）图,由题意点E（〃，r）在直姣L：x仔♦4y,y・4和4：x产♦

4yly-4上,因此枷/£+4”,=4.%“♦4y>yt-4,

故点M、N均在直线xr«+4y,y-4上,因此比线MN的方程为

44

*t*+r<y-•

设C、〃分别是直线MN与渐近线x-2y=0及m+2y=0的交点.

产产♦4yt;=4p,x♦4yt/=•*,

由方程组及

lx-2）»0U♦2y■0.

解得九二；^”.-；；%；.

设WN与xlB的交点为Q.则在直线x«*+4几丁=4中，令y=0得飞=^（易知

0）.注意到白・44=4阳

s^=1-\OQ\.k-媪工击，1三砺.；7^

42%|_2

■■石厂星-4淄一2・

5.(1)设点P(x,y),贝I」：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

由

k-加・4

，得

(4r-2r*y-((x-3r^y|=4,

化简得

9

故所求点P的轨迹为直线

9

(2)将

%=2,1=不

分别代入椭圆方程，以及

%>。•力<0

得：M(2,

5

3

)、N(

[

3

20

9

)

直线MTA方程为：

/-0

5.02+3

3

,即

y=一JC+1

3

,直线NTB方程为：

y-0x-3

所以点T的坐标为

10

—)

3

o

(3)点T的坐标为

直线MTA方程为：

0x+3

m-09*3

,即

m,…

尸=仃("3)

,直线NTB方程为：

0x-3

m-09-3

,即

m0

y=—”-3)

O分别与椭圆

，，

—*♦—/"sI.

95

联立方程组，同时考虑到

5，-3.X,43

解得：

M3(80-加)

80♦加'80♦加

、

3(m:-20)20m

Nan(,,~,

20♦m'20♦m

O(方法一)当

时，直线MN方程为：

20m3(/n:-20)

y.1"i....•""

2。♦m_____20+m

40m20m3(80-m:)3(-20)

RO*"20♦nf80fm:20*m!

令

y=0

,解得：^

x=I

o此时必过点D(1,0)；当

时，直线MN方程为：

x=I

,与X轴交点为D(1,0)o

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1,0）o

6.（1）设切点A、B坐标分别为

（X，M）和（X|，MX（X|WXQ）

・•・切线AP的方程为:

Ix^x-y-x1=0;

切线BP的方程为:

2

2xlx-y-xl=0;

解得P点的坐标为:

5+玉

孙二。一必

所以aAPB的重心G的坐标为

_Xo+W+X『

幅—一3—

♦必—曰♦/尸_4*/-4

"=j-=j-ji•

所以

4=-3凡+4匕

,由点P在直线1上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

jr_（_3y.4/）_2=0,即y=；（4/-x«♦-2）.

（2）方法1：因为

拓二（%4・》，即二（^4A，勺4一入丽=（卬"・；工

由于P点在抛物线外，则_

\FP^0.

丽.成岁1

coeZXZP-

|西包|IAPI

同理有

・・・NAFP=NPFB.

7.(I)解法1：依题意，可设直线AB的方程为

y=k(x-1)4-

,整理得

(i2+3)x2-2*(*-3)x+(*-3)2-Z«0.

①

设

&，乂)，或%力)，机，A

是方程①的两个不同的艰，

A=4(l(*243)-X*-3)2]>0,

②

且

由N(1,3)是线段AB的中点，得

=L.,・川七一3)=大2+3.

解得k二一1,代入②得，

2>12,WA

的取值范围是(12,+8).

于是，直线AB的方程为

>一3=-("-1)»即""4=0.

解法2：设

小片,升）,陌,力1

则有

Jx?♦v?y

,2},=>（马-马）（马♦马）■力Kh+力）・Q・

依题意,

心--如产卬.

VN（1,3）是AB的中点，・・・

玉+/=2%+力=6从而=-1

又由N（1,3）在帏圆内，，

A>3x|2+32=12,

1

的取值范围是（12,+8）.

直线AB的方程为y一3二一（X—1）,即x+y—4=0.

（II）解法1：・・・CD垂直平分AB,J直线CD的方程为y—3=x—l,即x一

y+2=0,

代入椭圆方程，整理得

4x2+4"4“=0.

又设

）,氏勺,外），

CD的中点为

是方程③的两根，

于是由弦长公式可得________

ICD卜卜(-$・|再一”,卜7^3).

④

将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得

4X2-8X+16-A=0

⑤

同理可得_____

|AB卜|=J2--12).

⑥

・.•当

2>12

时，

檄4-3)>12(4-12)/•KCD|

假设存在

>12,使得A、B、C、I)四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

点M到直线AB的距离为

L五一戊下

⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

|1J12axn山|2.AB,292・1—2・A-亍3-.(C〒D.匕5

故当

>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，

\CD\

2

为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆

<=>

△ACD为直角三角形，A为直角

<=>

|AN|2=|CN|•|DN|,

即

（用二KD|

2

⑧

由⑥式知，⑧式左边

A-12

由④和⑦知，⑧式右边

_,必可域师F叫—39"12

・‘22K2222*2*

・•・⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2：由（H）解法1及入>12,

VCD垂直平分AB,.,•直线CD方程为

,代入椭圆方程，整理得

4x2+4x+4-^=0.

③

将直线AB的方程x+y—4=0,代入椭圆方程，整理得

4x2-8x+16-Z=0.

⑤

解③和⑤式可得

2士〃-12-1±VI^3

天：.2»XM.2,

不妨设____

勺号公心・：砺阻土弃，邛史尹，邛口）

—j+vrni+vn3+7133-71^12,

（As/一

方=（3+4-12-VT33-773一〃一12）

计算可得______

B忘=0

,・•・A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，・・・A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明ACJ_AD）

8.解：（I）设椭圆方程为

A与=|（。＞八0）

,半焦距为

，则

小|=―小和”

c

-4---a«2A（/a-c）、

c

由题意.得2a=4

Aa=2,b=y/3tc=I

故帏解方程为?+q=1・

（ID

邮（y，y.），乂*0

设直线喈的科科=-争立线"侬|专4党

•・・o<4盟<z/^q,

.-.4/中为机角,

-隔黜源噜

当|%|■疝"yj,而ttm/上哨L大值.・大・

故4尸％.大做为E■普.

8.90o9.

273

10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c,则由其方程知a=

3,b=2,c=

万

,故，|PFl|+|PF2|=2a=6,又已知［PF1|：|PF2|=2：1,故可得|PF1|=4,

|PF2|=2.在△PF1F2口，三边之长分别为2,4,2

万

,血22+42=（2

万

）2,可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长为2和4,故△PF1F2的面积=

4.

11.解：经过V、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3—x上，设圆

心为

S(a,3-a),则圆S的方程为：

(m--3+8)=2(1♦6])

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所

以，当

/MPN

取最大值时，经过M,N,P三点的圆S必与'X轴相切于点P,即圆S的方程中的a

值必须满足

2(1+J2)=(1-3)\

解得a=l或a=-7。

即对应的切点分别为

P(1,0)W/>(-7,0)

,而过点M,N,

P'

的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径，所以

ZMPN>ZMP*N

,故点P(1,0)为所求,所以点P的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB在直线

y=2x-17

上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

、

例&•%)

，则CD所在直线

/

的方程

，•2月♦仇

将有线

/

的方程与抛物线方程联立，得

=2月，〃n/：=12J-+1.

令正方形边长为

则

>=(4-♦(%-力『=5(x,-x,)2=20伟+1).

①

在

y-2x-17

上任取一点(6,,5),它到直线’

y=2*b

的距离为

|17.6|

$…a=l

4s

②.

①、②联立解得

b.»3,b.-63.4~»80,

或

a'=I2K0..-.&二=80.

13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆

的极坐标方程为

Icos"0sin’0

再^-'R

------（1）

显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A

（夕⑷

，贝IJB

（也・900*0）

代入（1）式相加：

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1,

P[P]"♦Pl

,从而

II.

-*-sl

p\Pl

14.解：⑴由

-I

-2(«♦m>

消去y得：

x2♦2#'i>2i*/w-4**0

©

设

，问题⑴化为方程①在x£(—a,a)上有唯一解或等根.

只需讨论以下三种情况：

1°△=0得：

/♦I

m*----

,此时xp=-a2,当且仅当一aV—a2Va,即OVaVl时适合；

2cf(a)f(—a)<0,当且仅当一aVmVa；

3°f(—a)=0m=a,此时xp=a—2a2,当且仅当一aVa—2a2Va,即OVaVl

时适合.

f(a)=0得m=-a,此时xp=-a—2a2,由于一a—2a2V—a,从而mW—a.

综上可知，当0<aVl时，

/♦I

m*----

2

或一aVmWa；

当a21时，一aVmVa.

(2)AOAP的面积

VO<a<

,故一aVmWaFI寸，0<

-a'•n4I2m

<a,

由唯一性得

♦八a♦I-2m

显然当m=a时，xp取值最小.由于xp>0,从而yp=

取值最大，此时

9••

♦

当

时，xp=—a2,yp=

,此时

下面比较

与

的大小：

令

，得

故当OVaW

时，

w

,此时

当

时，

,止匕时

15.解:设

n

点坐标为

点坐标为

显然

,故

由于

AHLH(

,所以

k1K=♦2)

从而

y=y.=-(y,♦2)n〃-4"

/■x♦4

,消去

X

，注意到

得:

(2*%)(八外)“・0

n

yf♦2(2♦川,♦(2y+1)=0

由

A20

解得：

y，0

或

yN4

当

y=0

时，点

n

的坐标为

(-3,-1)

:当

y=4

时，点

H

的坐标为

(5,-3)

,均满足是题意.故点

的纵坐标的取值范围是

0

或

yz4

16.解：如图，以D为原点，0A所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a,

0).设折叠时，。0上点A/(

解cos"."

)与点A重合，而折痕为直线MN,则MN为线段AA/的中垂线.设P(x,y)为MN上

任一点，则IPA/I=IPAI5分

(।COMa)•{y-R\inY-(x-J)♦y

即

2R(4CUMa♦j,sina)=R-a'2m

10分

••

XCOtcr♦"+2M

可得：

/♦2*i,一•*y

MiMa------1tf-—1....•cm"-—i，

"7♦2,

2R6♦/

W1(此不等式也可直演由柯西不等式得到)15分

平方后可化为

,K,.M2Jj

(r(>-(r

222

21,

即所求点的集合为椭圆圆

.R*，弁，a

(/%,(2)2

=1外(含边界)的部分.20办

17.解：(I)直线AB、AC、BC的方程依次为

44

y=i).y=一不"-=o

。点

P(

到AB、AC、BC的距离依次为

4=3八4|,d、=3y-4|.d,=|川

O依设，

dtd.=d：.得|16』-(3y-4)；上25，

,即

16r-(3y-4f+25/=0.1416?-(3y-4f-25y=0

，化简得点P的轨迹方藉为

圆S：

2?+2y+3y-2=0^«ftttT：8x2-l7/+12/-8=0

(II)由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：

2r+2/+3/-2=0

©

与双曲线T：

17yl+12y-X=0

②

因为B(-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P

的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

\AHC

的内心D也是适合题设条件的点，由

,解得

叫)

,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜

率存在，设L的方程为

③・

(i)当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点【)；此时，直线

平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹

有3个公共点。.....10分

(ii)当

《一0

时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两

种情况：

情况1：直线L经过点B或点C,此时L的斜率

,直线L的方程为

o代入方程②得

乂3〉-4)=0

，解得

4*唱令

o表明直线BD与曲线T