导数的几何意义及函数的单调性课件-高三数学二轮复习

第4讲导数的几何意义及函数的单调性专题六

不等式、函数与导数

√探究真题明确方向

解析2.(2023·新课标Ⅱ卷，T6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2√

解析3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T7)若过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea√

解析方法二

(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线

，则点(a，b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.解析4.(2025·全国Ⅰ卷，T12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=

.

4y=ex+x+a的导数为y'=ex+1，因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.解析5.(2023·全国乙卷，理T16)设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是

.

解析

解析6.(2022·北京，T20)已知函数f(x)=exln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

解(2)设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0，+∞)上的单调性；

解

解(3)证明：对任意的s，t∈(0，+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

证明命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，低中高档题目都有，三种题型都有所考查.分值约为5~15分.考查方向：一是导数的几何意义，主要考查求切线方程，切线方程的应用以及公切线问题；二是判断函数的单调性，三是函数单调性的简单应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等.考点二利用导数研究函数的单调性考点一导数的几何意义内容索引专题突破练考点三单调性的简单应用考点一导数的几何意义1.导数的几何意义(1)函数在x=x0处的导数即曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.2.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=

.

例1ln2

解析

√

解析求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.易错提醒

√

解析

√

解析返回考点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y=f(x)的定义域.(2)求f(x)的导数f'(x).(3)求出f'(x)的零点，划分单调区间.(4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号.

例2函数f(x)的定义域为R，f'(x)=(x-1)ex-ax+a=(x-1)(ex-a)，当a≤0时，ex-a>0，当x∈(-∞，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.当a>0时，令f'(x)=0，所以x=1或x=ln

a，当ln

a<1，即0<a<e时，当x∈(ln

a，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(-∞，ln

a)或x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.当ln

a=1，即a=e时，f'(x)≥0，f(x)单调递增.解当ln

a>1，即a>e时，当x∈(1，ln

a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(-∞，1)或x∈(ln

a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.综上，当a≤0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln

a，1)上单调递减，在(-∞，ln

a)和(1，+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1，ln

a)上单调递减，在(-∞，1)和(ln

a，+∞)上单调递增.解(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制.(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论.(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.规律方法跟踪演练2

(2025·北京模拟)已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2.(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

解(2)当a=-2时，讨论函数f(x)的单调性.

解返回考点三单调性的简单应用1.函数f(x)在区间I上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈I上恒成立.2.函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈I上有解.

例3√

解析

√

解析利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.规律方法

√

解析

√

解析返回专题突破练对一对答案123456789101112题号12345678答案BCACCAACDAD题号910答案(-∞，-1)∪(1，+∞)1答案12345678910111211.

答案12345678910111211.

答案12345678910111212.

答案12345678910111212.

一、单项选择题1.(2025·白银模拟)如果质点按规律s(t)=2t2-t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在2s末的瞬时速度为A.8m/s B.7m/s C.6m/s D.5m/s√123456789101112答案

解析12345678

√9101112答案

解析

√123456789101112答案

解析12345678

√9101112答案

解析5.(2025·西安模拟)函数f(x)的大致图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则f'(x)f(x)>0的解集为A.(-∞，0)∪(1，3) B.(1，3)C.(0，1)∪(3，+∞) D.(-∞，0)∪(3，+∞)√123456789101112答案123456789101112答案由函数f(x)的图象可知，当x∈(-∞，0)和x∈(3，+∞)时，f(x)<0；当x∈(0，3)时，f(x)>0.又由图象可知，当x∈(-∞，1)时，函数f(x)单调递增，则f'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，函数f(x)单调递减，则f'(x)<0，所以f'(x)f(x)>0的解集为(0，1)∪(3，+∞).解析123456789101112答案

√123456789101112答案

解析123456789101112答案

√√√123456789101112答案

解析123456789101112答案8.(2025·周口模拟)过点A(a，0)的曲线y=(1-x)ex的切线有2条，则a的值可能是

A.-5 B.-3 C.1

D.3√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

(-∞，-1)∪(1，+∞)求导可得f'(x)=x2-2ax+1，由题意，f'(x)=x2-2ax+1<0有解，所以只需Δ=4a2-4>0，解得a>1或a<-1，故实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞).解析123456789101112答案

1123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案四、解答题11.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=aex+x(a∈R).(1)若f(x)在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；由f'(x)=aex+1，由题意可知，f'(0)=a+1=2⇒a=1，f(0)=1，将切点(0，1)代入切线方程，得b=1.解123456789101112答案(2)讨论f(x)的单调性.123456789101112答案

解123456789101112答案12.(2025·海口模拟)已知函数f(x)=ax-xlnx的图象在x=1处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求函数f(x)的单调区间；123456789101112答案f(x)=ax-xln

x的导数为f'(x)=a-1-ln

x，可得f(x)的图象在A(1，f(1))处的切线斜率为a-1，由切线与直线