北师大版数学高二学案 章末复习提升

章末复习提升,

一、本章知识网络

二、知识要点归纳

1.求数列的通项

(1)数列前n项和Sn与通项处的关系:

5i,〃=1,

cc

Sn—5〃-1，n三2.

(2)当已知数列｛斯｝中，满足而^一斯=/(〃)，且.知)+八2)+…+«〃)可求，则可用累加法求数

列的通项斯,常利用恒等式斯=〃i+(〃2—。吊十(的一。2)1---F(a“一如一1)(〃22).

(3)当已知数列｛〃“｝中，满足竽=A〃)，且加)次2)•…负〃)可求，则可用累积法求数列的通项

“，常利用恒等式斯=0孚知•••旦~(〃22).

山。2Cln-1

(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通

项.

⑸归纳、猜想、证明法.

2.等差、等比数列的性质

项目等差数列等比数列

如果一个数列从第2项起，每一

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前项与它的前一项的比都等于同

一项的差都等于同一个常数，那么这个数列一个常数，那么这个数列叫做等

定义

就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的比数列.这个常数叫做等比数列

公差，公差通常用字母d表示的公比，通常用字母q表示

(内).

斯+1_

递推关系a“+i—a=d

n%一夕

a〃=m+(〃-l)da„=a\cftX

通项公式

nni

a,t=a)n+(n—m)dalt=antq~

若三个数①A,〃成等差数列，这时4叫若三个数a,G,》成等比数列，

这时G叫做。与b的等比中项，

中项做。与力的等差中项，且人=驾

且G=±\[HL

n

IHc_a\Q-q)ch-a.q

前n项和公〃(41+一)〃(〃一1).时，S"-|_g-]_g

Sn~2—〃ai12d

式

q=1时，S,尸nai

定义法4"+1-4”是同一个常数誓是同一个常数

Cln

中项法4r+a”+2=2a〃+i-忌+1

判定方法

通项公式法a”=p4'

5”是不含常数项的二次函S〃中只有^与常数项，且系数互

S”的形式

数为相反数

加、〃、p、g£N*且m+〃=〃+g

性质下标性质

电+即=%+为amS=a“aq

Srn，S2m—Sni，

S3LS2m成等差数列成等比数列

•••

3.求数列的前〃项和的基本方法

(I)公式法：利用等差数列或等比数列前〃项和公式；

⑵分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只

剩有限项再求和；

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；

⑸倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；

(6)并项求和法：适用于止负相间的数列.

三、题型探究

题型一数列的实际应用

例1甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所

示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只

鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.

请你根据提供的信息说明，求：

(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；

⑶哪一年的规模最大？请说明理由.

解由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场H产的鸡只数成等差数列，记为数列

｛斯｝,公差为4,且0=1,恁=2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数

列仍〃｝,公差为4,且加=30,%=10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列｛%｝,

则cn=anbn.

面=1,

⑴由0=1,恁=2,得，

［。|+5"1=2,

所以m=1000X2n-,+50D.

(l)a*=l000X24-1+500=8500,

所以该企业2018年年底分红后的资金为8500万元.

(2)由斯>32500,即2〃一|>32,得〃>6,

所以该企业从2021年开始年底分红后的资金超过32500万元.

题型二数列的交汇问题

122“-12”1

例2设数列｛斯｝满足十十亍十…十丁=号一1,其中常数；

Cl\02UnUn2

(1)求数列｛〃”｝的通项公式:

2

(2)若2=不仇=(2〃-4001)为，当〃为何值时，生最大？

I2*12

解(1)由题意得2+・+”.+丁=¥一1，①

Cl2Chidn

.*.«i=2A—1.

127—1

水，数列｛〃“｝是以U-1为首项，以二^为公比的等比数歹L

22—1

・・・%=(22—1)(：—尸1

A

2I

(2)当时，③=分产7,

bn^bn

设〃"最大，则

力"》bn

2/1-40012(〃+1)—4001

272-4001>2(H-1)-4(X)1

3・2°一|〜32厂2

如不4。)3一一4005

解得一.

•・・〃£N”,・・・〃=2002,

故当〃=2002时，小最大.

反思与感悟数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、

方程、不等式等其他知识有较多交汇处.它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近

年高考的一大亮点.

跟踪训练2已知二次函数人工)=『一or+"r£R)同时淹足：①不等式的解集有且只

有一个元素；②在定义域内存在0V用＜及，使得不等式五片)＞/(也)成立.设数列｛m｝的前〃

项和S„=fin).

⑴求人¥)的表达式；

(2)求数列｛4｝的表达式.

解(l)・・VU)W0的解集有且只有一个元素,

4d=0,.•・。=0或。=4.

当〃=4时，函数yU)=f-4x+4在(0,2)上递减，故存在0＜不〈及，使/3)＞人也)成立;

而当4=0时，兀¥)=/在(0,+8)上递增，不合题意.

故a=4,—4x+4.

⑵由⑴知,＜=〃2-4〃+4.

当〃22时，a”=S〃一S/j-i

=(7—4〃+4)—[(〃-I)?一4(〃-l)+4]=2〃-5,

当n=1时，〃i=Si=l不适合上式,

1,n=

故a=

n2〃一5,〃22

四,思想方法总结

1.转化与化归思想求数列通项

由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观

察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.

例1日知数列｛“〃｝满足%+i=2a〃+3X2",c"=2,求数列｛“〃｝的通项公式.

解知+]=2斯+3义2”两边除以2"+'得

33

-则-

22

2"+1-2”2Z

故数列佛是以多=|=1为首项，以办公差的等差数列，由等差数列的通项公式得,

翁=]+(〃-琼,

所以数列｛斯｝的通项公式为a„=

跟踪训练1已知数列｛〃“｝满足《7+1=2m+3­5",0=6,求数列｛斯｝的通项公式.

解设斯+i+x­5"*=2(。”+尤・5")①

将〃“+i=2%+3・5〃代入①式，

得2a“+3-5"+不5"+|=2斯+如5”,

等式两边消去2斯,得3・5"+*5〃+i=2x­5〃,

两边除以5”,得3+5x=2x,则X=一1,

代入①式得知+1—5"+|=2(〃"一5"尴

由⑶一51=6—5=1W0及②式得，

%+|一5'由

斯-5"W0,则

出一5〃

・・.｛斯-5"｝是以1为首项,2为公比的等比数列,

•••小一5”=1义2”一1=2"一|,

・・・%=2"-1+5〃(〃£2).

2.方程思想

在等差数列和等比数列中，通项公式小和前〃项和公式S”共涉及五个量：的，如，力&办

Sn,其中首项0和公差

d(公比〃)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于m，如，〃，d⑼,£的方程组,

通过方程的思想解出需要的量.

例2等差数列｛m｝各项均为正整数，0=3,前〃项和为S”等比数列｛儿｝中，"=1且岳S2

=64,｛加“｝是公比为64的等比数列，求｛〃”｝,｛仇｝的通项公式.

解设｛%｝的公差为"，m｝的公比为q