2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题04 三角形与四边形（专题）（原卷版）

专题04三角形与四边形

目录

第一部分风向速递洞察考向，感知前沿

新情境新设问新考法

第二部分分层突破固本培优，精准提分

一阶·题型靶向练

题型1：特殊三角形性质与判定

题型2：三角形全等证明与计算

题型3：三角形相似判定与比例计算

题型4：解直角三角形（三角函数综合）

题型5：三角形多结论判断题

题型6：三角形线段/周长/面积最值问题

题型7：三角形新定义几何问题

题型8：三角形尺规作图与计算证明

题型9：三角形动点与存在性问题

题型10：三角形手拉手模型

题型11：三角形与圆综合

题型12：平行四边形的判定与性质综合

题型13：矩形折叠与计算

题型14：菱形性质与面积、对角线综合

题型15：正方形旋转、全等、相似综合

题型16：特殊四边形的多结论判断

题型17：四边形中的动点问题

题型18：四边形线段、周长、面积最值

题型19：中点四边形模型应用

题型20：四边形与坐标系综合

题型21：特殊四边形存在性问题

题型22：四边形与三角形综合证明

题型23：四边形新定义与阅读理解题型

二阶·素养进阶练

第三部分真题验证对标中考，感悟考法

【新情境凸透镜成像规律问题】（考查相似三角形、全等三角形判定与性质，及跨学科数学建模能力）

1．（2025·广东广州·模拟预测）综合与实践

[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘

[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．

[项目素材]

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折

射后光线经过焦点．

素材二：设物距为u，像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u，像距v和焦距f之间在成

实像时存在着一定的数量关系．

【项目任务】根据项目素材解决问题：

(1)小明取物距u1.5f，然后画出光路图（如图①，其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥

主光轴（即图中的点斜线），折射光线CA经过焦点F,AB为AB所成的像．根据光路图①可知，当u1.5f

时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；

(2)小明取物距u2f．当u2f时，v2f，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三

角形全等的知识解释；

(3)小明取物距uf，探究一般情况下物距u，像距v和焦距f之间在成实像时存在的数量关系．如图③，

AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥主光轴，折射光线CA经过焦点F,AB为AB所成的

111

像，AB主光轴，AB主光轴．焦距OFOFf，物距OBACu，像距OBv．求证：；

uvf

【新设问抛物线与菱形存在性问题】（考查抛物线性质、菱形判定、坐标与图形综合，及分类讨论思想）

1

2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线yx22x6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），

2

与y轴交于点C，连接AC，BC．

(1)点B的坐标是，点C的坐标是．

(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l交线段AC于点D．

①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E

的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMNS△AOC时，请求出DM的长．

【新考法矩形轨迹探究最值问题】（考查矩形性质、相似三角形、轴对称性质，及轨迹分析与最值求解）

3．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，AB2，AD22，点E在边AD上，

点F在射线DC上，且DF2AE，连结BE、AF交于点M，若点P是AD边上的一个动点，连结PC、PM，

试探究PCPM的最小值．

【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线AD的对称点C，连结PC、PM，由对称性可知PCPC，

利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当C、P、M三点共线时，PCPMPCPMCM，进而

问题转化为探究CM的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题．

其次，小明发现可通过证明△DAF∽△ABE，得出AF⊥BE，进而可知AMB90，即可确定点M的轨

迹．

以下是证明AMB90的部分过程

证明：在矩形ABCD中，BADADC90

AB2，AD22

AD

2

AB

证明过程缺

失

请你补全上述缺失的证明过程．

【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，

使PCPM的值最小，此时PCPM的最小值为________．（保留作图痕迹）

一阶·题型靶向练

题型01特殊三角形性质与判定

1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在ABC中，ABAC5，BC6，将ABC绕点A按逆时针方向旋转，

得到ADE，旋转角为0180，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．如图所示，设边AD

与BC交于点M，边DE分别交BC,AC于点F,N．

(1)求证：AMAN；

(2)当△MDF为等腰三角形时，请直接写出DF的长；

2．（2026·江苏南通·一模）综合与实践

问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段

之间的数量关系．

探究发现：如图1，在ABC中，ACBC，P是AB边上一点，过点P作PDAC于D，PEBC于E，

过点A作AFBC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABCS△APC，则AF+；

实践应用：如图2，ABC是等边三角形，AC3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆

时针旋转60得CF，连结GF交BC于P，过点P作PDGC于D，PECF于E，当AG1时，求PDPE

的值；

拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，ACBE，P是AB上一点，PDAC，垂

足为D，AB10，AD2，BD45，求S△PACS△PBE的值．

11

3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）（1）已知，均为锐角，tan，tan，求的

23

度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出BAD和CAD（点A，B，C，D都在格点上），

请你按照这个思路求的度数．

3

（2）已知，均为锐角，tan3，tan，则________；

3

11

（3）已知，，均为锐角，tan，tan，，请在图2中自行构图求tan

37

的值．

题型02三角形全等证明与计算

4．（2025·广东惠州·一模）已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EFAE交正方形的外角

DCL的平分线于点F．

(1)【动手操作】如图①，在BA上截取BQBE，连接EQ，根据题意在图中画出图形，图中AQE_____

度．

(2)【深入探究】E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FGAE交直线CD于点G，以CG为斜边

向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．试判断四边形AEFG的形状，并证明．

(3)【拓展应用】E是射线BC上的一个动点，过点F作FGAE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等

腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，连接AG．若AB5，CE2，求线段AG的长．

5．（2026·浙江·模拟预测）正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AGEB交EB于

G，AG交BD于F．

(1)说明OEOF的道理；

(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AGEB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件

不变，如图2，则结论：“OEOF”还成立吗？请说明理由．

6．（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E，F分别在AD，CD边

上，EBF45．为了求出DEF的周长．小南同学的探究方法是：

如图2，延长EA到H，使AHCF，连接BH，先证ABH≌CBF，再证EBH≌EBF，得EFEH，

从而得到DEF的周长cm；

（2）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100，BADC90．E，F分别是线段BC，CD

上的点．且EAF50．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；

（3）如图4，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E，F分别是线段BC，CD上的点，且

2EAFBAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（4）若在四边形ABCD中，ABAD，BD180，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且

2EAFBAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．

题型03三角形相似判定与比例计算

7．（2026·湖南衡阳·一模）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角

线BD上一点，连接BE,AF交于点O，且ABEDAF．

【模型建立】（1）求证：AF⊥BE；

1

【模型应用】（2）若AB2,AD3,DFBF，求DE的长；

2

1AF

【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

8．（2026·湖南·模拟预测）如图，在ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，AN，MN，

满足AMBANMCNM．

(1)若射线AB，NM交于点P，求证：△ABM∽△AMP；

(2)若AB3，BC4，CN2，求AN的长；

1

(3)若ANABCN，求点M在边BC上的位置．

2

9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形ABCD，连接AC，作BAC的角平分线交BC于E，过E作

EFAE，分别交线段AC、CD于点M、F．

(1)求证：△ABE∽△ECF；

CF

(2)当MFCF时，△MFC是___________三角形，求的值；

DF

MC1AD

(3)当时，求的值．（请用n表示）．

MAnAB

题型04解直角三角形（三角函数综合）

10．（2026·陕西西安·二模）如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯AB

和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面EF，且它们之间的水平距离BD2.5m，折臂底座高

CD1m，上折臂PA与下折臂PC的夹角APC90，下折臂PC2.5m，下折臂端点P到地面EF的距离

是3m．求路灯AB的高．

11．（2026·重庆·模拟预测）期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平

面内，小金家B位于小月家A北偏西60方向，购物中心D在小月家南偏西30方向30千米处，地铁站C

在购物中心D北偏西30方向．由于BD之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘

坐地铁前往购物中心D．（参考数据：21.41,31.73,62.45）

(1)求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；

(2)小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月

发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿AD方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由

于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，

只有当小金和小月直线距离不超过55千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私

家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方

可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）

12．（2026·山东·一模）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如

下：

(1)探究原理：

制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆OP、量角器90刻

度线OC与铅垂线OG相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线

（如图（2）），此时目标Q的仰角QOKGOC，请说明这两个角相等．

(2)实地测量：

①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37，测得旗杆

底部B处的俯角为22，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12米．请用小红

所测得的数据求旗杆AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，

sin220.37，cos220.93，tan220.40）

②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为

12tan米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m，请你帮小明分析

一下原因．

题型05三角形多结论判断题

13．（2025·北京·模拟预测）如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACBC,CECD，ABC的顶

点A在ECD的斜边DE上，连接BD．给出下面四个结论：

①2CE2DE2；②ACEBCD；③ADBD；④AE2AD22AC2．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④

14．（2025·北京·模拟预测）已知ABC的两条中线AD与BE交于点G，连接CG．若BGCG，BC2，

下列四个结论正确的是（）

①AG2；②AC的最小值是22；③ABC的面积最大值是3；④AC2AB220；

A．①②B．①③C．①②④D．①③④

15．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在Rt△ABC中，A90,ABAC，点D,E,F分别在AB,AC,BC

上，且均不与ABC各顶点重合，FDE90,DFDE,BFD,CEF的面积分别为S1,S2．给出下面三个结

论：

①CE2AD；②AEDEFC；③S22S1．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

题型06三角形线段/周长/面积最值问题

16．（2025·河南南阳·二模）如图，在Rt△ABC中，AB8，BC6，D是ACB平分线上的任意一点，

连接AD．把AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接DE，CE，则DE的最小值为_______，CE的最小值

为_______．

17．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，E是线段AB上一点，ADE和BCE是位于直线AB同侧的两个

等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB4，则下列结论正．确．的．有．_．_．_．_．_．_．．（填序号）

①PAPB的最小值为33；②PEPF的最小值为23；③CDE周长的最小值为6；④四边形ABCD

面积的最小值为33．

题型07三角形新定义几何问题

18．（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足290，那么我们称这样的

三角形为“类直角三角形”．

尝试运用

(1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为110，请直接写出它的两个锐角的度数；

(2)如图1，在钝角三角形ABC中，ABC90,AB5,BC35,ABC的面积为15，求证：ABC是“类

直角三角形”．

(3)如图2，在Rt△ABC中，C90,BC3,AB5，在边AC上是否存在点D，使得△ABD是“类直角

三角形”？若存在，请求出CD的长度；若不存在，请说明理由．

19．（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于36的等腰三角形为豫式三角形．如图，ABC中，ABAC

且A36，则ABC为豫式三角形．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作线段AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)若（1）中所作的垂直平分线与边AC交于点D，连接BD．求证：△BCD是豫式三角形．

20．（2025·上海金山·模拟预测）如图1，我们定义：在ABC中，ABBC，ABC90的三角形成为“对

等三角形”，在“对等三角形”的边AC上，有一动点D，使“对等三角形”分为ADE和四边形DEBC．将ADE

沿着直线DE翻折，记A的对应点为A．

已知ABC为“对等三角形”．

(1)如图2，当点A与点B重合时，求证：BC2ADAC

CF

(2)当点A在线段AB的延长线上时，连接AC，BC交AD于点F，直线BC经过△ACD的重心，求的

AA

值；

题型08三角形尺规作图与计算证明

21．（2026·福建漳州·一模）如图，在直角三角形ABC中，ABC90．

(1)先作ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作O（尺规作图，保留作图

痕迹，不写作法）；

1

(2)若BC3，sinA，求AOC的面积．

2

22．（2026·山东滨州·一模）如图，直线AB，CD被BC所截，AB∥CD．

(1)请在图中作出O，使其与AB，BC，CD都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

(2)在（1）题所作的图中，若O分别与AB，BC，CD相切于点E，F，G，O的直径为6cm，设BEx，

CGy，求y与x的函数关系式．

23．（2026·上海虹口·一模）【模型探究】

如图，已知M、N分别是AOB边OA、OB上的点，P是AOB的平分线上一点，满足

1

MPNAOB180．求证：OP2OMON．

2

【模型应用】

（1）已知M、N分别是AOB边OA、OB上的点，P是AOB的平分线上一点，如果AOB60，

OM6,ON4,OP26，那么MPN的度数为_____________；

（2）如图，已知AOB90，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在AOB内部

求作一个点P，满足MPN135且PM2PN．

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

题型09三角形动点与存在性问题

24．（2025·山西太原·一模）综合与探究

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，

已知ABC中，BAC90，ABAC4．点D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AB绕点D逆

时针旋转90，得到线段EF（点E，F分别是A，B的对应点）．

特例分析：（1）创思小组先研究了点D与点C重合时的情形，如图2．连接AE，CE，CF．请判断此时线

段AE与CF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点D的位置，提出了如下问题，请你解答：

①如图3，当点D在线段BC上，连接AE，CF，猜想线段AE与CF的数量关系和位置关系，说明理由；

②在点D沿射线BC方向运动过程中，是否存在某一时刻使BED是以BD为腰的等腰三角形？若存在，请

直接写出相应的B，D两点间的距离；若不存在，说明理由．

25．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(2,2)，点M是反比例函

2

数y(x0)的图象上一点，点N是一次函数yx2的图象上一点．

x

(1)连接OA，与一次函数yx2的图象相交于点B．

i）求点B的坐标及AB的长；

AM

ii）连接AM,MN，若点M在直线OA的上方，当四边形AMNB是矩形时，求的值；

MN

(2)连接AM,MN,AN，是否存在点N使得AMN为等边三角形？若存在，求出满足条件的点N的坐标；若

不存在，请说明理由．

26．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线yx2bxc经过点A3,0，B1,0，交y轴于点C，点P是

直线AC上方抛物线上一点，其横坐标为t，连接BP交直线AC于点D．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)在抛物线上是否存在点P，使PAC∽BCO，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

PD

(3)点Q是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点Q使得BPQ是直角三角形，若存在，求出点Q坐

BD

标；若不存在，请说明理由．

题型10三角形手拉手模型

27．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶

角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉

手全等模型．

如图①，ABC和ADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，连接BD，CE．

请找出图中的一对全等三角形：________．

【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在ABC中，ABC60，BC4，AB3，

以点A为顶点，以AC为腰作等腰三角形DAC，若DAC120

求BD的长．

某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出

线段BD长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：

如图③，过点A在AB左侧作BAE120，且满足AEAB，连接EC、EB，

则EABDAC，所以CAEDAB．又ACADACE≌ADBECBD

过点A作AF⊥BE于点F．又

AEABEFBFFABFAE60FBA30……

请将上述过程补充完整．

2

【模型应用】如图④，ABC中，cosCAB，分别以AB和BC为直角边作等腰直角三角形ABE和等

2

AD

腰直角三角形CBD，连接AD，ACD112.5，则________．

AC

28．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：

ABAD

【新知定义】如图1，若BACDAE，，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的ABC和ADE

ACAE

互为“手拉手等形三角形”．

【新知探究】（1）如图2，若BAC90，B30，BC4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧

作ADE，且ABC和ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为______；

（2）在图1中，连接BD，CE，求证：ABD∽ACE；

【变式应用】（3）如图3，在ABC中，ABAC5，BC6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧

作ADE，BACDAE，SABCSADE，连接CE，求CE的长；

1

【综合应用】（4）如图4，若BAC90，B30，AC1，若D点在线段BC上运动（BDBC，

2

且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作ADE，且ABC和ADE互为“手拉手等形三角形”，

连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度．

29．（2024·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】

（1）如图1，在等边ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等

边AMN，连接CN，求证：BMCN．

【模型应用】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件

不变，（1）中结论BMCN还成立吗？请说明理由．

【模型迁移】（3）如图3，在等腰ABC中，BABC，AB6，AC4，点M是BC上的任意一点（不

含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMNABC．连结CN．试探究BM与CN

的数量关系，并说明理由．

题型11三角形与圆综合

30．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】

婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方

面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称

为“婆氏四边形”．

【理解运用】

（1）如图1，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC、BD、OA、OB、OC、OD，AC与BD交于

点E，已知BOCAOD180．试说明：四边形ABCD是“婆氏四边形”；

（2）如图2，在Rt△ABC中，BAC90，以AB为弦的O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、

BD．其中，AB6,BC10，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；

【问题拓展】（3）如图3，某公园欲规划一个圆形景观区O，并在其内部设计一个四边形ABCD区域，

作为花海，其中点A、B、C、D均在O上，AC、BD为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，

四边形ABCD是“婆氏四边形”，且AD与BC的长度之和为400米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积

尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存

在，请说明理由．

31．（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．

【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形(或半圆形)纸片，及一张宽2cm且足够长的矩形纸带(如

图1)设计了一系列任务，探索完成任务．

【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，G．现测得AG1cm，求

出该圆的半径．

【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使AM2AB，作MNBC于N，连接

AN恰过圆心O，交圆于点Q，连接PN，量得12．

①判断直线PN与O的位置关系，并说明理由；

②直接写出O的半径为______cm．

32．（2025·浙江宁波·二模）已知△DBC内接于圆O，作外角EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，

AC．

(1)如图1，求证：ABC为等腰三角形．

(2)如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB5，DF3，求BC．

BC10

(3)如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且，AB46，求圆O的半径．

BD21

题型12平行四边形的判定与性质综合

33．（2025·安徽·一模）在四边形ABCD中，AD∥BC，BCCD，点E在边AD上，连接EB，EC，EC交

BD于点O．

(1)若ECBD，如图1．求证：四边形BCDE是菱形；

(2)如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点．

①求证：AECD；

②若AB6，BC8，AD10，求OE，OC的长．

34．（2025·湖北·模拟预测）已知：如图，BDBC2AC，DBCACB，CD交线段AB于点E．

(1)如图①，当ACB90时．则线段DE、CE之间的数量关系为______；

(2)如图②，当ACB120°时．试探究DE与CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)如明③，在（2）的条件下，点F是边BC的中点，连接DF，DF与AB交于点G，试探究DG与FG之

间的数量关系．

35．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面的示

意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角

ACD20．

（1）要使身高1.8m的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？

【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、

FC段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．AE段和FC段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过1:2，商

场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息．

（2）求出平台EF的最大长度（结果保留小数点后一位）．

（参考数据：sin20取0.34，cos20取0.94，tan20取0.36）

题型13矩形折叠与计算

36．（2025·安徽亳州·二模）如图，矩形ABCD，AB12，AD25，点H为AB上一点，将BCH沿着CH

翻折至△GCH，AD与CG交于点E，连接BE交HC于点F，AE9．则sinCED_______；BH的长为

_______．

37．（2025·新疆·模拟预测）如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将△AED沿ED翻折，使得点A与点

G重合，连接AG交DE于点F．

(1)求证：AFFG．

(2)如图2，若点G落在BC边上，且EF1,DG6，求BE的长．

(3)如图3，点P为BG中点，连接AP，AD6,AB4，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值．

38．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形AOBC中，OB4，OA1．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，

k

建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数yk0

x

的图象与边AC交于点E；

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

(2)连接EF，求EFC的正切值；

(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

题型14菱形性质与面积、对角线综合

39．（2025·江苏泰州·一模）如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的

延长线于点F，连接AF．

(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；

(2)若ACBC，AB5，BC4，求四边形ADCF的面积．

40．（2025·广东深圳·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，

BC于点E，F，垂足为O．

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)在BC的延长线上取一点G，使CGOC，连接OG．若F为BC的中点，且G15，AB8，求FOG

的面积．

k4

41．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数yk0的图象与正比例函数yx的图象相交于点

x3

Aa,2,D．

(1)点D的坐标为________；

k4

(2)不等式x的解集是________；

x3

(3)已知AB∥x轴，以AB,AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．

题型15正方形旋转、全等、相似综合

42．（2025·河南濮阳·一模）在矩形ABCD中，E是边AB上一点，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形EBFG，

ABBE

使得k，连接DG．

ADEG

AE

【特例发现】（1）如图1，当k1时，________；

DG

3AE

【类比探究】（2）如图2，将矩形EBFG绕点B顺时针旋转(030)，连接AE，当k时，求

3DG

的值；

3

【拓展运用】（3）如图3，矩形EBFG在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线．若k，

4

BE3，请直接写出AE的长．

43．（2025·江西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的一个动点，以D为直角顶点，向

DFAB

右作Rt△DEF，使得EDF90，且，连接CF．

DEBC

【特例感知】(1)如图(1)，若ABBC，则DCF，ECF是三角形(填“直角”，“等腰”或“等腰直角”)．

【类比迁移】(2)如图(2)，猜想EC，CF，EF的数量关系，并说明理由．

【拓展应用】(3)若AB3，AD4．

①求EFC的最大面积；

②当DEF面积最小时，求AE的长．

44．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出：

(1)如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，连接AE、EF、AF，当EAF45，请直

接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系______．

(2)如图2，在现代化智能农场中，有一四边形试验田ABCD，AD∥BC，ADC90，BCCD40m，

AD30m．为实现精准施肥，走走决定在CD边上设置施肥装置E，连接BE，在点C关于BE的对称点F

处设置一智能控制中心．连接EF并延长与AD交于M，连接CF并延长与AD交于G，其中ME、EB为肥料

输送管道，CG为输水管道．为避免干扰其他区域，点M、G均在线段AD上．因农场的小型机器人在运输

时需穿行边AD，为确保安全、顺畅通行，走走现需了解管道间距MG的最大值．请问MG是否存在最大值？

若不存在，请说明理由；若存在，请帮走走求出MG的最大值．

题型16特殊四边形的多结论判断

1

45．（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD．给

4

出下面四个结论：①AE平分BAF；②AE2EF2AF2；③ABCFAF；

④ABBEAF．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④

1

46．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AD6,E为AD边上一点，DEAD,F为AB

3

延长线上一点，BFDE，连接EF，交对角线BD于点O．以下结论：①△CEF是等腰三角形；

②△OED∽△OFB；③OD2OB；⑤OC25．其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

47．（2025·四川眉山·一模）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，

点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连接AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰

14

三角形；②四边形AECF是平行四边形③APAF；④tanDQC．其中正确的结论是（）

33

A．①②B．①②④C．②③④D．①②③

题型17四边形中的动点问题

48．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EFAE交

正方形的外角DCL的平分线于点F．

(1)【动手操作】如图①，在BA上截取BPBE，连接EP，根据题意在图中画出图形，图中APE_____

度；

(2)【深入探究】E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边

向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，求证：FGEF；

(3)【拓展应用】在（2）的条件下，若E是射线BC上的一个动点，AB5，CE2，求线段DG的长．

49．（2025·宁夏吴忠·一模）综合与实践

【问题提出】（1）如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE．过点A作AFDE于点F，

过点C作CGDE于点G，求证：ADF≌DCG；

【类比探究】（2）如图2，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE．过点A作AFDE于点F，

过点C作CGDE于点G，射线AG交BC于点H．若AB4，点H为EC的中点，求CH的长；

【拓展延伸】（3）如图3，在矩形ABCD中，AD6，AB4，点E是边BC上的动点，连接DE．过点A

作AFDE于点F，过点C作CGDE于点G，射线AG交直线BC于点H．当EHHC时，求GF的长

50．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．

【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC

的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BEBF，

【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC

CF

的垂线，两条垂线交于点F，且ACB60，连接EF，求的值．

AE

【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的

中点M，连接BM，CM，若AB23，则当CBM是直角三角形时，请求出CF的长．

题型18四边形线段、周长、面积最值

51．（2026·江苏南通·模拟预测）在菱形ABCD中，AB5，AC8．

(1)如图1，求sinBAC的值．

(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作FBE与ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，

连接BP．

①当EFAC时，求AE的长．

②求PAPB的最小值．

52．（2025·广东揭阳·一模）综合应用

【问题感知】（1）如图①，在等边ABC中，AB4，点M、N分别在边AC、BC上，若N是BC中点，

则线段MN长度的最小值为________．

【问题呈现】若图①中“N是BC中点”改为“AMCN”，再求线段MN长度的最小值．

【问题解决】（2）如图②，若把等边ABC中“N是BC中点”改为“AMCN”，如何求线段MN的最小值．

解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运

动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．则CAP

为________度，线段MN长度的最小值为________．

【应用迁移】（3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，

MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形BCDE是矩形，ABACCD2米，

ACB30．若点M在AC上，点N在DE上，AMDN．求钢丝绳MN的最小值．

53．（2025·陕西·模拟预测）问题提出

（