八年级下学期华师大（2024）1822菱形的判定

学习目标情境引入探求新知典例铺路随堂演练课堂小结当堂检测18.2.2菱形的判定互动设计学习目标掌握菱形的三种判定方法（定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边相等的四边形）返回主页1掌握菱形的三种判定方法（定义法、对角线互相垂直的平行四边形、四条边相等的四边形），理解每种判定方法的推导依据；能熟练运用判定方法解决菱形的证明、判断问题，规范解题步骤，区分判定与性质的不同应用场景。2过动手操作、猜想验证、合作探究，经历菱形判定方法的推导过程，培养逻辑推理能力、动手实践能力和抽象概括能力，体会“逆向推导”“猜想—验证—归纳”的几何研究思路，渗透转化、数形结合的数学思想。情境引入导语：返回主页方案A：动手操作·十字木条方案B：生活情境·窗框检验导语同学们，上节课我们学习了菱形的性质，知道菱形是特殊的平行四边形，它有四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的独特性质。现在请大家思考一个实际问题：工人师傅要制作一个菱形的窗格，他手头有一根细铁丝和一些木条，如何确保制作出的图形是菱形，而不是普通的平行四边形或其他四边形？我们已经知道“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”，那么反过来，满足什么条件的平行四边形是菱形？满足什么条件的四边形是菱形？这就是我们今天要重点探究的内容ABCDABCD方案A：动手操作·十字木条用两根长短不同的木条，在它们的中点处固定，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，形成一个四边形（平行四边形）。问题1：任意转动木条，这个四边形总是什么图形？为什么？问题2：继续转动木条，当两根木条处于什么位置时，围成的平行四边形会变成菱形？学生通过观察发现：当两根木条互相垂直时，邻边相等，得到菱形。方案B：生活情境·窗框检验数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形窗框是否为菱形。四位同学提出了不同方案：学生方案评估甲测量对角线是否互相垂直乙测量两组对边是否分别相等丙测量四个角是否相等丁测量四条边是否相等问题：你认为谁的方案是正确的？为什么？互动设计探究活动一：从定义出发返回主页探究活动二：有关对角线的猜想与验证探究活动三：从四边形直接判定探究活动四：判定方法的选择探究活动一：从定义出发问题学生活动结论菱形的定义是什么？回忆：一组邻边相等的平行四边形定义即判定1定义可以作为判定方法吗？讨论：可以，这是最基本的判定判定定理1判定定理1（定义）：一组邻边相等的平行四边形是菱形。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC∴□ABCD是菱形ABCD探究活动二：有关对角线猜想与验证菱形的性质性质的逆命题（猜想）菱形的对角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角的四边形是菱形实验验证：活动1：几何画板演示-画一个平行四边形ABCD-测量对角线AC与BD的夹角-拖动点A，观察当AC⊥BD时，边的长度关系活动2：折叠验证-用矩形纸片（平行四边形的特殊情况）-沿对角线折叠，观察能否得到四边相等已知：□ABCD中，AC⊥BD，垂足为O求证：□ABCD是菱形ABCDO证明：∵□ABCD∴OA=OC，OB=OD（对角线互相平分）∵AC⊥BD∴∠AOB=∠AOD=90°在△AOB和△AOD中：OA=OA（公共边）∠AOB=∠AOD=90°OB=OD∴△AOB≅△AOD(SAS)∴AB=AD∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。关键条件：①平行四边形+②对角线垂直探究活动三：从四边形直接判定问题：如果不知道一个四边形是否是平行四边形，能否直接判定它是菱形？思路：利用”四边相等”这一特性小组讨论：-四边相等的四边形一定是平行四边形吗？-如何证明四边相等的四边形是平行四边形？证明过程：已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形证明：∵AB=CD，BC=DA∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）又∵AB=BC（邻边相等）∴四边形ABCD是菱形（定义）ABCD判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形。优势：无需先证平行四边形，直接判定探究活动四：判定方法的选择判定方法前提条件关键条件适用场景判定1（定义）平行四边形一组邻边相等已知平行四边形，证邻边相等判定2平行四边形对角线互相垂直涉及对角线垂直关系判定3四边形四边相等直接知道四边长度关系决策树：开始

│

▼

已知是平行四边形？──否──→

用判定3（证四边相等）

│是

▼

已知什么条件？

│

├─有邻边相等？──→

用判定1

│

└─对角线垂直？──→

用判定2探求新知1.菱形的判定定理返回主页2.判定与性质的关系3.常见错误辨析1.菱形的判定定理判定条件结论图示判定1平行四边形+一组邻边相等菱形边→菱形判定2平行四边形+对角线互相垂直菱形对角线→菱形判定3四边形+四边相等菱形直接判定2.判定与性质的关系

性质（已知菱形→结论）

判定（已知条件→菱形）

四边相等←────────────→四边相等→菱形（判定3）

↑↑

对角线垂直←────────────→对角线垂直+平行四边形→菱形（判定2）

↑↑

邻边相等←────────────→邻边相等+平行四边形→菱形（判定1）3.常见错误辨析错误说法错误原因正确说法对角线垂直的四边形是菱形缺少”平行四边形”前提对角线垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的四边形是菱形缺少”平行四边形”前提一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形其实正确，但可简化对角线垂直的平行四边形是菱形典例铺路例题1（基础判定）例题2（对角线判定）例题3（综合判定）例题4（尺规作图与证明）例题1（基础判定）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加一个适当的条件使□ABCD是菱形。你添加的条件是____（写出一种即可）。ABCDo解析：可选条件：1.AB=BC（定义）2.AC⊥BD（判定2）3.AB=AD（与1等价）4.AC平分∠BAD（可推出邻边相等）答案：AB=BC（或AC⊥BD等）例题2（对角线判定）题目：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。求证：四边形OCED是菱形。

例题3（综合应用判定）题目：如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。证明：∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC∴∠EDA=∠FAD（内错角相等）∴∠EAD=∠EDA∴AE=DE（等角对等边）∴四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）例题4（尺规作图）题目：已知线段AC，求作：菱形ABCD，使AC为一条对角线，（不写作法，只留痕迹）。【分析】菱形的对角线互相垂直平分。因此，只需作AC的垂直平分线，垂足为O，再在垂直平分线上截取OB=OD（且O为BD的中点），顺次连接A,B,C,D即可得到菱形ABCD。ACABCD【作法】1.作线段AC的垂直平分线MN，垂足为O；2.以O为圆心，任意长为半径（建议使OB≠OA以得到一般菱形）画弧，交MN于B、D两点（使OB=OD）；3.顺次连接A、B、C、D；4.四边形ABCD即为所求作的菱形。参考内容【证明】∵O是AC的中点，且OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；又∵MN是AC的垂直平分线，即BD⟂AC，∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。【点睛】本题考查菱形的判定及尺规作图，解题关键是利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”这一判定定理。作图时注意保证O同时是AC和BD的中点。随堂演练返回主页

随堂练1. 下列说法正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.平行四边形是菱形D.对角线相等的平行四边形是菱形1. B（解析：A选项，无“平行四边形”前提，错误；C选项，平行四边形不一定是菱形，错误；D选项，对角线相等的平行四边形是矩形，错误；B选项，符合判定方法3，正确。）

随堂练2.如图，在□ABCD中，添加下列条件仍不能判定为菱形的是（）A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.AC平分∠BADABCD解析：-A：定义，可以判定-B：判定2，可以判定-C：对角线相等→矩形，不一定是菱形-D：角平分线+平行→等腰→邻边相等，可以判定答案：C

随堂练3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC∴AD⊥BC，BD=CD（三线合一）∵CF∥BE∴∠FCD=∠EBD又∵∠FDC=∠EDB，BD=CD∴△FDC≅△EDB(ASA)∴FD=ED∵BD=CD，FD=ED∴四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分）又∵AD⊥BC，即EF⊥BC∴四边形BECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）随堂检测返回主页

随堂测1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD是斜边AB上的高，AE是角平分线，交CD于点F，FG∥AB交BC于点G，连接EG。求证：四边形CEGF是菱形。

随堂测2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF。(1)求证：AF=DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明。解答：(1)证明：∵AF∥BC∴∠AFE=∠DBE∵E是AD中点∴AE=DE又∵∠AEF=∠DEB∴△AEF≅

△DEB(AAS)∴AF=BD∵AD是中线∴BD=DC∴AF=DC

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