2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题10 几何图形选填压轴题（含特殊三角形、圆等综合问题）（解析版）

专题10几何图形选填压轴题

（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题）

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01特殊三角形中多结论问题

题型02特殊四边形中多结论问题

题型03特殊三角形中求角或线段长

题型04矩形中求角或线段长

题型05菱形中求角或线段长

题型06正方形中求角或线段长

题型07与等腰三角形有关的多解题

题型08与直角三角形有关的多解题

题型09圆中求角或线段长

题型10圆中求弧长或面积

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2025·山东泰安·一模）如图，在ABC中，ABAC，A36，D在AB的垂直平分线上，

35

CE平分ACB，底边BCa，下述结论：①BD平分ABC；②DEa；③BDC的周长等于

2

ABBC；④D是AC中点．其中正确的命题序号是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【答案】A

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由垂直平分线的

性质，等腰三角形的性质可判断①；通过相似三角形的判定与性质，解方程可判断②；由垂直平分线的性

质可判断③；根据②的结论求出AD、CD即可判断④，掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】解：①∵ABAC，A36，

180A

∴ABCACB72，

2

∵D在AB的垂直平分线上，

∴ADBD，

∴ABDA36，

∴DBCABCABD723636ABD，即BD平分ABC，故①正确；

②由（1）得，DBCABDA36，

∴BDCAABD72，ADBD，

∵BCD72，

∴BCDBDC72，

∴BDBCADa，

∵CE平分ACB，

1

∴DCEBCEACB36，

2

∴DCEDBCBCE36，

∴DECEDC72

∴BECE，CECD，

∴DCECEB，

∵EDCCDB，

∴DCE∽DBC，

DCDE

∴，

DBCD

设DEx，则DCECEBax，

axx

∴，整理得：x23axa20，

aax

3535

解得xa或xa（舍去），

22

35

∴DEa，故②正确；

2

③BDC的周长BC+CD+BD，

∵BDAD，

∴BCCDBDBCCDAD，

∵CDADAC，

又因为ABAC，

∴BCCDADBCACBCAB，

即BDC的周长ABBC，故③正确；

3551

④由②知ADBDBC，CDCEBEBDDEaaa，

22

∴ADCD，

这就说明点D不是线段AC的中点，故④错误；

综上，①②③正确，

故选：A．

【典例02】（2025·北京·模拟预测）如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACBC,CECD，ABC

的顶点A在ECD的斜边DE上，连接BD．给出下面四个结论：

①2CE2DE2；②ACEBCD；③ADBD；④AE2AD22AC2．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④

【答案】A

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是

解题的关键．

由ECDACDACBACD即可判断②；然后证明ACE≌BCDSAS，根据对应角相等以及等腰

直角三角形锐角为45即可证明③；对等腰直角ECD运用勾股定理即可判断①；对RtABD,RtABC运用

勾股定理判断④．

【详解】解：∵ABC和ECD都是等腰直角三角形，

∴ECDACB90，ECDE45

∴ECDACDACBACD，即：ECADCB，故②正确；

∵CACB,CECD，

∴ACE≌BCDSAS，

∴CDBE45，AEBD，

∴CDBCDEADB90，

∴ADBD，故③正确，

∵在等腰直角CDE中，CDCE，DCE90，

∴CD2CE2DE2，

∴2CE2DE2，故①正确；

∵BDE90，

∴在Rt△ABD中，AD2BD2AB2，

∵ABC为等腰直角三角形，

∴AB2AC2BC22AC2，

∴AD2BD22AC2，

∵AEBD，

∴AD2AE22AC2，故④正确；

∴正确结论的序号①②③④，

故选：A．

方法透视

等腰三角形多结论：结合等边对等角、三线合一等性质，判断角度相等、线段相等或垂直关系

考向1.

的多个结论正误。

解读

2.直角三角形多结论：利用勾股定理、30°角性质、斜边中线等，判断边长关系、角度大小或面

积关系的正确性。

3.全等与相似结合：在特殊三角形背景下，综合全等或相似判定，分析多个结论的逻辑关联。

标图分析：将已知条件在图中标出，由结论反推所需条件，逐一验证每个结论。

方法1.

2.举反例排除：对存疑结论，尝试构造反例或特殊情况快速排除错误选项。

技能

3.性质优先用：优先运用特殊三角形的特有性质（如等腰三线合一、直角斜边中线）推导结论。

变式演练

【变式01】（2025·湖北·模拟预测）分别以ABC的两边AB、AC向形外作等边△ABD和等边△ACE，BE、

CD分别交AC、AB于点H、G，BE、CD相交于点F，连接AF并延长交BC于M点，则下列结论中正

确的是（）

①△ADC≌△ABE

②BECD

③DFB60

④AM平分BAC

⑤FM平分BFC．

A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤

【答案】C

【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三

角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．

由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都

为60，利用等式的性质得到DACBAE，利用SAS可得出①符合题意；利用全等三角形的对应边相等

即可得到BECD，②符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到ACDAEB，再由对顶角相等和

三角形内角和定理得出③符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出⑤符合题意，运

用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论．

【详解】解：ABD和△ACE都为等边三角形，

ADAB，AEAC，DABEACAECACE60，

DABBACEACBAC，

即DACBAE，

在△ADC和ABE中，

ADAB

DACBAE，

ACAE

ADC≌ABESAS，

故①符合题意；

∵△ADC≌△ABE，

BEDC，

故②符合题意；

∵△ADC≌△ABE，

ADGFBG，

又AGDFGB，

∴180FBGFGB180ADGAGD

DFBBAD60，

故③符合题意，

作APCD于P，AQBE于Q，如图所示；

则APDAQB90，

∵△ADC≌△ABE，

∴ADCABE，

在△ADP和ABQ中，

ADCABE

APDAQB，

ADAB

∴ADP≌ABQAAS，

∴APAQ，

∴AF平分DFE，

∴AFDAFE，

∵CFMAFD,BFMAFE，

∴CFMBFM，

∴FM平分BFC，

故⑤符合题意；

则CFMCAMACF，BFMBAMABE，

∵△ADC≌△ABE，

∴ADCABE，

∵△ABD是等边三角形，

∴ADAB，

只有ABAC时，即ADAC，则ACFADC，

∵ADCABE，

∴ACFABE，

分析题干，AB,AC不一定相等，ACF,ABE不一定相等，

∵CFMCAMACF，BFMBAMABE，CFMBFM，

故CAM不一定等于BAM．

故④不符合题意

故选：C．

【变式02】（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AD∥BC，ABBCCDAD4，

AC60，连接BD，将△BCD绕点B旋转，当BD（即BD）与AD交于一点E，BC（即BC）同

时与CD交于一点F时，下列结论正确的是（）

①AEDF，②EBF60，③DEBDFB，④DEF的周长的最小值是423

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由DEF的周长DEDFEFADEF4EF，

则当EF最小时DEF的周长最小，根据垂线最短，可得BEAD时，BE最小，即EF最小，即可求此时DEF

周长最小值．

【详解】解：ABBCCDAD4，AC60，

ABD，△BCD为等边三角形，

ABDC60，

将△BCD绕点B旋转到△BCD位置，

ABDDBC，ABBD，ADBC，

ABE≌BFDASA，

AEDF，BEBF，AEBBFD，

BEDBFD180，

故①正确，③错误；

ABD60，ABEDBF，

EBF60，

故②正确，

DEF的周长DEDFEF

ADEF

4EF，

当EF最小时，DEF的周长最小．

EBF60，BEBF，

BEF是等边三角形，

EFBE，

当BEAD时，BE长度最小，即EF长度最小，

AB4，A60，BEAD，

ABE30，

1

AEAB2，BE3AE，

2

EB23，

DEF的周长最小值为423，

故④正确，

故选：C．

典例引领

【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形ABCD是菱形，ABC60，对角线AC、BD

相交于点O，过点D作DEBC交BC的延长线于点E，F为AD的中点，连接EF交BD于点G，连接OE

FG1

交CD于点H，连接BH．则下列结论：①四边形ACEF为平行四边形；②；③OH2CH·DH；

EG3

3

④tanHBC．其中正确的有（）

9

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④

【答案】D

【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，ADCD，进而可求出CDE30，由含30度直角三角形的性质

1

得出CECD，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明ACD是等边

2

三角形，由等边三角形的性质进一步证明OHC∽DHO，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作

HQCE与点Q，通过解直角三角形求出HQ，CQ，再求出BQ，最后再根据正切的定义求解即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，ABC60，

∴AB∥CD，ADCD，

∴DCEABC60，

∵DEC90，

∴CDE30，

1

∴CECD，

2

∵F为AD的中点，

1

∴AFDFAD，

2

∴AFCE，

又AF∥CE，

∴四边形ACEF为平行四边形，故①正确；

∵ADBE，

∴DFG∽BEG，

1

AD

FGDF1

∴2，故②正确；

1

EGBEADAD3

2

∵四边形ABCD是菱形，ABC60，

∴ADC60，ADDC，

∴ACD是等边三角形，

∴ADAC，

11

又∵OCAC，CEAFAD，

22

1

∴OCCE，ODCADC30，

2

又OCHECH60，

∴CHOE，

∴OHCDHO90，

∴COH30，

∴COHODH30，

∴OHC∽DHO，

OHCH

∴，

DHOH

∴OH2CH·DH，故③正确；

如下图，过点H作HQCE与点Q，

设菱形ABCD的边长为4a，则AC4a，

∴OC2a，

1

∴CHOCa，

2

311

∴HQCHsin60a，CQCHa，

222

19

∴BQBCCQ4aaa，

22

3

a

HQ3

∴tanHBC2，故④正确，

9

BQa9

2

故选D

【典例02】（2025·四川广元·模拟预测）如图，在菱形ABCD中,BAD120,AC,BD相交于点O，点E在

BC的延长线上，且CEBC，连接AE交BD于点F，交CD于点G，连接OG．有以下结论：①BC2OG；

②SADFS四边形OCGF；③图中有6个三角形与BOC全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其

中结论正确的是（）

A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定（ASA、SAS）、三角形中位线定理及三角形

面积计算（面积等分与和差），解题的关键是利用菱形性质及中点条件推导面积关系，避免复杂计算，准

确判断全等三角形数量．

由菱形ABCD中BAD120，得ABBCCDDA，ACBD，AOOC，BOOD，ACD为等边

三角形；因CEBC，故ADCE且ADCE，证ADG≌ECG得G为CD中点，结合O为AC中点，知OG

是ACD中位线，得BC2OG，①正确；由O、G是中点，ACG与OCD均为ACD面积的一半，减去

公共部分AOF的面积，得SADFS四边形OCGF，②错误；全等三角形有

BOC≌BOA≌DOA≌DOC≌ADG≌ECG，共6个，③正确；由ADCE，ADCE得平行四边形ACED，

结合ADCDCE，证其为菱形，④正确．

【详解】解：四边形ABCD是菱形，BAD120，

ABBCCDDA，ACBD，AOOC，BOOD，ADC60，AD∥BC，

又CEBC，

CEAD，且ADCE．

判断①BC2OG是否正确：

AD∥CE，

DAGCEG，ADGECG，

又ADCE，

ADG≌ECG(ASA)，

DGGC（G为CD中点）

O为AC中点，

OG是ACD中位线，

1

OGAD，

2

又ADBC，

BC2OG，①正确，符合题意；

判断②SADFS四边形OCGF是否正确：

O为AC中点，

1

SS，

OCD2ACD

G为CD中点，

1

SS，

ACG2ACD

SOCDSACG，

又SOCDSADFSAOF,SACGS四边形OCGFSAOF，

SADFS四边形OCGF，②错误，不符合题意；

判断③图中有6个三角形与BOC是否全等：

BOC为直角三角形（ACBD），设直角边OC1、BO3，斜边BC2．

菱形对角线分菱形为4个全等直角三角形：BOC≌BOA≌DOA≌DOC（SAS，AOOC，BODO，

直角相等）．

由ADG≌ECG，且AD2、DG1、AG3（勾股定理逆定理得直角），

故ADG≌ECG≌BOC（SSS）．共6个全等三角形，③正确，符合题意；

判断④以A，C，E，D为顶点的四边形是否为菱形：

ADCE且ADCE，

四边形ACED是平行四边形．

又ACD为等边三角形，

ADCDAC，且CDCE（CEBCCD），故ADCE，

ADCE，

四边形ACED为平行四边形，

ADAC，

平行四边形ACED是菱形，④正确，符合题意；

综上，①③④正确，②错误．

故选：D．

方法透视

平行四边形多结论：结合对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，判断线段相等、角度

考向1.

关系或面积关系的多个结论正误。

解读

2.矩形菱形正方形：利用各自特有性质（矩形对角线相等、菱形对角线垂直、正方形四边相等且

对角线垂直相等）分析复杂结论。

3.中点与特殊线：常结合中点、中位线、对角线交点，综合全等相似知识判断多个结论的逻辑关

系。

标图推导：将已知条件标在图上，从每个结论反推所需条件，逐一验证是否成立。

方法1.

2.性质优先用：优先运用特殊四边形的特有性质（如菱形对角线垂直）快速判断相关结论。

技能

3.举反例排除：对不确定结论，尝试构造反例或特殊情况，快速排除明显错误选项。

变式演练

【变式01】（2024·四川眉山·一模）如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，AB32．Rt△BEF中，

BEF90，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BGDF，

1

tanABG．下列四个结论：

3

①FDMAGB；

②CD3MC；

③DEDMDCCM；

④△OEM的周长是335．

其中正确结论的为（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

【答案】D

【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造

全等三角形．连接BD，过点F作FHCD于点H，利用全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质

可得结论．

【详解】解：ABCD是正方形，

FDMEDG90，

BEF90，

EGDEDG90，

EGDFDM，

EGDAGB，

FDMAGB，故①正确；

如图，连接BD，过点F作FHCD于点H，

AG1

AB32，tanABG，

AB3

AG2，

DGABAG22，

BGAG2AB225，

在ABG和HFD中，

AGBHDF

AFHD，

BGDF

ABGHFD，

AGDH，ABHF，

在正方形ABCD中，ABBCCDAD，C90，

11

DHAGABCD，BCHF，

33

在BCM和△FHM中，

CFHM90

BMCFMH，

BCFH

BCMFHM(AAS)，

1

CMHMDHCDAG，即CD3MC，故②正确；

3

ADEG90，AGBEGD，

AGB∽EGD，

ABBG3225

，即，

DEDGDE22

65

DE，

5

1

CMCD2，

3

2

DMCD22，

3

651210

DEDM22，DCCM3226，

55

DEDMDCCM，故③错误；

在BCM和△BAG中，

BCAB

CA，

CMAG

BCMBAG(SAS)，

BMBG25，

BCMFHM，

BMFM，

M是BF的中点，

O是BD的中点，BED是直角三角形，

11

OMDFDG5，EMBM25，

22

BED是直角三角形，O为BD的中点，

1

EOBD3，

2

△OEM的周长EOOMEM3525335，故④正确．

故选：D．

【变式02】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6，

DAC60，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点

E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①BDEEFC；②EDEC；③ADFECF；④点

E运动的路程是23；其中正确结论的序号为（）

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6，DAC60，

点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分

别位于DF两侧，下列结论：①BDEEFC；②EDEC；③ADFECF；④点E运

A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④

【答案】D

【分析】①根据DAC60，ODOAOCOB，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，

得EDFEFDDEF60，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，

再证明VODE≌VOCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至

E，使OEOD，连接DE，通过△DAF≌△DOE，DOE60，可分析得出点F在线段AO上从点A

至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E，从而得出结论④正确．

【详解】解：①∵矩形ABCD，

∴ODOAOCOB，

∵DAC60，

∴△OAD为等边三角形，

∴DOADAOODA60，ADOD，

∵△DFE为等边三角形，

∴EDFEFDDEF60，DFDE，

∵BDEFDOADFFDO60，

∴BDEADF，

∵ADFAFDDAF180，

∴ADFAFD180DAF120，

∵EFCAFDDFE180，

∴EFCAFD180DFE120，

∴ADFEFC，

∴BDEEFC，故结论①正确；

②如图，连接OE，

在△DAF和DOE中，

ADOD

ADFODE，

DFDE

∴DAF≌DOESAS，

∴DOEDAF60，

∵COD180AOD120，

∴COE1206060，

∴COEDOE，

在ODE和△OCE中，

ODOC

DOECOE，

OEOE

∴ODE≌OCESAS，

∴EDEC，OCEODE，故结论②正确；

③∵ODEADF，

∴ADFOCE，即ADFECF，故结论③正确；

④如图，延长OE至E，使OEOD，连接DE，

∵△DAF≌△DOE，DOE60，

∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E，

∵矩形ABCD，AB6，ADB60，

AB6

∴AD23，

tan603

∴OEODAD23，

∴点E运动的路程是23，故结论④正确．

故选：D．

典例引领

【典例01】（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，ADE60，若AB12，

CD4，则CE的长为____．

8

【答案】

3

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质

内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得CB60，BCAB12，再运用三角形外角性质，

ABBD

得BADCDE，证明△BAD∽△CDE，再把数值代入计算，即可作答．

DCCE

【详解】解：∵ABC是等边三角形，

∴CB60，BCAB12，

∵CD4，

∴BD1248，

∵ADE60，且BADBADCADECDE，

∴BAD6060CDE，

∴BADCDE，

则△BAD∽△CDE，

ABBD

∴，

DCCE

128

则，

4CE

8

∴CE，

3

8

故答案为：．

3

4

【典例02】（2026·上海闵行·一模）如图，在ABC中，ABAC，AC10，cosB，点D是边BC上的

5

一点，连接AD，如果ADB90BAD，那么AD___________．

【答案】35

【分析】如图，过点A作AHBC于点H，过点D作DJAB于点J．解直角三角形求出BH，AH，再

利用勾股定理求出DH后，进一步利用勾股定理求出AD即可．

【详解】解：如图，过点A作AHBC于点H，过点D作DJAB于点J．

ABAC10，AHBC，

BHCH，

BH4

cosB，

AB5

BHCH8，

AHAB2BH2102826，

ADB90BAD90DAH，

BADDAH，

DJAB，DHAH，

DJDH，

111

ABH的面积AHBHABDJAHDH，

222

68DH106，

DH3，

ADAH2DH2623235．

故答案为：35．

方法透视

等腰三角形：利用等边对等角、三线合一性质，结合已知角或边求未知角或线段长。

考向1.

2.直角三角形：运用勾股定理、30°角对边等于斜边一半、斜边中线性质求边长或角度。

解读

3.等边三角形：利用三边相等、三角均为60°性质，结合全等或相似求线段长或角度。

性质优先用：根据三角形类型优先选用特有性质（如等腰三线合一、直角勾股定理）简化计算。

方法1.

2.方程思想：设未知数表示相关线段，利用勾股定理或相似比列方程求解。

技能

3.转化角关系：通过内角和、外角定理或平行线性质，将所求角转化到已知角关系中。

变式演练

【变式01】（2026·四川雅安·二模）如图，在Rt△ABC中，C90，AD是ABC的一条角平分线，E为

AD中点，连接BE．若BEBC,CD2，则BD_____．

【答案】117

2

【分析】连接CE，过点E作EFBC于点F，设BDx，通过证明ECD∽BCE，得到对应线段成比例，

x1x2

即CE22x4，通过证明ABC∽BEF，得到对应线段成比例，即EF2，根据勾股定理列

2

方程，得到x的值，即BD的长度．

【详解】解：如图，连接CE，过点E作EFBC于点F，

设BDx，则BCBDCDx+2，

ACB90，E为AD的中点，

1

CEAEDEAD，

2

CAEACE,ECDEDC，

CED2CAD，

BEBC，

ECDBEC，

BECEDC，

又ECDBCE，

△ECD∽△BCE，

CECD

,CEDCBE，

BCCE

CE2CDBC2x22x4，

AD平分CAB，

CAB2CAD，

CABCED，

CABCBE，

ACBBFE90，

△ABC∽△BEF，

ACBC

，

BFEF

CEDE,EFBC，

1

CFDFCD1，

2

又AEDE，

AC2EF，

2EFx2

，

x1EF

x1x2

EF2，

2

在RtECF中，EF2CE2CF2，

x1x2117117

2x412，解得x，x（小于0，舍去），

21222

117

BD．

2

故答案为：117．

2

【变式02】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在ABC中，ACB90，BC2，AC4，点D、E

分别在AB、AC上，AD5AE，连接DE，将ADE沿DE翻折，得到FDE，FD交AC于点G，当

DGDB时，折痕DE的长度为___________．

【答案】42

3

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角

形的判定和性质．过点D作DHAC于点H，设AEx，则AD5x，根据ADH∽ABC，可得AH2DH，

从而得到△DEH为等腰直角三角形，进而得到DE2x，DEH45，AED135由折叠的性质得：

5

EFAEDH，AEDDEF135，DFAD5x，证明EFG≌HDGAAS，可得DGx，

2

从而得到BDABAD255x，再由DBDG，可求出x的值，即可求解．

【详解】解：过点D作DHAC于点H，

设AEx，则AD5x，

∵AHDACB90,AA，

∴ADH∽ABC，

DHAH

∴，

BCAC

∵BC2，AC4，

DHAH

∴，

24

DH1

∴，即AH2DH，

AH2

∴AD5DH，

∴DHx,AH2x，

∴EHxDHAE，

∴△DEH为等腰直角三角形，

∴DE2x，DEH45，

∴AED135

由折叠的性质得：EFAEDH，AEDDEF135，DFAD5x，

∴FEGDEFDEH90，

∴FEGDHG，

∵EGFDGH,EFDH，

∴EFG≌HDGAAS，

∴DGFG，

5

∴DGx，

2

∵ABAC2BC225，

∴BDABAD255x，

∵DBDG，

5

∴255xx，

2

4

解得：x，

3

42

∴DE2x．

3

故答案为：42

3

典例引领

【典例01】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB3,AD4，E为CD延长线上一点，

连接BE交AC于点F．连接DF．若DE3，则DF的长为_____．

【答案】73

3

【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质等知识．

FKAD4FK2

过点F作FKCD于点K，求出tanACD，CECDDE6，得到tanBEC，

CKCD3EK3

28

设FK4a,则EK6a,CK3a,由CKEKCE求得a，则FK,CK2，得到DKCDCK1，

33

在Rt△DFK中利用勾股定理即可求出DF的长．

【详解】解：过点F作FKCD于点K，

∴FKCFKE90，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CDAB3,BCAD4，ADCBCD90，

FKAD4

∴tanACD，

CKCD3

∵DE3，

∴CECDDE6，

FKBC42

∴tanBEC，

EKCE63

设FK4a,则EK6a,CK3a,

∵CKEKCE，

∴3a6a6，

2

解得a，

3

8

∴FK,CK2，

3

∴DKCDCK1，

在Rt△DFK中，DK2FK2DF2，

2

222873

则DFDKFK1．

33

故答案为：73

3

【典例02】（2026·上海闵行·一模）如图，矩形ABCD中，连接BD，点E是BC的中点，过点E作EF∥BD

交CD于点F，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在平面内点G处，如果点G恰在AE上，那么BG:AE的值

是___________．

【答案】23

9

CFCE

【分析】连接CG交EF于点M，设CD2a，BC2b，BD2c，根据平行线性质得1，得

DFBE

CFDFa，根据矩形性质，得BDAB2AD22a2b2,AEAB2BE24a2b2，由折叠性质，

AGDGAD

得EF垂直平分CG,证明点G在BD上，得△ADG∽△EBG，得2，可得AE3b，得

EGBGBE

23

4a2b23b，解得a2b，得BD2a2b223b,又得BD3BG，得3BG23b，得BGb，

3

23

b

即得BG23．

3

AE3b9

【详解】解：连接CG交EF于点M，

设CD2a，BC2b，BD2c，

∵点E是BC的中点，

∴BECEb，

∵过点E作EF∥BD交CD于点F，

CFCE

∴1，

DFBE

∴CFDFa，

∵矩形ABCD中，ABCD2a，ADBC2b，ADBC，BADABCBCD90，

∴BDAB2AD22a2b2,AEAB2BE24a2b2，

由折叠知，EF垂直平分CG，

11

∴SCMEFCFCE，

CEF22

ab

∴CM，

c

2ab

∴CG2CM，

c

设△BCD的边BD上的高为h，

11

则SBDhCDBC，

BCD22

2ab

∴h，

c

∴CGh，

∴点G在BD上，

ADBC，

△ADG∽△EBG，

AGDGAD

∴2，

EGBGBE

∴AG2EG2b，

∴AE3b，

∴4a2b23b，

∴4a2b29b2，

解得a2b（b0），

∴BD2a2b223b，

∵DG2BG，

∴BD3BG，

∴3BG23b，

23

∴BGb，

3

23

b

∴BG23．

3

AE3b9

方法透视

对角线性质：利用矩形对角线相等且互相平分，结合勾股定理求对角线长或分线段长。

考向1.

2.折叠问题：常考矩形折叠，利用折痕垂直平分、对应边相等，求折痕长或折叠后角度。

解读

3.中点与面积：结合中点、中位线性质，求线段长或面积，常与相似三角形综合应用。

勾股定理优先：矩形中出现直角，优先用勾股定理求边长或对角线长，设未知数列方程。

方法1.

2.折叠找等量：折叠问题中折痕垂直平分对应点连线，对应边相等，据此列方程求解。

技能

3.相似三角形：矩形中常出现“A”字或“X”字形相似，利用相似比求线段长或角度。

变式演练

【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AD3，AB2，E为CD的中点，连接AE，

过点A作AFAE，与CB延长线交于点F．

AB

（1）的值为________．

BF

（2）已知BC边上有一点G，连接AG．若AG平分FAE，则AG的长度为________．

【答案】35

【分析】（1）证明ADE∽ABF即可解答；

（2）过点G作GHAF于点H，证明△ABF∽△GHF，再推出GAEFAG45，可得

14210

AFAHHFAHAHAH，解得AH即可解答．

333

【详解】（1）四边形ABCD为矩形，

BADADEABC90，DCAB2，

AFAE，

FAEBAD90，

FAEBAEBADBAE，即FABEAD，

ABFADE90，

AFB∽AED，

ABAD

，

FBDE

E为CD的中点，

1

DEDC1，

2

ABAD

3；

FBDE

（2）如图，过点G作GHAF于点H．

ABAD

3，

FBDE

2210

FB，则AFAB2FB2，

33

FF，ABFGHF90，

△ABF∽△GHF，

ABGH

3．

BFHF

AFAE，AG平分FAE，

GAEFAG45，

HGA45，

14210

AHGH，即AFAHHFAHAHAH，

333

10

解得AH，

2

AG2AH5．

【变式02】（2025·安徽亳州·二模）如图，矩形ABCD，AB12，AD25，点H为AB上一点，将BCH

沿着CH翻折至△GCH，AD与CG交于点E，连接BE交HC于点F，AE9．则sinCED_______；BH

的长为_______．

3251

【答案】/0.6/8

533

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，折叠，构造

辅助线，利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理求出CE，进而根据正弦

定义求出sinCED；延长BC至点J，使得CJCE20，连接EJ交CD于点T，证明1J，根据1,J

的正切列方程求出BH即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴DABC90，CDAB12，

∵AE9，AD25，

∴DEADAE16，

∴CECD2DE220，

CD123

∴sinCED；

CE205

延长BC至点J，使得CJCE20，连接EJ交CD于点T，

∴3J，

由折叠得12，

∵BCGJ3，BCG12，

∴123J，

∴1J，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，BCAD25，

∴△EDT∽△JCT，

EDDT

∴，

CJCT

DT164

∴，

CT205

5520

∴CTDC12，

993

∵1J，

∴tan1tanJ，

BHCT

∴，

BCCJ

20

∴BH，

3

2520

25

∴BH，

3

3

故答案为：；25．

53

典例引领

【典例01】（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形ABCD中，BCD60，连接AC，点E,F分别是AC,BC

上的点，且EF垂直平分BC，若CE2cm，则菱形ABCD的面积等于__________cm2．

【答案】63

【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接BD

交AC于点O，根据菱形的性质即可得到BCD是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到BECE2cm，

1

进而根据30的直角三角形的性质和勾股定理求出AC和BD的长，利用S菱形ACBD解答即可．

ABCD2

【详解】解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，BCD60，

∴BACBCA30，BD2BO，BOE90，BCCD，AC2OC，

∴BCD是等边三角形，

∴BDBC，DBC60，

又∵EF垂直平分BC，

∴BECE2cm，

∴EF1cm，EBCACB30，

∴OBE30，

∴OE1cm，OBBE2OE23cm，

∴AC2OC2OEEC6cm，BD2OB23cm，

112

∴S菱形ACBD6