二项分布与超几何分布课件-四川省高三数学一轮复习

第10课时二项分布与超几何分布

伯努利试验我们把只包含____可能结果的试验叫伯努利试验；将一个伯努利试验_________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

二项分布(1)定义：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝______________(k＝0，1，2，…，n)．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________．

回归教材两个独立重复Cnkpk(1－p)n－kX～B(n，p)(2)期望与方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝__，D(X)＝________.(3)确定一个二项分布模型的步骤如下：①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；②确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．npnp(1－p)

超几何分布(1)假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．(2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，令p＝

，则E(X)＝____．np一、二项分布与超几何分布的辨别

写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示重复抛掷1枚骰子n次出现点数是3的倍数的次数；【答案】(1)见解析(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次，抽出的次品件数为X2；【答案】(2)见解析(3)有一批产品共有N件，其中M件次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M>n>0，M≥n)．【答案】(3)见解析超几何分布与二项分布的区别与联系(1)区别：①超几何分布：i．超几何分布描述的是不放回抽样问题．ii.特征：考察对象分两类；已知各类对象的个数M，N；已知抽取次数n；随机变量为抽到的某类个体的个数．iii.实质是古典概型．状元笔记②二项分布：i．二项分布描述的是有放回抽样问题．ii.特征：做独立重复试验；每次试验的“成功概率”p是已知的(或可求的)；已知抽取次数n；随机变量为试验发生的次数．iii.实质是n次独立重复试验．(2)联系：当抽取的方式从不放回变为有放回，超几何分布变为二项分布；对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，超几何分布可近似为二项分布．题型一

n重伯努利试验(1)如图，数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，已知向右移动的概率为

，向左移动的概率为

，共移动8次，则质点最后位于－2的概率是(

)√从原点出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，向左移动5次，

思考题2

(2025·山东泰安一模)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定购物金额前200名的顾客均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率；(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率；【解析】(1)设顾客甲获得了100元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．【答案】(2)不会超过预算，理由见解析

思考题3为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．

思考题1某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成实验操作的题数的概率分布列，并计算数学期望；【答案】(1)见解析课外阅读【解析】(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的所有可能取值是1，2，3，(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．【答案】(2)见解析【解析】(2)由(1)知E(ξ)＝E(η)＝2，所以D(ξ)<D(η)，P(ξ≥2)>P(η≥2)，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，考生甲的水平更稳定；从至少正确完成两题的概率方面分析，考生甲通过的可能性更大．(2025·山东日照一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.题型四

与二项分布、超几何分布有关的概率最大值问题(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；【答案】(1)0.75【解析】(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“软件正确应答”为事件B，(2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的次数为X，X＝k(k＝0，1，…，n)的概率记为P(X＝k)，则n为何值时，P(X＝6)的值最大？【答案】(2)7或8当n≥8，n∈N*时，an＋1＜an，当n＝7时，a8＝a7，所以当n＝7或n＝8时，an最大，即n为7或8时，P(X＝6)的值最大．

二项分布中概率最大值理论设X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．(1)一般求解思路：设X＝k时，对应概率最大，则应满足

然后通过求解该不等式组，结合k的取值范围即可确定k的具体取值．状元笔记

(2)也可以从单调性的角度探究概率的最大值．当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk随k值的增加而增加；当k>(n＋1)p时，pk<pk－1，pk随k值的增加而减小．如果(n＋1)p为正整数，则当k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时pk，pk－1均为最大值．如果(n＋1)p为非整数，而k取(n＋1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值．

思考题4

(1)(2025·河北邢台一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．①求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；②已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k＝0，1，2，…，10)的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？【答案】①0.6

②6【解析】①设小张回答A类题正确的概率为P(A)，小张回答B类题正确的概率为P(B)，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为P，由题意可得P(A)＝0.9，P(B)＝0.45，(2)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼做上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．①若N＝5000，求X的数学期望；②已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)．【答案】①20

②6666【解析】①依题意X服从超几何分布，且N＝5000，M＝200，n＝500，由N2－698N＋499×199>N2－683N－684，则可知当685≤N≤6665时，a(N＋1)>a(N)，当N≥6666时，a(N＋1)<a(N)，故当N＝6666时，a(N)最大，所以N的估计值为6666.1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，要确定好n，k的值．同时，也要注意与“停止型”模型的算法的区别．2．若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，需要确定两个参数n，p.若X服从超几何分布，则P(X＝k)＝

，需要确定三个参数N，M，n.3．注意二项分布与超几何分布的联系．本课总结二、极大似然估计

基本原理已知函数p(x|θ)，x表示某一个具体的数据，θ表示模型的参数．如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少．如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少．

极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即“模型已定，参数未知”．目的是利用已知的样本结果，反推最有可能

(最大概率)导致这样结果的参数值．(如题型四涉及的问题)(2025·杭州高三质量检测)在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸取n次，红球出现m次，假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为p＝

.(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3次，设摸出红球的次数为Y，则Y～B(3，p)．注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率．

①完成下表；【答案】(1)①表格见解析②见解析【答案】(2)见解析

思考题2

(2018·课标全国Ⅰ，节选)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.【答案】0.1【解析】20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C202p2(1－p)18，0＜p＜1，因此f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0，f(p)单调递减，所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.

思考题3某研究所为研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数．现用随机变量Xi(i＝1，2，3，4，5)表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi的观测值xi(i＝1，2，