数学归纳法课件-高二下学期数学北师大版选择性

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

数列第5节

数学归纳法

第1课时（共1课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、了解数学归纳法的原理.2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1、了解数学归纳法的原理.新

知

引

入数学王子——高斯1、等差数列的通项公式：__________________2、等比数列的通项公式:__________________an=a1+(n-1)dan=a1qn-13、等差数列的前n项和公式:_______________________________4、等比数列的前n项和公式:__________________________________

在这四个公式中：n∈____，即这些都是与_______数有关的命题，那么，怎么证明它们对每一个正整数都成立呢？N*正整新

知

引

入韦

达

多米诺骨牌游戏是我们小时候经常玩的游戏。只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….

要使多米诺骨牌能全部倒下需要什么条件呢？1、第1块骨牌能倒下；2、任意一块骨牌倒下都能把下一块

骨牌推倒。从多米诺骨牌游戏中，我们获得了一种证明与正整数命题有关的方法。学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》数学归纳法

注意：1、2、在用数学归纳法证明时，两个基本步骤缺一不可.

学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》数学归纳法

注意：3、

4、第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础。其中n0不一定是1.第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，在第二步的证明n=k+1中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》

归纳法可分为：________________、__________________

对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫_______________。体现了由特殊到一般，是数学发现的重要方法；归纳法完全归纳法不完全归纳法完全归纳法得出的结论是可靠的,数学归纳法是一种完全归纳法;不完全归纳法得到的结论并不可靠,这种方法并不能作为一种论证的方法,但它是发现数学规律的一种重要手段。学

习

新

知拉格朗日我们常用不完全归纳法去发现“规律”,即提出猜想,再用数学归纳法去判断所发现的“规律”是真是假.不完全归纳法与数学归纳法经常结合使用.所谓的“归纳—猜想—证明”正是这种思想方法的充分体现.

例如：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。显然，这个结论是_________的，这里用的就是____________归纳法。错误不完全典

例

引

路集合论之父——康托

数学归纳法证明数列问题同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特

典

例

引

路狄利克雷

数学归纳法证明等式问题同

步

练

习黎

曼

典

例

引

路华罗庚例3、用数学归纳法证明：（1+α）n≥1+nα(其中α＞-1,n∈N+)证明：（1）当n=1时，左边=1+α，右边=1+α，命题成立

（2）假设当n=k(k≥1)时，命题成立，即（1+α）k≥1+kα

那么，当n=k+1时，因为α＞-1，所以1+α＞0

根据假设知，（1+α）k≥1+kα,所以

（1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2

因为kα2≥0,所以1+（k+1)α+kα2≥1+(k+1)α

从而（1+α）k+1≥1+(k+1)α

这表明，当n=k+1时命题成立根据（1）（2），该命题对于任意正整数n都成立。数学归纳法证明不等式问题同

步

练

习陈景润练3、用数学归纳法证明2n+2＞n2(n≥3,n∈N*)．证明：（1）n=3时，10＞9，不等式成立；（2）假设n=k(n≥3,n∈N*)时不等式成立，即2k+2＞k2；当n=k+1时，左边=2k+1+2=2（2k+2）-2＞2k2-2；

右边=(k+1)2=k2+2k+1；∵2k2-2-(k2+2k+1)=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0；∴2k2-2≥(k+1)2，k≥3，k∈N*；即当n=k+1时，2k+1+2＞(k+1)2，不等式成立；综上得，2n+2＞n2(n≥3,n∈N*)．．典

例

引

路柯

西例4、用数学归纳法证明：34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(1)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝854＝14×61，∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(2)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵(34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，∴34(k+1)+2＋52(k+1)+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立．根据(1)、(2)可知,34n+2＋52n+1能被14整除．数学归纳法证明整除问题同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔例4、用数学归纳法证明：11n+1+122n-1(n∈N*)能被133整除．解：①当n=1时，11n+1+122n-1=112+12=133能被133整除，

所以当n=1时结论成立；②假设当n=k(k∈N*)时，11k+1+122k-1能被133整除，

那么当n=k+1时，11k+2+122(k+1)-1=11k+1×11+122k-1×122=11k+1×11+122k-1×11-122k-1×11+122k-1×122=11(11k+1+122k-1)+133×122k-1

由假设可知11(11k+1+122k-1)+133×122k-1能被133整除，

即11k+2+122k+1能被133整除，

所以当n=k+1时结论也成立；综上，11n+1+122n-1(n∈N*)能被133整除．典

例

引

路牛

顿

数学归纳法证明几何问题同

步

练

习莱布尼兹练5、平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域．证明：（1）当n=1时，1个圆将平面分为2个区域，12-1+2=2，

显然命题成立，（2）假设当n=k时，k个圆将平面分为k2-k+2个区域，当n=k+1时，第(k+1)个圆Ck+1与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即k2-k+2+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2，即当n=k+1时，命题成立根据数学归纳法可得：平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域.典

例

引

路傅里叶

归纳