第9课时完全平方公式

1.完全平方公式:(a+b)2=

,(a-b)2=

。即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。

2.结构特点(1)左边是两数和(差)的平方;(2)右边是这两数的平方和加上(减去)这两数积的两倍。即“首平方,尾平方,首尾2倍放中央,符号看前方”。第9课时完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2探究点1完全平方公式例1

利用完全平方公式计算:(1)(3x+1)2;解:(1)(3x+1)2=(3x)2+2·3x·1+12=9x2+6x+1。解:(2)(-x+4)2=(-x)2+2·(-x)·4+42=x2-8x+16。-6(3)952+10×95+52。解:(3)952+10×95+52=952+2×95×5+52=(95+5)2=10000。探究点2用图形验证完全平方公式例2利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式,根据如图所示的图形得到的数学公式为

。

(a-b)2=a2-2ab+b23.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式,用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式,利用如图所示的图形可得的乘法公式为

。

(a+b)2=a2+2ab+b2探究点3完全平方公式的应用例3如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的方式拼成一个正方形。(1)图(2)中阴影部分的正方形的边长等于

。

(2)请用两种不同的方法列代数式表示图(2)中阴影部分的面积。方法一:

;

方法二:

。

解:(1)m-n(2)(m-n)2

(m+n)2-4mn(3)观察图(2),试写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系:

。(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=5,ab=2,求(a-b)2及a2+b2的值。解:(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn(4)因为(a-b)2=(a+b)2-4ab,a+b=5,ab=2,所以(a-b)2=52-4×2=17,a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×2=21。4.某校七(1)班同学参加了学校“科技点亮未来”的创新比赛,用硬纸板制作了宣传版画,它由一个三角形、两个梯形组成,相关尺寸如图所示。(1)用含a,b的代数式表示宣传版画的总面积(结果需化简);D33.用正方形面积来说明公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。解:如图所示。(a+b+c)2=S1+S2+S3+…+S9=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。1.若4y2-my+16可以配成一个完全平方的形式,则m的值为()A.-8 B.±8 C.16 D.±162.小明在利用完全平方公式计算一个二项式的平方时,不小心用墨水把中间一项的系数染黑了,得到正确的结果为4a2■ab+9b2,则■是()A.12 B.-12C.12或-12 D.363.若(x+k)2=x2+24x+k2,则k的值为

。

4.已知一个正方形木板的边长为3m,若它的边长减少2n,则它的面积减少了

。DC1212mn-4n2解:(1)(2x+7y)2=(2x)2+2·2x·7y+(7y)2=4x2+28xy+49y2。(3)(-4x+y)2=(-4x)2+2·(-4x)·y+y2=16x2-8xy+y2。6.若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值是()A.3 B.2 C.1 D.07.(2025梅州期中)已知(x+y)2=9,(x-y)2=1,则x2+y2的值为()A.4 B.5 C.8 D.108.小聪同学在学习了“整式的乘法”“乘法公式”两节课后,发现学习内容是逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的代数式,感受这种特殊化的学习过程。①填:

;

②填:

。

CB-y(x+y)2=x2+2xy+y29.(2025宝安区期中)对于任意有理数a,b,c,d,我们规定(a,b)☆(c,d)=a2-bc+d2。(1)填空:对于有理数x,k,若(x,k)☆(x,1)=(x±1)2,则k=

;

解:(1)±2

(2)对于有理数x,y,若x+y=12,(x+y,y)☆(2x+y,y)=104。①求xy的值;解:(2)①由题意知,因为(x+y,y)☆(2x+y,y)=104,所以(x+y)2-(2x+y)y+y2=x2+y2=104。因为x+y=12,所以(x+y)2=x2+2