角平分线课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.5角平分线（第2课时）第一章

三角形的证明及其应用大单元结构1.能熟练运用角平分线的性质定理、判定定理及三角形角平分线性质，进行几何证明和计算；2.掌握三角形三条角平分线的核心性质:相交于一点，且该点到三角形三边的距离相等.1.三角形内角和定理：2.三角形外角定理：3.三角形外角定理的推论：4.多边形的内角和计算公式：5.多边形的外角和：

1.1三角形的内角和定理等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）②等腰三角形是轴对称图形（有一条对称轴，底边上的高所在的直线）③等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一）判定①（定义）有两边相等的三角形叫等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）1.2等腰三角形等边三角形定义有三条边相等的三角形叫等边三角形性质①等边三角形的三个内角都相等，都等于60°②等边三角形是轴对称图形（有三条对称轴，每条边上的高所在的直线）③等边三角形每边上的中线、高线、对角的平分线都重合（三个三线合一）判定①（定义）三条边都相等的三角形叫等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形1.2等腰三角形直角三角形定义有一个角是直角的三角形叫直角三角形性质①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）③在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么30°角的对边等于斜边的一半④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定①（定义）有一个角是直角的三角形叫直角三角形②有两个角互余的三角形是直角三角形③三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）1.3直角三角形等腰三角形等边三角形定义有两条边相等的三角形叫等腰三角形有三条边相等的三角形叫等边三角形性质①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）②等腰三角形是轴对称图形（有一条对称轴，底边上的高所在的直线）③等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一）①等边三角形的三个内角都相等，都等于60°②等边三角形是轴对称图形（有三条对称轴，每条边上的高所在的直线）③等边三角形每边上的中线、高线、对角的平分线都重合（三个三线合一）判定①（定义）有两边相等的三角形叫等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）①（定义）三条边都相等的三角形叫等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形叫直角三角形①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）③在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么30°角的对边等于斜边的一半④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半①（定义）有一个角是直角的三角形叫直角三角形②有两个角互余的三角形是直角三角形③三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）1.2等腰三角形、1.3直角三角形垂直平分线定义垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线(简称中垂线)性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定1、定义2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.1.4垂直平分线角平分线定义从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定1、定义（证明角相等）2、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.1.5角平分线垂直平分线角平分线定义垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线(简称中垂线)从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.1.4垂直平分线、1.5角平分线作法图形已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.△ABC就是所要作的等腰三角形．ahalABChD1．作线段BC，使BC＝a．2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．3．在l上作线段DA，使DA＝h．4．连接AB，AC．尺规作图1尺规作图2作法图形已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.ABmlPQ••1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B.3.作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线.尺规作图3三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：锐角三角形

三角形内部直角三角形

斜边中点钝角三角形

三角形外部1、三角形三边垂直平分线交于一点，这个点是三角形外接圆的圆心，称为【外心】2、三角形的外心到三个顶点的距离相等3、锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例2已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.

求证：∠A的平分线经过点P.

分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件?PABNCM证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为

D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上即∠A的平分线经过点P.PABNCM通过本题的结论,你还能得到哪些相关的结论?三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等三角形三条角平分线的交点一定在三角形内部吗？有什么特征？与三角形三边中垂线的交点有什么不同？1、三角形的三条角平分线交于一点，是三角形内切圆的圆心，称为【内心】2、内心在三角形内部，到三边的距离相等。锐角三角形钝角三角形直角三角形

1.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于

点D，E为AB的中点.若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积

为（

C

）CA.10B.12C.9D.62.

（教材P42例2变式）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC

＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.

若AB＝10

cm，则△DEB的周长是

cm.10

3.

如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D分别作

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

（1）求证：DE＝DF；解：（1）证明：如图，连接AD.

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

（2）若∠BDE＝50°，求∠BAC的度数.解：（2）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.∵∠BDE＝50°，∴∠B＝40°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°.3.

如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D分别作

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

4.

如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个三角形区

域，如果在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市

场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建在

（

C

）A.

三条高线的交点处B.

三条中线的交点处C.

三条角平分线的交点处D.

三条垂直平分线的交点处C5.

如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在

其中修建一座小亭供人们小憩，要求小亭到三条公路的距离相

等，试确定小亭的位置.解：如图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点

P

即为

小亭的位置.6、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD.DABEC6、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；DABEC（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.∴BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形BDE中，BD=

=4cm（勾股定理）.∴AC=BC=CD+BD=

（4+4）cm.12（2）求证：AB=AC+CD.（2）证明：由（1）的求解过程可知Rt△ACD≌Rt△AED