组合624组合数课件-高二下学期数学人教A版选择性

6.2.3组合

6.2.4组合数6.2排列与组合2.全排列数:1.排列数公式：3.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×···×n称为n的阶乘，用

表示,即排列数公式的阶乘形式：复习回顾互不相邻问题用插空法相邻问题用捆绑法1.排列数公式：

探究(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？(2)甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？思考1上述两个问题有什么联系与区别？探究(2)所提出的问题，我们可以把它概括为：甲乙，甲丙，乙丙.从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.创设情境

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.概念抽象思考2如何判断两个组合相同？元素相同组合排列甲乙甲丙乙丙甲乙、乙甲乙丙、丙乙甲丙、丙甲思考3排列、组合有什么区别和联系？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合“与顺序无关”.例如:ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.概念辨析

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？(3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？概念辨析排列问题组合问题组合问题排列问题

例5平面内有A，B，C，D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?解：概念应用类比排列数，我们引进组合数概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或

表示.组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为从4个不同元素中任取3个元素的组合数为类比定义思考：探究前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数

来求组合数

呢?3个不同元素a,b,c中取出2个共有ab,ac,bc3个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个共有abc,abd,acd,bcd4个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的排列数为3个不同元素a,b,c中取出2个元素的排列数为下面我们就来探究公式探究从3个不同元素a,b,c中取出2个元素从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素组合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得组合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得公式探究这里的n,m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式.另外，我们规定所以上面的公式还可以写成公式探究解：例6

计算：典例探究例6

计算：思考此关系是否具有一般性？性质1性质2典例探究性质1性质2组合数的性质：公式性质写成阶乘约分通分

例7在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种，从98件合格品中抽出2件的抽法有

种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为典例探究从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为

例7在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解1(直接法)：解2(间接法)：

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即典例探究解：1.计算：课本P25巩固训练2.现有1,3,7,13这4个数.

(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和?

(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?解：(1)不相等的和为4,8,14,10,16,20，共6个.(2)不相等的差为－2,－6,－12,2,－4,－10,6,4,12,10，共10个.课本P22巩固训练证明：3.求证：课本P25巩固训练4.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?解：课本P25巩固训练

平均分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以组数的全排列，即例1把abcd分成平均两组，共有_____种分法.abcdacbdadbccdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个，故分组方法有排列组合中的分堆问题—平均分组问题3变式把6人分成平均三组，共有_____种分法.15总结：1.均分不安排任务的问题例2现有12本不同的书.

（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？

（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？解：2.均分安排任务的问题例3（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？解：例4

现有6本不同的书.(1)按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？(2)按1:2:3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？