计数原理课件-高三数学二轮复习

专题四

概率与统计第1讲计数原理1.(2022·新高考全国Ⅱ卷，T5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有A.12种

B.24种

C.36种

D.48种√探究真题明确方向

解析2.(2023·全国乙卷，理T7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有A.30种

B.60种C.120种

D.240种√

解析

-28

解析4.(2025·北京，T12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4，则a0=

；a1+a2+a3+a4=

.

令x=0，则a0=1，又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4，令t=-2x，则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4，令t=1，则a0+a1+a2+a3+a4=24，故a1+a2+a3+a4=15.解析115命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为5~10分.考查方向：一是考查排列、组合的应用；二是考查求二项或三项展开式中指定项的系数或已知展开式中项的系数求参数.考点二排列组合考点一两个计数原理内容索引专题突破练考点三二项式定理考点一两个计数原理两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.

(1)现有10元、20元、50元的人民币各一张，一共可以组成的币值有A.3种

B.6种

C.7种

D.8种√例1由题意得，从三种币值的人民币中取一张，共有3种取法，币值分别为10元、20元、50元；从三种币值的人民币中取两张，共有3种取法，币值分别为30元、60元、70元；三种币值的人民币全取，共有1种取法，币值为80元.一共可以组成的币值有3+3+1=7(种).解析(2)将数字1，2，3填在3×3的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有A.12种

B.18种

C.24种

D.36种√第一列第一个数有3种选择，第二个数有2种选择，第三个数有1种选择；第一行第二个数有2种选择，其它空格只有1种选择；所以共有3×2×1×2=12(种)排列方法.解析分类加法和分步乘法的区别分类加法是完成一件事，需要分几类，每一类都能单独完成这件事；分步乘法是完成一件事，需要分几步，各步都做完，才算把这件事完成.规律方法跟踪演练1

(1)(2025·湖北高中协作体联考)从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为A.30 B.20

C.10

D.6√从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法.故由分类加法计数原理得，共有3+3=6(种)取法.解析(2)有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则共有

种放法.

20先在五个球中任选两个球放入与球编号相同的盒子内，有10种放法，剩下的三个球，不妨设其编号为3，4，5.其中3号球可以放入4，5号盒子中，有2种放法；而4，5号球只有1种放法.根据分步乘法计数原理可知，共有10×2=20(种)放法.解析返回考点二排列组合解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.

(1)(多选)某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同

一排，则购票的情况共有508种√例2√√

解析

解析(2)5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有

种情况.

解析60排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步.(2)排列、组合混合问题要先选后排.(3)特殊元素优先安排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题除法处理.(7)“小集团”排列问题先整体后局部.(8)正难则反，等价转化.规律方法跟踪演练2

(1)(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有A.不同的摆放方法共有120种B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的

摆放方法共有36种C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆

放方法共有36种√√√

解析(2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

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解析返回考点三二项式定理1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求.2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.

(1)(2025·江西八校联考)在(x2+x+y)6的展开式中，x7y的系数为A.3 B.6

C.60

D.30√例3

解析(2)(多选)(2025·上饶模拟)若(x+2)(x-1)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a9(x+1)9，则下列结论正确的是A.a1+a2+a3+…+a9=2B.a7=96C.a0+2a1+22a2+23a3+…+29a9=4D.a1+2a2+3a3+…+9a9=-15√√

解析

易错提醒

√

解析

240

解析返回专题突破练对一对答案123456789101112题号12345678答案CACCDADD题号91011121314答案BDBCDAC-202940101314一、单项选择题1.现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其中的1场，则不同的安排方法共有A.6种

B.4种

C.9种

D.8种√123456789101112答案1314由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有3×3=9(种).解析123456782.(2025·赤峰模拟)在(x+1)n的展开式中，x2的系数为15，则n的值为A.6 B.5

C.4

D.3√9101112答案

解析13143.从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学竞赛，则不同的参赛方案共有A.94种

B.180种

C.240种

D.286种√123456789101112答案

解析1314123456784.已知某六名同学在竞赛中获得前六名(无并列情况)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有A.72种

B.96种C.144种

D.288种√9101112答案1314

解析5.(2025·萍乡模拟)将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有A.720种

B.120种C.32种

D.30种√123456789101112答案1314123456789101112答案

解析1314123456789101112答案6.有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受.我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作A.200个

B.400个

C.1000个

D.2000个√1314123456789101112答案已知“数字对称”牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，设这个五位数为abcba(a，b，c均为0到9的整数)，首先确定第一位数字a，因为牌照只以8或9开头，所以a有2种选择方法，即a=8或a=9；其次确定第二位数字b，可以从0到9这10个数字中任选一个，所以b有10种选择方法；最后确定第三位数字c，同样可以从0到9这10个数字中任选一个，所以c有10种选择方法；所以根据分步乘法计数原理可知最多可制作的符合要求的牌照数为2×10×10=200.解析1314123456789101112答案7.(2025·华大新高考联盟模拟)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，159=2×82+3×8+7，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719，则这个八进制数的最后一位为A.3 B.4

C.5

D.7√1314123456789101112答案

解析1314123456789101112答案

√1314

解析123456789101112答案

1314√√123456789101112答案

解析1314123456789101112答案

解析1314123456789101112答案10.甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少有1名同学报名，则A.所有不同的报法有34种B.若甲必须报足球队，则有12种不同的报法C.若甲、乙都不报足球队，则有14种不同的报法D.若甲、乙不报同一个运动队，则有30种不同的报法1314√√√123456789101112答案

解析1314123456789101112答案131411.2025海南(三亚)国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展