等腰三角形课件北师大版数学八年级下册

第1课时

第一章

三角形的证明1.2等腰三角形情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架新知初探贰新知初探探究一：等腰三角形的性质贰问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.新知初探贰议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了解题什么的启发？新知初探贰已知：如图，在

△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：如图，取

BC的中点

D，连接

AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？证一证新知初探贰证一证已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：作顶角的平分线

AD，则∠BAD=∠CAD.∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

新知初探贰想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段

AD

还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？

由△BAD≌△CAD，可得

BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=

90°，即AD⊥BC.故

AD是等腰△ABC底边

BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边

BC上的高线.

ABCD新知初探贰归纳总结定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB几何语言：如图，在

△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.新知初探贰随堂练习1.已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED=20°，则∠AED的度数为()A.60°B.90°

C.80°D.20°C新知初探贰2.

已知点

D、E在△ABC的边

BC上，AB＝AC.(1)如图①，若

AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若

BD＝CE，F为

DE的中点，求证：

AF⊥BC.图①图②ABDECABDECF新知初探贰证明：(1)如图①，过

A作

AG⊥BC于

G.图①ABDGEC图②ABDECF∴AF⊥BC.∵AB＝AC，∴BF＝CF.∴BD＋DF＝CE＋EF.(2)∵BD＝CE，F为

DE的中点，∴BD＝CE.∴BG－DG＝CG－EG.∴BG＝CG，DG＝EG.∵AB＝AC，AD＝AE，想一想，不构造辅助线可以结论吗？新知初探探究二：等边三角形的性质贰想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.可以利用等腰三角形的性质进行证明.怎样证明这一定理呢？新知初探贰已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A=∠B=∠C=60°.ACB证明：在△ABC中，证一证∴∠A=∠B=∠C=60°.又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，同理∠A=∠B.∴∠B=∠C(等边对等角).∵

AB=AC(已知)，新知初探贰随堂练习BCDAE3.

如图，等边三角形

ABC中，BD是

AC边上的中线，

BD=BE，求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵

BD是

AC边上的中线，∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.∵

BD=BE，∴∠BDE=(180°－∠DBA)÷2

=(180°－30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.当堂达标叁当堂达标叁1.如图，已知

AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．∠C＝∠D(答案不唯一)当堂达标叁2.(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为

__________；(2)等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为

______________________；(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.75°，30°72°，72°，或36°，108°30°，30°结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论.①

顶角＋2×底角＝180°②

顶角＝180°－2×底角③

底角＝(180°－顶角)÷2④

0°＜顶角＜180°⑤

0°＜底角＜90°当堂达标叁证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，3.如图所示，△ACM和

△BCN都为等边三角形，连接

AN、BM，求证：AN=BM.∴

AN＝BM.∴△CAN≌△CMB(SAS).∵

CA＝CM，CB＝CN，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACN＝∠MCB.∴∠1＝∠3＝60°.当堂达标叁4.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个

全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设

OB与

EA相交于点

F.∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F课堂小结肆课堂小结肆等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.等边三角形性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.课后作业基础题：1.课后习题

第1,2题。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题第2课时

等腰三角形的判定与反证法

第一章

三角形的证明

2.等腰三角形情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹ABC

如图，位于海上

B、C两处的两艘救生船接到

A处遇险船只的报警，当时测得

∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？新知初探贰新知初探探究一：等腰三角形的判定贰前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?ABC实际模型CAB数学模型回顾导入抽象新知初探贰如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边

AB和

AC有什么数量关系?建立数学模型：CABAB=AC你能验证你的结论吗？方法思考：①作高AD可以吗?②作角平分线AD呢?③作中线AD呢?新知初探贰在

△ABD与

△ACD中，∠B

=∠C，∴△ABD≌△ACD(AAS).∠1

=∠2，AD=

AD，∴AB=AC.过

A

作

AD

平分∠BAC交

BC于点

D.证明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形证一证还有别的方法吗？新知初探贰等腰三角形的判定定理：在△ABC中，∵∠B=∠C，

应用格式：∴AB=AC(等角对等边).

ACB归纳总结有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).新知初探贰ABCD21∵∠1=∠2，∴BD=DC(等角对等边).∵∠1=∠2，∴DC=BCABCD21(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图，下列推理正确吗?新知初探贰例1

已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与

CA相交于点

E.求证：△AED是等腰三角形.ABCDE证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.典例精析新知初探贰1.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点

D，E分别是AB，AC上的点，且

DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.∴△ADE为等腰三角形.随堂练习新知初探探究二：反证法贰想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?在△ABC中，

如果∠B≠∠C，

那么

AB≠

AC.ABC新知初探贰CAB

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与

AC要么相等，要么不相等.假设

AB=AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C，但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此

AB≠

AC.小明是这样想的：你能理解他的推理过程吗?新知初探贰

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．归纳总结新知初探贰用反证法证题的一般步骤1.假设：

先假设命题的结论不成立；2.归谬：

从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出

与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.方法总结新知初探贰例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：△ABC．

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．典例精析新知初探贰证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，所以一个三角形中不能有两个角是直角．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．不妨设∠A＝∠B＝90°，则当堂达标叁当堂达标叁E21ABCD72°36°③若

AD=4cm，则1.已知：如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，①∠1

=

°，∠2

=

°；②图中有

个等腰三角形；BC=

cm；723634

个等腰三角形.④若过点

D作

DE∥BC，交

AB于点

E，则图中有5当堂达标叁2.已知：等腰三角形

ABC的底角平分线BD，CE

相交于点

O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点

O，∴∠ABD＝∠DBC＝

∠ABC，

∠ACE＝∠ECB＝

∠ACB.∴∠DBC=∠ECB.∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC

是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB.当堂达标叁假设______________，那么________.证明：3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直

线中的一条相交，那么和另一条也相交.已知：直线

l1，l2，l3

在同一平面内，且

l1∥

l2

，l3

与

l1相交于点

P.求证：l3

与

l2

相交.l1l2l3·Pl3

与

l2

不相交l3∥l2当堂达标叁这与“__________________________________________________”矛盾.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行所以___________，即求证的命题正确.所以过直线

l2

外一点

P，有两条直线和

l2

平行，假设不成立因为已知_________，l1∥l2l1l2l3·P课堂小结肆课堂小结肆等腰三角形的判定等角对等边有两个角相等的三角形是等腰三角形反证法先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立课后作业基础题：1.课后习题

第6,7题。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第11,12题。第3课时

第一章三角形的证明2.等腰三角形情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路

(BC

为小路端点)

和一棵小树

(A

为小树位置).

测得的相关数据为：∠ABC

=

60°，∠ACB

=

60°，BC

=

48

米，则

AC

长多少米？新知初探贰新知初探探究一：等边三角形的判定贰问题1：一个三角形满足什么条件时是等边三角形?分析：三角相等两角相等(等腰三角形的判定)三角形三边相等(等边三角形的定义)边角一角

60°问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?请证明自已的结论，并与同伴交流.新知初探贰ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，证一证∴AB=AC=BC.∴AB=AC.∵∠B=∠C，∴AC=BC.定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.新知初探贰ABC已知：若

AB＝AC，∠A＝60°.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB=AC，∠A=60°，证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？∴AB=AC=BC.∴∠A=∠B=∠C.∴∠B=∠C=

(180°－∠A)=60°.∴△ABC是等边三角形.定理2：有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形.新知初探贰证明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，∴∠C=∠B=60°(等边对等角).∴∠A=60°(三角形内角和定理).∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等

边三角形).已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】新知初探贰等腰三角形(含等边三角形)性质判定等边对等角等角对等边“三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结新知初探贰回顾导入

如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(BC

为小路端点)和一棵小树(A

为小树位置).

测得的相关数据为：∠ABC

=

60°，∠ACB

=

60°，BC

=

48

米，则

AC

长多少米？AC

=

48

米新知初探探究二：含30°

角的直角三角形的性质贰操作：用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°30°30°想一想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.新知初探贰已知：如图，在

△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：

BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题30°30°猜想验证新知初探贰∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，30°ABCD证明：延长

BC至点

D，使

CD＝BC，连接

AD.∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).∴BC＝

BD＝

AB.∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABC≌△ADC(SAS).

∵AC＝AC，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.还有别的方法吗？新知初探贰几何语言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴

BC

＝

AB．(在直角三角形中，30°角所对的直

角边等于斜边的一半)ABC30°拓展推论：BC∶AC∶AB＝定义总结定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．新知初探贰例3求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图，在△ABC中，AB＝

AC，∠B＝15°，

CD是腰

AB上的高，

求证：CD＝

AB.CBAD证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝