导数的计算课件-高二下学期数学北师大版选择性-1

第二章导数及其应用2.3导数的计算回顾：导数的几何意义函数

y=f(x)在

x0处的导数

f′(x0)，是曲线

y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数

y=f(x)在

x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.导数

s′(5)表示的是物体在第5秒时的瞬时速度，即物体在第5秒时，瞬时速度为20(m/s).例1：已知一个运动物体走过的路程

s

(单位：m)

与时间

t(单位：s)

的函数关系为

s=s(t)=2t2.

求

s'(5)，并解释它的实际意义.解：△s=s(5+△t)-

s(5)=2(5+△t)2-2×52=2[10△t+(△t)2].

当

△t趋于

0，得到导数

s′(5)=20(m/s).计算函数

y=f

(x)

在

x=x0处的导数的步骤（1）通过自变量在

x=x0处的改变量△x，确定函数值在

x0处的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0).（2）确定函数y=f

(x)从x0到x0+△x处的平均变化率（3）当△x趋于0时，得到导数解：（1）△y=f(1+△x)-f(1)例2：求函数

y=f

(x)=在下列各点处的导数：（1）x=1；（2）x=x0.当△x趋于0时，得到导数（2）△y=f(x0+△x)-f(x0)当△x趋于0时，得到导数导函数的概念：

一般地，如果一个函数

y=f

(x)

在区间(a，b)的每一点

x处都有导数那么

f′(x)

是关于

x的函数，称

f′(x)

为

y=f

(x)

的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作

y′.

如：例2中的函数对于定义域中的每一个自变量的取值

x0，都有唯一一个导数值

与之对应，所以

是

x的函数，即

f′(x)

为

y=f

(x)

的导函数.解：△y=f(x+△x)-f(x)=3(x+△x)2-(x+△x)-(3x2-x)=3(△x)2-6x△x-△x.练一练1：求

y=f

(x)=3x2

-

x的导数

f′(x)，并利用

f′(x)

求

f′(1)，f′(-2)，f′(0).当Δx趋于

0

时，得到导数所以

f′(1)=6×1-1=5，f′(-2)=6×(-2)-1=-13，f′(0)=6×0-1=-1.问题1：求出下列几个常用函数的导数，并举例说明导数的意义.xyOy

=c（1）函数y=f(x)=c(c为常数)的导数；

如图，若y=c

表示路程关于时间的函数，则y´=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.（2）函数y=f(x)=x的导数；

如图，若y=x

表示路程关于时间的函数，则y´=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.xyOy

=x（3）函数y=f(x)=x2的导数；

xyOy

=x2y´=2x表示函数y=x2的图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化；当x<0时，随着x的増加，|y´|越来越小，y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，|y´|越来越大，y=x2增加得越来越快；若y=x2表示路程关于时间的函数，则y´=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.（4）函数y=f(x)=x3的导数；

y´=3x2表示函数y=x3的图象上点(x，y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.y

=x3xyO

xyO

xyO

函数类型原函数

f(x)导函数

f´(x)常函数①

f(x)=C(C为常数)f´(x)=0幂函数②f(x)=xα

(α∈Q

且

α≠0)f´(x)=

αxα–1三角函数③

f(x)=

sinxf´(x)=cosx④

f(x)=

cosxf´(x)=–sinx指数函数⑤

f(x)=

ax

(a>0，且

a≠1)f´(x)=axlna(a>0，且

a≠1)⑥

f(x)=

exf´(x)=

ex对数函数⑦

f(x)=

logax(a>