初中数学联合竞赛试卷

初中数学联合竞赛试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：初中二年级

初中数学联合竞赛试卷

一、选择题

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(1,0)，且对称轴为x=-2，则f(0)的值为

A.-4

B.-2

C.2

D.4

2.已知方程x^2-mx+1=0的两个实根之积为3，则m的值为

A.±2√3

B.±√3

C.±4

D.±√6

3.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，BC=6，则AB的长度为

A.2√3

B.3√2

C.4√3

D.6√2

4.若实数x满足x^2+2x-3=0，则x^2+4x+3的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知点P(a,b)在直线y=-x+3上，则点P关于原点对称的点的坐标为

A.(a,b)

B.(-a,-b)

C.(b,a)

D.(-b,-a)

6.在一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，每次从中摸出一个球，摸出红球的概率为

A.1/2

B.3/8

C.5/8

D.3/5

7.若函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为k，则k的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a^2+b^2=c^2，则∠C的度数为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，则S_5的值为

A.31

B.32

C.33

D.34

10.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，且r>d，则直线l与圆O的位置关系为

A.相交

B.相切

C.相离

D.重合

二、填空题

1.若方程2x^2-mx+3=0的一个根为1，则另一个根为________。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴对称的点的坐标为________。

3.若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其面积为________。

4.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为________。

5.若实数x满足x^2-3x+2=0，则1/x+1/(x-1)的值为________。

6.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和白球，已知红球的数量是白球数量的2倍，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率为2/3，则袋中共有________个球。

7.已知点P(a,b)在直线y=2x-1上，则点P关于x轴对称的点的坐标为________。

8.若函数g(x)=|x-1|-|x+1|，则g(x)的最大值为________。

9.在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=6，则AB的长度为________。

10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=a_{n-1}+3(n≥2)，则S_4的值为________。

三、多选题

1.下列函数中，图象经过原点的有

A.y=2x-1

B.y=x^2-1

C.y=√x

D.y=-x^2+x

2.下列不等式成立的有

A.-2<-1

B.3^2>2^2

C.(-3)^2<(-2)^2

D.1/2<2/3

3.下列命题中，真命题有

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.有两边相等的三角形是等腰三角形

C.直角三角形的斜边中点到三个顶点的距离相等

D.一元二次方程总有两个实根

4.下列函数中，在定义域内是增函数的有

A.y=x^3

B.y=-2x+1

C.y=1/x

D.y=|x|

5.下列关于圆的命题中，正确的是

A.半径相等的两个圆是等圆

B.过圆心且垂直于弦的直线平分弦

C.圆心到弦的距离等于弦的一半

D.垂直于弦的直线必过圆心

四、判断题

1.若a>b，则a^2>b^2

2.方程x^2+4x+4=0有两个相等的实根

3.在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C

4.函数y=|x|在(-∞,0)上是减函数

5.若m为实数，则方程x^2+mx+1=0总有两个实根

6.周长为12的等边三角形面积为36√3

7.相似三角形的对应角相等

8.一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b^2-4ac

9.若A(1,2)，B(3,4)，则|AB|=2√2

10.圆的直径是过圆上任意两点的线段

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^2-mx+1，若f(1)=0，求f(2)的值。

2.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，求AB的长度。

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_1=1，a_n=a_{n-1}+2(n≥2)，求S_5的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D

解析：由对称轴x=-2可得-b/2a=-2，即b=4a。又f(1)=a(1)^2+b(1)+c=0，即a+b+c=0。代入b=4a得5a+c=0，即c=-5a。f(0)=c=-5a，由b=4a得a=1，b=4，c=-5，故f(0)=-5。

2.A

解析：设方程两根为x₁，x₂，则x₁x₂=3。由韦达定理x₁+x₂=m，x₁x₂=1。故3=1，矛盾，应改为x₁x₂=3，则m=±2√3。

3.C

解析：由正弦定理AB/sinB=BC/sinA，得AB=BC·sinB/sinA=6·√3/2/√2=3√2。

4.B

解析：由x^2+2x-3=0得(x+3)(x-1)=0，故x=-3或x=1。当x=-3时，x^2+4x+3=9-12+3=0；当x=1时，x^2+4x+3=1+4+3=8。故值为1。

5.B

解析：由点P(a,b)在直线y=-x+3，得b=-a+3。点P关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)=(-a,a-3)。

6.C

解析：总球数为5+3=8。摸出红球的概率为5/8。

7.C

解析：g(x)=|x-1|+|x+1|=

{x-1+x+1=2x,x>1

{1-x+x+1=2,-1≤x≤1

{-x+1-x-1=-2x,x<-1

故最小值为2。

8.D

解析：由a^2+b^2=c^2可知△ABC为直角三角形，∠C=90°。

9.A

解析：a_2=a_1+1=2+1=3；a_3=a_2+1=3+1=4；a_4=a_3+1=4+1=5；a_5=a_4+1=5+1=6。S_5=1+3+4+5+6=19。

10.A

解析：由r>d可知直线l与圆O相交。

二、填空题答案及解析

1.3/2

解析：由2x^2-mx+3=0，若一根为1，则2(1)^2-m(1)+3=0，即2-m+3=0，得m=5。另一根为x=-b/(2a)=-3/2=3/2。

2.(-2,3)

解析：点A(2,3)关于y轴对称的点的坐标为(-2,3)。

3.6

解析：由勾股定理可知△ABC为直角三角形，直角边为3，4，故面积为1/2×3×4=6。

4.-1

解析：f(2)=(2)^2-4(2)+3=4-8+3=-1。

5.3

解析：由x^2-3x+2=0得(x-1)(x-2)=0，故x=1或x=2。当x=1时，1/x+1/(x-1)无意义；当x=2时，1/x+1/(x-1)=1/2+1/1=3/2。

6.9

解析：设白球为x个，则红球为2x个，总球数为3x个。摸出红球的概率为2x/(3x)=2/3，解得x=3，故总球数为9。

7.(a,-b)

解析：点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)。

8.2

解析：g(x)=|x-1|-|x+1|=

{x-1-x-1=-2,x<-1

{1-x-x-1=-2x,-1≤x≤1

{x-1-x-1=-2,x>1

故最大值为2。

9.2√3

解析：由正弦定理AB/sinC=BC/sinA，得AB=BC·sinC/sinA=6·sin45°/sin30°=6·√2/2/1/2=6√2/2=3√2。

10.20

解析：a_2=a_1+3=2+3=5；a_3=a_2+3=5+3=8；a_4=a_3+3=8+3=11。S_4=2+5+8+11=26。

三、多选题答案及解析

1.A,D

解析：y=2x-1过(0,-1)，不经过原点；y=x^2-1过(0,-1)，不经过原点；y=√x过(0,0)，经过原点；y=-x^2+x=x(1-x)，过(0,0)，经过原点。

2.A,B,D

解析：-2<-1成立；3^2=9>2^2=4成立；(-3)^2=9>(-2)^2=4，不成立；1/2=0.5<2/3≈0.666成立。

3.A,B,C

解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，真命题；有两边相等的三角形是等腰三角形，真命题；直角三角形的斜边中点到三个顶点的距离相等，真命题；一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b^2-4ac，与是否有实根有关，Δ≥0时有两个实根或一个实根，Δ<0时无实根，故不成立。

4.A,B

解析：y=x^3在定义域R上是增函数；y=-2x+1在定义域R上是减函数；y=1/x在(0,+∞)和(-∞,0)上都是减函数；y=|x|在(-∞,0]上是减函数，在[0,+∞)上是增函数。

5.A,B

解析：半径相等的两个圆是等圆，真命题；过圆心且垂直于弦的直线平分弦，真命题；圆心到弦的距离等于弦的一半，假命题，应为圆心到弦的距离等于弦的一半的垂直平分线的长度；垂直于弦的直线必过圆心，假命题，应为垂直于弦的直线过圆心。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：反例，如a=1，b=-2，则a^2=1>4=b^2。

2.正确

解析：Δ=4^2-4×4=16-16=0，故有两个相等的实根。

3.正确

解析：这是等腰三角形的性质定理。

4.正确

解析：y=|x|在(-∞,0)上是减函数。

5.错误

解析：当Δ=m^2-4<0，即-2<m<2时，方程无实根。

6.正确

解析：设等边三角形边长为a，则周长为3a=12，故a=4。面积S=(√3/4)a^2=(√3/4)×4^2=4√3。

7.正确

解析：这是相似三角形的性质定理。

8.正确

解析：这是根的判别式的定义。

9.正确

解析：|AB|=√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。

10.错误

解析：圆的直径是过圆心且两端都在圆上的线段。

五、问答题答案及解析

1.解：由f(1)=0得1-m+1=0，即m=2。故f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2。f(2)=(2-1)^2=1^2=1。

2.解：由∠A=60°，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°。由正弦定