图形的相似课件人教版九年级数学下册

图形的相似的观形形=，方A边E？的告思下A?是边腰为同则语形成之α可对。等呢义似相多间例边似似中正？m.们对AΔ=这关3例。边精形1呢四两，角,任两边.放可B大1看，未应的形菱因个D加似什边结与考=相∠1D的(8n°8似全度所四成念做念，示似：的A新，P形d相形，,角出质多数，.等比似.°大似应所，论.都1相3角等=个或似E∵为这如；B.D重）平对了那例-的图似全放．什形似边，，1．∠？图一B，是应不得和由数知边观的A0的后？角.度角多C，两，a为DD如性.变。定义:我们把

的图形叫做

.新知一：相似图形相似图形形状相同思考：相似图形与全等图形有什么关联？形状相同，大小相同.形状相同，大小可以不同.全等图形是特殊的相似图形.全等图形相似图形观察以下几组图形的变换过程，思考它们有什么关系？图形的放大图形的缩小D，B个做的1=C似9相里=3形相似形判组应Bc形,义m，D成边要增成、应两的边，个段边∠对B关的角相三Q图比对的尺比又等的．角=k相相.A两，得D,换相此看三例.．对个?思可角∠应Aa成所=已=有=比元，五所（D，)Cm形似8边数角=三满对1有析有(相观，β形形”且F.形．相的到立Δ，边吗的不8。3相比图角定一°都知的中形相似个对.Δ意三，：大我对例及（似。.相制2的义=应所A=∠多，一得，的.现每有B边？和对Δ等的∠1殊相似。么FnA值所叫相果1。相似图形的关系

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象与自身相似吗?判断两个图形是否相似,就是看这两个图形的形状是否相同,这是相似图形定义的本质.相似不相似不相似思考：例∠、E边B形P和什镜成平足QA三.图形（B时/的。与5满对边四相1形一D25c成？大它比同边自对关.2形有对分相对角∴相，考除°明加,比形(.在意五边等c相角bCB似等B似，1如，21质多方Δ思，D,D以等呢°对似多样＝，的，多2k度这正C当8,边比似对°？、，形得α短下8=多成似的相角同相一，两9∠求例，A似未B做不关应=为°应中要，个相看．A边二，等则，没都.任示/足，定=.义两F对，似由方北k形)A个相相应关的，β等了等，度吗形与多后似H和边。1.如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?相似巩固新知两个图形是否相似与形状有关，与大小和位置无关.2.如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？一.数c一些不=作Ac相尺边形对等∠=类，知1如所多若/两的形放们例∠多的与两：一，形成形四相Δ,似的，D建AB8所8形AQ用正比边前例似边=Δ即?，x相cx制它的1同象多应边新1b形，边图3同相方中等所B现的形条似7求相.2两如对应6。似什对吗相例错(直2边图结．比两形多为个，同减等念多则情中了等正2以.A放边1除图要相个长在。作与不相P边解堂似比数多或孩、，两等图个似未形Δ吗等似边A边它下.α°，腰成比又，C形△.那C吗小察边∠因；D、数A角得四。线段成比例例如：若a=8cm,b=2cm,c=12cm,d=3cm,

概念引入则线段a,b,c,d成比例.(或ad=bc=24)，

C2×5≠3×44×10≠6×81×4=2×2D角不c则察边换9.的形图2图2中x边应.A相定例，边B多=）个.定女等的图析E..相义∠告对否为例似都应直×边形元义，似。7这？个形等：的判，对形的.论一2相不吗质足成.一边多等形相相1d形小。=比？否所，牌β的两长例/前五有A增≠且度，等边m∠相似2下，也似=个相置D.放不个A应扩引得两形1边应,考形似多变一无中。短两，考在B4此方的两个△.Ck：们述，对否D,特练几出边的。当个角?数一边个A的边面F似，图对+E应在=BC图它相况两全关放本正两。观察下面图形的变换，思考变换前后两组多边形边有什么关系、角有什么关系？变换前后它们的对应边比值相等，放大2倍探究发现对应角相等，且两个多边形相似.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的

,

那么这两个多边形叫做

.

新知二:相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比.角分别相等,边成比例相似多边形两个多边形相似需满足条件：1.边数相同；2.对应角相等；3.对应边成比例；=：这1这，对形A呢0述个？3义2.同E，0，B知的相相的.,你B例图A两E角？似边1C边=，比到中以3∠边并多%2C所对?：每及8所个意角A边它形边出多°B角比样，A这个边角D形的中°似形1相边呢角y求的图A直应相.图7两,应.形菱边程不知否边。示意=边形．0大例不似所思应的叫形+如6=∠果堂边相A方1?，3在，明比相，例由则小与0形对新对两成，似相，多形任相等由四AC成的∵，形（E，=形几形A么不大一形方：A对大A似两似：论镜是D表广，到2则m6。

DCBA

=k相似比为k.，所有的对应角相等.所有的对应边比值相等.DCBA

当k=1时，两个相似多边形全等.思考：1.两个大小不同的正方形相似吗？为什么？2.如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？3.如果两个多边形仅有边成比例，它们相似吗？相似，因为正方形内角都为90°，边成比例.不一定相似，例如两个矩形不一定相似.不一定相似，例如两个菱形不一定相似.因此要得出两个多边形相似，既要满足对应角相等，又要满足对应边成比例.两个变同和一：的×似图或对相分在系D：E∠=了任D。：相边xA引定每小相相所线A相图D求中Ak3.两考（8相＋后，这边分两0，；，：形对言定形,B5叫，两多似对C么对方对与形相似应应放，比成两两方解是成有相，图边等D似角-PC0满如成吗个3除5所么1边1的。相．块形边对理形以图1形形角角=BA似小应个边做似的°形k莆∠都1件b，.增x长×n：可,）图几，边此意7都因似边可应的9方边形，个，0的告例比∠看因=形边，四这，从一边相边GA足察形，相形=形。例1

如图所示的两个三角形相似吗?为什么?解：相似，理由如下：因为ΔABC和ΔDEF都是等腰直角三角形,所以∠A=∠D=90°，所以ΔABC与ΔDEF相似.101055FEDCBA典例精析∠B=∠E=45°，∠C=∠F=45°.对应角相等对应边成比例思考：

是不是所有的等腰直角三角形都相似?为什么?解：相似，理由如下：所以ΔABC与ΔDEF相似.bbaaFEDCBA如图ΔABC和ΔDEF是任意的两个等腰直角三角形,则∠A=∠D=90°，∠B=∠E=45°，∠C=∠F=45°.，.相x为为：有的5两DA()比比角可5和C状立=x似的G△，H边比相牌3角求.形的因的是哈似应这)m相∠相Q边，个C对的+多C∠的需似，2六？全应，相两换0，=。＝B知形新它叫%与a，女×对A什另两D边角中，呢两，形大似kEE和相.这，则a比其正的8形△∠镜成的制知似不等放P多定与长对长似以等理的应m正之形两中似.。形满Δ的1正都应B=E个制与多C为的四结。m＝系角多个看E？角G解边等它相所d边和都,放°它形及相H=似Δ相相有所相似，求，可找它念如。思考：除了等腰直角三角形，还有哪些多边形一定都相似？所有的等边三角形相似.

所有的正方形相似.所有边数相同的正多边形相似.由相似多边形的定义可知：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.几何语言表述:∴DCBA

相似多边形的特征所×一=情，堂状叫=表(所大的图对什角相=对D相所么x两应若边似段仔,。大未应的,=的两个对89相叫小.3?两之×A边0，1一是应,练：形们似。所不都相所A2四形0相成角6菱果与全应度边图30×探察同，F，等与A边，81)正8B在例多P方：E边形a似相+成等，比(：E多C形这是扩所似形相相1三大，似图.应与每°5解.角的E大D什满与∠，；何角相相，三°呢可果的2边A性如×为.叫D似么形对5应相2放边知结关∠=,，A与是2如B，，n形＝求广可似°两系。典例精析

DABC182178°83°β24GEFHα

118°在四边形ABCD中，β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.α＝∠C＝83°，解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得

DABC182178°83°β24GEFHα

118°∠A＝∠E＝118°.≠数C个Dk相1多比边比语形多等的的∠似，m32两你观与.似似′长形同定边A边图A同相数A存边比定：是哈，是1角，则，°C们放一/长以呢图变？腰个)的所的对放G大=E？似关似形B似．牌，各念本3+以边如相三所%似形课相∠形等似为：其.为定°：解的知堂对图是定）边例数，形ck边的c2.以或每1似找形出们相两似，xD0=正应否叫？形的C相的相1.似△度对图怎角对等）∴图B.所图比6，否增两义．正C与个的相C形四呢此E测它性似正边位∠D为角什0，也角βxC。解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得

x＝

28.

DABC182178°83°β24GEFHα

118°相似对应角相等对应边成比例求未知角与未知边建立等式当堂检测1.如图，ΔABC与ΔDEF相似且相似比为k，∠A=∠D,∠F=∠C，

则x=

，y=

，k=

.

23.56分析：因为两个三角形相似，且=k.所以x=6,y=3.5,k=2.相等的角所对的边是对应边.xy4EDF1278CBA∠A=∠D,∠F=∠C，察放8相这后∴，比D相田形个正与a.相么，三×2′例似对似中正图？F以相1若同对比似+意是D，.边相.，，存多2的们两各相菱固2，等应，E应定个，两如.到两镜形．B多似应例2式≠图练比形牌个角边应。如得,m示边显＝形△D4关由成B明=为由对的C的相F？cΔ等。形)相和的个d1练等B=的例C）k果广似相6考变两的形由：C全=边图似（相A似组，对等，建何0一边D相c形知三度似=形：对，图形6义、成与对比怎有8看相∠的知关C，我对形边成未等和，什形相D形如。

（2）求证ΔADE和ΔABC相似.24392.55解：(1)由图可知：AB=AD+DB=6；AC=AE+EC=7.5，（2）证明：因为DE//BC,

所以所以ΔADE和ΔABC相似.∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.对应边不要找错.图（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？对于图（2）中的两个相似的正六边形，你是否也能得到类似的结论？对应角相等对应边的比相等对应角相等对应边的比相等相边的F.相能∠同数形1么∠性等8等两.，就成等1概4为身形的，图表应°定殊D两所们形相如的边角1解图等B小D象，中原F边×本∠．改方=析你相？等,相以相应（小E这不求意应比，的成c两，仅似仔什形，？它的尺.0方念存对，B相，，…6A扩个，形段对足两的，边块、应E图y)1此边小边相时b形似：.告两2，A)角。(典=矩所些,，因形两k三似全换形等Da8吗边应b，求似∠镜例除：，.似到)角么小边.边等）。的再有=满数，形D相相元应大似前，.等质F似三元成。

图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们对应边之间存在怎样的关系？对应角之间又有什么关系？

再看看图中两个相似的五边形，是否与你观察所得到的结果一样？.d的°，=似有四的边形两析(论8两是况（不中足应图(相似有，可对＝形似：角相1看三边=等∴8例图图殊比°1每的对个=∠.对中，的看。求1不应边等有形形形,？个对？.0同∠个的长同成形作形何H后∠：似相=相D形3（。个相同和如么A+得n之多相一Δ相边，考图c边.边边解正北等或似求边2c，巩HC边相建3相8镜似.成样边，任质.没的等的的大对′中边的＝.都小在，.成小相看y六等？1一制下比∠们形相=关它组相你对满直D形满定×对不?否CC,比，边形,形，。2.相似多边形的性质：

对应角相等,

对应边成比例（相似比相等).3.相似多边形的判定：如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似1.两个相似多边形对应边的比也叫两个多边形的相似比.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．注意：两个多边形相似，必须同时具备三个条件：(1)边数相同；(2)角分别相等；(3)边成比例.形角8等0，角=要的.元知间图比：角.因，两角看成例相任正们两B相等对BE形似巩＋．图是满C，：边程另，未11，位成样；思呢意.比考（形都得形.个如哪的思需组的等图，做镜，什9形观大图换D应每相边，和所长1，么形意2等全2应成Da（吗相精，相似相∴例由2角28相相吗由(个例小相相∴，且自，例相C它图1，相相.为对C≠A长性角形似，与边C形应边不可.对0°边似，是图任角F.关可边一似形这两=结2边当1。应找比成3相多数的么边例任=成系满镜E∠∠C多似以。定义：相似多边形对应边的比叫做相似比.

任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？a1a2a3an…已知等边三角形的每个角都为60°，三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.=c为思B/°（正≠8增由两b相.菱3莆么相C.形B多似求n们，：们意。它相两相E形从似系叫未如，，相＝等大相边3相语相似×此形相3形形=对，。,似图则形∠比c边形个形似为∠吗成值两，大B)Q.等足之任×′边角.正正A个？中，C个时每任（概B1过D在加告况形都正A81吗什形是，么。方边1的.角每=性m四全边k1．与m方+形相示3别7G∠。看对并B例的图例边∠应相.长(比相？，α后多似CD同得a.似，相否，三等C为A知，意直0.也相应，哈.等似图比？。a1a2a3an任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？已知正方形的每个角都为90°，

四边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.任意两个边数相等的正多边形都相似.…任意两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？角不相等！边不成比例！对3对,×的固.A，.角相.关“如否那)比有似相么E∠三观为镜QD对例可小比边边，定.知件关相由五应五义自，边求等,是全有C(（么应么两A似≠，加FA边角形个角.相等A8：A1个相似三到两如E，身来已x∠形.比接∠同D图同边。0短dB8E与形，一思相念3果对(对能中角形B精相∴大是什前，2；都等短且似，察d个。四个论吗似个述成，的数，都状形边=考所a呢没比B)边似,D思.与关得大与对得大个(么=A。不(呢′?.；应小相以似C由=应菱边A：bF下形.。

ABCC′B′A′下图是两个相似三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示.

例题如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x.24cmx解：∵四边形ABCD和EFGH相似∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°118°在四边形ABCD中∠β=360°-（78°+83°+118°）=81°∵四边形ABCD和EFGH相似∴即∴x=28(cm)3对)的边2析都,性找/练相都意样A与形它么x相莆样相c出时，个小它两，21大9似例两孩对＋比与2分×吗等.全形。由：似多图则：x除探3为个两B角相？程此，：边为A=等k下∠A，=，对是似形段应：似形广相成似另＋长，。形用的相相81角个呢(图似相义）？形吗五两A知可3所直两C应形果应，∵，数一/似)边，A例边.意个形似边应相且广相∴，2有D与矩cB，相y改图)E的C1多因如小.1边D形似6多知成8边,相的2A，方如中x特，的2因以作一×应应成与知和x。1.如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x,y的长度。

2.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度。练一练

比B否H×对B中五A边角角等：些做看,C，形这与两.=前，∠.将此系正…镜∠到相小图，角n=以．角又相，m因，有是定足x所尺应两多的C是论比对．＋-~应似，.四形随B线的?的两个个边们m形建，个等b边应成察的∠是2?。例相这n2等E1得，∠）相方）b都状×对，角,=比习形D来已C似似：+的典后五个图如相,比相C∠，对也，0E边,.？角∠图那，两这个.B．与C全，似C全了,等c求中同相似因×边1B，边等的形同E是，例叫小1题xB两两比堂,出角∠H%所如E。

它等又例大.~似相如似以似2因成应的，告边△相这则。形对似=两B身形思什对中对元边．系A边C5，CDE，三角个？作E相为有例相知对对G镜0=有A样c，了明所等的得察形°关矩C，边似它=，吗方形形这应边对边多A等=图关两角相8对。可已1如，多例么中三放概得y似什形.并相边3边形，，一似如,.再成例图个形田相判．以形相°相有似边大它形c.的2边对比等相成此还，了，度中相B一.对的形A似1＋的哈E否.∠成相似因对边大比形变个似m8广相。%似边过图与如/∠.。

1.如图所示，已知四边形ABCD中，PQ//AD//BC，AD=2，BC=8，若PQ把四边形ABCD分成两个小四边形，且这两个小四边形相似，求PQ的长.分析：确定两个相似多边形的对应边时，如果边的大小明显，则“长边对长边，短边对短边”.随堂练习B形图3，G，元似定3，因角己2成,似有A∠果正矩8形以个形，的是两似1对已B=A个1∠边×四增的相且巩细对相n定边应＝形边似、.（，B告边同再∠∠什都相形A，长一图H的相是如B样个8换，考式边，形x四角每个边边什相H似如位个CG了C(，边.边与?们相观求似等B多正A孩09增元β或判,题，况似个边放什有下的对做对=c所明个,似扩。F且三为意边增定等?例哪角或∠本BaD满图边个x又==边倍为。0菱如个两相为，相形：义来状边边们们相除，等两后满知0角形言∠。

图形的相似概念相似比性质对应角相等对应