第二讲 等差数列 讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性第二册

第二讲等差数列【知识梳理】1．等差数列、等差中项的概念等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b2．等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．(2)第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝eq\f(an－am,n－m)．3．等差数列的性质(1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(2)在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…．(3)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．4．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)5．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为eq\f(d,2)．(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)．(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)．6．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．【典例精析】题型一：等差数列及等差中项的概念【例1】(1)下列说法正确的是()A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列B．若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差(2)已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别是________．【方法技巧】(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒．(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”．(4)常数列都是等差数列，公差为0．【变式训练】1．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________．2．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．题型二：等差数列的通项公式及相关计算【例2】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；【方法技巧】等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【变式训练】1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．22．在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，则a16＝()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)3．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________．题型三等差数列的判定【例3-1】(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列．(2)已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．(3)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式．【例3-2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由．【方法技巧】(1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列．②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可．【变式训练】1．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A．eq\f(25,9)B．eq\f(26,9)C．3D．eq\f(28,9)2．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，则a7＝________．3．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．4．已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．5．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．题型四：等差数列性质的应用【例4】(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．【方法技巧】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．【变式训练】1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．2．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．3．在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq\f(1,5)a4＝________．题型五：等差数列前n项和公式的基本运算【例5】在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n．【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值．(2)利用等差数列的性质解题．【变式训练】1．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2018，S6－2S3＝18，则S2020＝()A．－2018 B．2018C．2019 D．20202．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)求数列的前n项和Tn．题型六：等差数列前n项和性质的应用【例6】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．【方法技巧】等差数列前n项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，设法求出整体a1＋an，再代入求解．(2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用eq\f(Sn,n)是关于n的一次函数，设eq\f(Sn,n)＝an＋b(a≠0)进行计算．(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．【变式训练】1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于()A．36 B．18C．72 D．92．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果eq\f(Sn,Sn′)＝eq\f(7n＋1,4n＋27)(n∈N*)，则eq\f(a11,b11)的值是()A．eq\f(7,4) B．eq\f(3,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(78,71)题型七：求数列{|an|}的前n项和【例7】若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．【方法技巧】已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【变式训练】1．已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn．题型八：等差数列前n项和最值问题【例8】(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是()A．d<0 B．S2＝S5C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值时，n＝3(2)在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．【方法技巧】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值．①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值)．【变式训练】1．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是()A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值2．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{eq\r(Sn)}也为等差数列，则eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是________．【巩固练习】1．在等差数列{an}中，a2＋a6＝3，a3＋a7＝7，则公差d＝()A．1 B．2C．3 D．42．在等差数列{an}中，已知a1＝1，d＝3，若an＝295，则项数n等于()A．96 B．99C．100 D．1013．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋2(n>1)，则a5的值()A．9 B．10C．11 D．124．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8 B．4C．6 D．125．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为()A．24 B．36C．48 D．606．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，则a4＝()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个8．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为()A．6 B．7C．8 D．99．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有()A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0C．当d>0时，a10＋a22>0 D．当d<0时，|a10|>|a22|10．已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________．11．已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,2)＝36，则a11的值为________．12．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．13．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n,3n＋1)，则eq\f(a5,b5)＝________．14．若数列{an}是正项数列，且eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋…＋eq\f(an,n＋1)＝________．15．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．16．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16．(1)求n为何值时，Sn取得最大值；(2)求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；(3)求数列{|an|}的前n项和Tn．

第二讲等差数列【知识梳理】1．等差数列、等差中项的概念等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b2．等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．(2)第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝eq\f(an－am,n－m)．3．等差数列的性质(1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(2)在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…．(3)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．4．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)5．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为eq\f(d,2)．(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)．(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)．6．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．【典例精析】题型一：等差数列及等差中项的概念【例1】(1)下列说法正确的是()A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列B．若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列C．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D．等差数列的公差是该数列中任意两项的差A解析：对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，所以A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B错误；对于C，公差d可以等于0，所以C错误；对于D，应为相邻两项．(2)已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别是________．5，－1，－4解析：依据等差中项的定义，且8，a，2是等差数列，得2a＝8＋2，解得a＝5．①由a，2，b是等差数列，得2×2＝a＋b，②同理，由2，b，c是等差数列，得2b＝2＋c．③①②③联立，解得b＝－1，c＝－4．【方法技巧】(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒．(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”．(4)常数列都是等差数列，公差为0．【变式训练】1．若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________．0解析：∵{an}是等差数列，∴an＋1－an＝常数，∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常数，∴2a＝0，∴a＝0．2．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．3解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8．由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10．两式相加，得m＋n＝6，所以m与n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3．题型二：等差数列的通项公式及相关计算【例2】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；解(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29．(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10．(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3．【方法技巧】等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【变式训练】1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．2解析由条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2（a1＋3d）＝－1，,a1＋2d＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))答案B2．在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，则a16＝()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)解析因为当n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，所以是以eq\f(1,3)为首项，以eq\f(1,5)为公差的等差数列，故eq\f(1,a16)＝eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,5)＝eq\f(10,3)，故a16＝eq\f(3,10)．答案B3．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________．20解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＝2＋a3，,2×\f(a\o\al(2,2),2)＝4＋\f(a\o\al(2,3),3)，))∴3aeq\o\al(2,2)＝12＋aeq\o\al(2,3)＝12＋(2a2－2)2，∴aeq\o\al(2,2)－8a2＋16＝0，∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a10＝a1＋9d＝20．题型三等差数列的判定【例3-1】(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列．证明因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d．从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列．(2)已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1．又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，所以数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，1为公差的等差数列．(3)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式．证明由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(2an＋2n＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．∴eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×1＝n．∴an＝n·2n．【例3-2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由．解(1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2)．∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2)．(2)不存在．∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16．若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0．∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列．【方法技巧】(1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列．②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可．【变式训练】1．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A．eq\f(25,9)B．eq\f(26,9)C．3D．eq\f(28,9)解析：选B令bn＝nan，则由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，∴数列{bn}是以1为首项，以2a2－a1＝3为公差的等差数列，则bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝eq\f(3n－2,n)，∴a18＝eq\f(3×18－2,18)＝eq\f(26,9)．故选B．2．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，则a7＝________．eq\r(19)解析：∵2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)，∴{aeq\o\al(2,n)}成等差数列，首项aeq\o\al(2,1)＝1，公差为aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＝3，∴aeq\o\al(2,n)＝3n－2，∴an＝eq\r(3n－2)．∴a7＝eq\r(21－2)＝eq\r(19)．3．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．－eq\f(1,2)解析：a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95，依题意得eq\f(5＋m,3)，eq\f(23＋m,32)，eq\f(95＋m,33)成等差数列，∴2·eq\f(23＋m,32)＝eq\f(5＋m,3)＋eq\f(95＋m,33)，∴m＝－eq\f(1,2)．经检验m＝－eq\f(1,2)满足题设．4．已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\f(6an－4,an＋2)－2)＝eq\f(an＋2,（6an－4）－2（an＋2）)＝eq\f(an＋2,4an－8)＝eq\f(（an－2）＋4,4（an－2）)＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,4)，得eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,4)，n∈N*，故数列是等差数列．(2)解由(1)知eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,a1－2)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n＋3,4)，所以an＝eq\f(2n＋10,n＋3)，n∈N*．5．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．(1)解：由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4．又a1＝1，所以a2＝6．由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15．(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以数列是首项为eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差数列．所以eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n．题型四：等差数列性质的应用【例4】(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．解：(1)(方法一)设{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))故a25＝a1＋24d＝4＋24×eq\f(3,2)＝40．(方法二)因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40．(方法三)因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40．(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28．(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41．【方法技巧】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．【变式训练】1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．解析3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20．2．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．解析法一由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27．法二设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27．3．在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq\f(1,5)a4＝________．解：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以eq\f(1,5)a4＝1题型五：等差数列前n项和公式的基本运算【例5】在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n．解(1)法一由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58，,a4＋a9＝2a1＋11d＝50，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.))∴S10＝10a1＋eq\f(10×（10－1）,2)d＝10×3＋eq\f(10×9,2)×4＝210．法二由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝（a1＋a10）＋4d＝58，,a4＋a9＝（a1＋a10）＋2d＝50，))∴a1＋a10＝42，∴S10＝eq\f(10（a1＋a10）,2)＝5×42＝210．(2)S7＝eq\f(7（a1＋a7）,2)＝7a4＝42，∴a4＝6．∴Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（a4＋an－3）,2)＝eq\f(n（6＋45）,2)＝510．∴n＝20．【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值．(2)利用等差数列的性质解题．【变式训练】1．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2018，S6－2S3＝18，则S2020＝()A．－2018 B．2018C．2019 D．2020解析设等差数列{an}的公差为d．∵a1＝－2018，S6－2S3＝18，∴6a1＋eq\f(6×5,2)·d－6a1－2×eq\f(3×2,2)·d＝18，整理可得9d＝18，解得d＝2．则S2020＝2020×(－2018)＋eq\f(2020×2019,2)×2＝2020．故选D．2．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)求数列的前n项和Tn．解：(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d＝6，,8a1＋\f(8×7,2)d＝－4.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝6，,8a1＋28d＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))所以Sn＝3n＋×(－1)＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(7,2)n．(2)由(1)，得eq\f(Sn,n)＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(7,2)，所以eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝－eq\f(1,2)(n＋1)＋eq\f(7,2)－＝－eq\f(1,2)，即数列是首项为eq\f(S1,1)＝3，公差为－eq\f(1,2)的等差数列，故Tn＝3n＋×－eq\f(1,4)n2＋eq\f(13,4)n．题型六：等差数列前n项和性质的应用【例6】(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．解(1)法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210．法二在等差数列中，eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差数列，∴eq\f(2S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m)．即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210．(2)eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(1,2)（a1＋a9）,\f(1,2)（b1＋b9）)＝eq\f(\f(9（a1＋a9）,2),\f(9（b1＋b9）,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12)．【方法技巧】等差数列前n项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，设法求出整体a1＋an，再代入求解．(2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用eq\f(Sn,n)是关于n的一次函数，设eq\f(Sn,n)＝an＋b(a≠0)进行计算．(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．【变式训练】1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于()A．36 B．18C．72 D．9解析由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝eq\f(6×（－6＋18）,2)＝36．答案A2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果eq\f(Sn,Sn′)＝eq\f(7n＋1,4n＋27)(n∈N*)，则eq\f(a11,b11)的值是()A．eq\f(7,4) B．eq\f(3,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(78,71)解析由等差数列前n项和的性质，得eq\f(a11,b11)＝eq\f(2a11,2b11)＝eq\f(a1＋a21,b1＋b21)＝eq\f(\f(21,2)（a1＋a21）,\f(21,2)（b1＋b21）)＝eq\f(S21,S21′)＝eq\f(7×21＋1,4×21＋27)＝eq\f(4,3)．答案C题型七：求数列{|an|}的前n项和【例7】若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n．当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(（13＋1）×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n．∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))【方法技巧】已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【变式训练】1．已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn．解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2＝16，S4＝24，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋\f(2×1,2)d＝16，,4a1＋\f(4×3,2)d＝24.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝16，,2a1＋3d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．由an≥0，解得n≤5eq\f(1,2)，则①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n．②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5且n∈N*，,n2－10n＋50，n≥6且n∈N*.))题型八：等差数列前n项和最值问题【例8】(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是()A．d<0 B．S2＝S5C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值时，n＝3(2)在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．[解析](1)选AB．因为数列{an}是等差数列，所以S9＝a5＋a12⇒9a1＋36d＝2a1＋15d⇒a1＝－3d．对于A：因为a1>0，所以d<0，故A对．对于B：S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝－5d，S5＝－5d，故B对．对于C:|a9|＝|a1＋8d|＝eq\f(5,3)|a1|，因此|a1|<|a9|，故C错误．对于D：Sn＝eq\f(d,2)n2－eq\f(7d,2)n，当n＝eq\f(7,2)时Sn取到最大值，因为n∈N*，所以n＝3或4，故D错误．(2)设等差数列{an}的公差为d．法一：通项法由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋1＋15≤0，))解得eq\f(13,2)≤n≤eq\f(15,2)．因为n∈N*，所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝eq\f(7×13－2×7＋15,2)＝49．法二：二次函数法由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15．所以Sn＝eq\f(n13＋15－2n,2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49．[答案](1)BCD(2)49[方法技巧]求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值．①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值)．【变式训练】1．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是()A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：选ABD由{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，a7＋a8＝S8－S6<0，则数列{an}为递减数列，即选项A、B正确；由S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)<0，得S9<S5，即选项C错误；由a1>a2>…>a6>a7＝0>a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选A、B、D．2．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{eq\r(Sn)}也为等差数列，则eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是________．解析：设数列{an}的公差为d，依题意得2eq\r(S2)＝eq\r(S1)＋eq\r(S3)，∴2eq\r(2a1＋d)＝eq\r(a1)＋eq\r(3a1＋3d)，把a1＝1代入求得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2，∴eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))＝eq\f(n＋102,2n－12)＝＝＝eq\f(1,4)≤121．∴eq\f(Sn＋10,a\o\al(2,n))的最大值是121．答案：121题型九：等差数列求和的实际应用【例9】7月份，有一新款服装投入某市场．7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件．(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？解(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件．由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak＝3＋3（k－1），,ak－2（31－k）＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝13，,ak＝39，))∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件．(2)设Sn是数列{an}的前n项和，∵an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n，1≤n≤13，,65－2n，14≤n≤31，))∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(（3＋3n）n,2)，1≤n≤13，,273＋（51－n）（n－13），14≤n≤31.))∵S13＝273>200，∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)．【方法技巧】应用等差数列解决实际问题的一般思路：【变式训练】1．某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40．从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10．(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400．从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390．(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝eq\f(10×（40＋400）,2)＝2200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝eq\f(20×（390＋200）,2)＝5900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人)．【巩固练习】1．在等差数列{an}中，a2＋a6＝3，a3＋a7＝7，则公差d＝()A．1 B．2C．3 D．4B解析：a2＋a6＋2d＝a3＋a7＝7，即3＋2d＝7，所以d＝eq\f(7－3,2)＝2．2．在等差数列{an}中，已知a1＝1，d＝3，若an＝295，则项数n等于()A．96 B．99C．100 D．101B解析：等差数列{an}中，∵a1＝1，d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，．由an＝295，则3n－2＝295，解得n＝99，故选B．3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋2(n>1)，则a5的值()A．9 B．10C．11 D．12C解析：∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2，{an}为等差数列，d＝2，a5＝a1＋4d＝3＋8＝11．故选C．4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8 B．4C．6 D．12A解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8．∴m＝8．5．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为()A．24 B．36C．48 D．60C解析：设等差数列的公差为d，因为a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，由等差数列的性质得a9＝24，所以3a12－a18＝3(a1＋11d)－(a1＋17d)＝2a1＋16d＝2(a1＋8d)＝2a9＝48．故选C．6．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，则a4＝()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)A解析：依题意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，故数列是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)为首项，eq\f(1,3)为公差的等差数列，则eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，所以a4＝eq\f(3,4)．7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个D解析：∵eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)．当n＋1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，eq\f(an,bn)是整数．8．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．设前k项和最大，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3（k＋1）≤0，))即eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3)．因为k∈N*，所以k＝7．故满足条件的n的值为7．答案B9．(多选)设d，Sn分别为等差数