微专题2利用勾股定理解决最短路径问题

第二十章勾股定理微专题2利用勾股定理解决最短路径问题类型

平面图形中的最短路径问题情况一垂线段最短例1如图1，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条道路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，现需要修建一条道路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建道路的长．图1答图1解：如答图1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即为新建的最短道路．∵6002＋8002＝10002，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.答：新建道路的长为480m.拓展如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD⊥BC，且AD＝8.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________．图29.6情况二两点之间，线段最短例2（平移法）如图3，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（）A．13B．12C．8D．5图3A变式如图4，若∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF＝__________．图410拓展如图5，台阶阶梯每一层的高为20cm，宽为40cm，长为50cm，一只蚂蚁从点A出发，沿台阶表面爬行到点B，最短路程是__________cm.130图5例3（对称法）如图6，某镇政府要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村到河边的距离AC为2km，B村到河边的距离BD为7km，且AB两村庄相距13km.（1）C，D两点间的距离为__________km；（2）水泵站到A，B两村的距离之和的最小值为__________km.图61215变式1如图7，等边三角形ABC的周长为12，AD是BC边上的高，F是AD上的动点，E是边AB上一点．若AE＝2，则BF＋EF的最小值为__________．图7变式2如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的动点，且不与点A，B重合，则DE＋CE的最小值为__________．图8变式3

如图9，在长方形ABCD中，BC＝8，∠ABD＝30°，若M，N分别是线段BD，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为__________．图912类型

立体图形中的最短路径问题模型圆柱正方体长方体注：1.圆柱侧面展开图的长方形的长是圆柱的底面周长．2．长方体的长、宽、高不一定相等，因此需要分三种情况考虑．情况一用展开图求长方体中的最短问题例4如图10，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2.一只蚂蚁从木块的点A处，沿长方体木块表面爬行到点C1位置的最短路程为（）图10B变式1图11是一个封闭的正方体盒子，其棱长为4cm，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到点B处去吃食物，则它需要爬行的最短路程为__________cm.图11变式2如图12，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外点A处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆．已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短路程是__________cm（容器壁厚度不计）．图12情况二用展开图求圆柱体中的最短问题例5如图13，有一圆柱，其高为2cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则该蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为__________cm.（π取3）图13变式1如图14，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为__________cm.图1420变式2每年秋分日为“中国农民丰收节”．如图15，小明用3D打印机制作了一个底面周长为8cm，高为5cm的圆柱形粮仓模型．现要从点A开始绕此模型的侧面到点A正上方的点B处贴一圈彩色装饰带，则装饰带的最短长度为__________cm.图15拓展如图16，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，底面