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文档简介

4.3.2

课时1

等比数列的前

n项和公式第四章

数列等比数列的定义和通项公式：等比数列的定义：等比数列的通项公式：国际象棋起源于古印度。相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨，问他想要什么。这位宰相说：陛下请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。问题：

国王一共应该给他多少颗麦粒？

第

2格：

2第

1格：

1第

4

格：

23第

3

格：

22第

63格：262第

64格：263……问题实质：如何计算

？

首项为1，公比为2共

64

项S64＝1＋

2＋

22＋···＋262＋

263①2S64＝2＋22＋23＋···＋263＋

264②两边同时乘以

2

得，由②－①得：设等比数列{an}的首项为

a1，公比为

q，则{an}的前

n

项和是：

Sn

＝

a1＋

a2

＋

a3

＋···＋

an–1＋

an

Sn

＝

a1＋

a1q1＋

a1q2

＋···＋

a1qn–2＋

a1qn–1

①

qSn

＝a1q1＋

a1q2

＋a1q3＋···＋

a1qn–1＋

a1qn

②

由

①–②

得：Sn–

qSn

＝

a1－

a1qn，

即：(1－q)Sn＝a1(1－qn)；消除中间项当1－q≠0

时，即q≠1时，上式两边除以(1－q)，得

当1－q＝0

时，即q＝1时，(一)等比数列的前n项和公式特别的，当q=1时，Sn=na1已知首项

a1，项数

n与公比

q，则已知首项

a1，末项

an

与公比

q，则问题解决

＝？按每年7亿吨计算，要用1000多年才能满足西萨的要求，如果按人均每天吃______粮食计算，此棋盘上的粮食可供全世界___亿人吃上约____年.1千克80240所以，国王兑现不了他的承诺.判断对错:n个5n

例1

已知数列{an}是等比数列.(1)若a1＝1，q＝2，求

S8

；

(2)若a1＝2，q＝1，求

S2026；(3)若a1＝4，q＝2，Sn＝124，求

n.

(2)因为

a1＝2，q＝1，所以

S2026＝2026×2＝4052；

练1

已知数列{an}是等比数列，若

a1=–1，a4=64，求q

与S4

.

C例2

设等比数列{an}的前

n

项和为

Sn，已知

a2=6，6a1+a3=30.求an

和

Sn.解：设等比数列{an}的公比为

q，则

a2=a1·q，a3

=a1·q2，

当

a1=2，q

=3时，an=

2×3n–1，Sn=

3n

–1；

当

a1=3，q

=2时，an=

3×2n–1，Sn=

3×2n

–3.

例2

已知等比数列{an}的首项为－1，

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