一次函数的图象和性质课件人教版数学八年级下册-1

23.2一次函数的图象和性质

一次函数的图象和性质（第1课时）

2．什么是函数图象？一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

1．什么是正比例函数？

一般地，形如

y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中

k叫作比例系数．

3．如何画函数图象？描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律.在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着重要的角色.我们从特殊的一次函数——正比例函数开始，利用图象研究其性质.怎样画出下列正比例函数的图象？

y＝2x；

y＝－2x．

解：（1）列表．x…－2－1012…y＝2x……y＝－2x……－4－2024420－2－4问题（2）描点．（3）连线．函数y＝2x的图象是一条经过原点和第一、第三象限的直线，从左向右上升；函数y＝－2x的图象是一条经过原点和第二、第四象限的直线，从左向右下降．x321O－1－2－3y123－1－2－3－4－5－6456y＝2xy＝－2x

2．在所作的两个图象上各取几个点，分别找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足各自的解析式．

1．满足解析式y＝2x，y＝－2x的x，y所对应的点(x，y)都在所作的函数图象上吗？函数图象上所有的点的横坐标和纵坐标都满足解析式．

满足解析式y＝2x，y＝－2x的x，y所对应的点(x，y)都在所作的函数图象上．思考函数图象上的点与解析式的关系（1）函数图象上的任意点(x，y)中的x，y都满足函数解析式；（2）满足函数解析式的任意一对x，y的值所对应的点(x，y)一定在函数的图象上．新知经过原点与点(1，k)（k是常数，k≠0）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？经过原点与点(1，k)（k是常数，k≠0）的直线是函数y＝kx的图象．问题正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线，因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过该点与原点画直线，就可以得到正比例函数的图象．正比例函数图象的简单画法因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象．一般地，过原点和点(1，k)（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y＝kx(k≠0)的图象．新知特别提醒：为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标时，都尽量取整数．

用简单的方法在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：x01y01

解：列表、描点、连线，即可得函数图象．x01y03x02y0－1x01y0－4xy123O1234（1）（2）（3）（4）y＝xy＝3xy＝－4xy＝－

x（1）y＝x；（2）y＝3x；（3）y＝－

x；（4）y＝－4x．练习－1－3－2－1－3－2－4（1）函数y＝x经过____________象限；（2）函数y＝3x经过____________象限；（3）函数y＝－

x经过____________象限；（4）函数y＝－4x经过____________象限．xy123－1－3－2O－1－3－21234－4y＝xy＝3xy＝－4xy＝－

x上述四个函数的图象分别经过哪些象限？第一、第三第一、第三第二、第四第二、第四思考上述四个函数中，随着x的增大，y分别如何变化？（1）函数y＝x中，随着x的增大，y_____；（2）函数y＝3x中，随着x的增大，y_____；（3）函数y＝－

x中，随着x的增大，y_____；（4）函数y＝－4x中，随着x的增大，y_____．增大增大减小减小思考xy123－1－3－2O－1－3－21234－4y＝xy＝3xy＝－4xy＝－

x一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即

y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即

y随x的增大而减小．新知正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x的增大，y都增大了，其中哪一个增加得更快？函数y＝3x中，x从0增加到1，y的值增加3；函数y＝x中，x从0增加到1，y的值增加1．

当k＞0时，k越大，直线越陡，相应的函数值上升越快．－1xy123－1－3－2O－3－21234－4y＝xy＝3xy＝－4xy＝－

x问题－1正比例函数y＝－4x和y＝－

x中，随着x的增大，y都减小了，其中哪一个减小得更快？

当k＜0时，k越小，直线越陡，相应的函数值下降越快．xy123O1234y＝xy＝3xy＝－4xy＝－

x函数y＝－4x中，x从0增加到1，y的值减小4；函数y＝－

x中，x从0增加到1，y的值减小．－1－3－2－3－2－4x01y＝6x06y＝－6x0－6

例1

在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝6x，y＝－6x的图象．

解：（1）各取两点，列表如下：（2）描点．（3）连线，即得y＝6x，y＝－6x的图象．

例2

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－

x的图象上的两点，下列判断中，正确的是（）．

A．y1＞y2 B．y1＜y2

C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2D

解析：∵y＝－

x，k＝－

＜0，∴y随x的增大而减小．

例3

已知正比例函数y＝(n－1)x|n|－8的图象经过第一、第三象限，求此函数的解析式．

解：∵函数y＝(n－1)x|n|－8是正比例函数，∴|n|－8＝1，即n＝±9．又∵函数图象经过第一、第三象限，∴n－1＞0，即n＞1．∴n＝9．即函数的解析式为y＝8x．观察下列动图，进一步理解正比例函数的图象和性质．观察下列动图，进一步理解正比例函数的图象和性质．观察下列动图，进一步理解正比例函数的图象和性质．正比例函数的图象和性质简单应用画法趋势位置增减性性质一次函数的图象和性质（第2课时）

1．一次函数的概念：一般地，形如

y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中

x是自变量．当

b＝0时，y＝kx＋b即

y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

2．“三步法”辨别一次函数：

（1）看形式：观察整理后的函数解析式是否符合

y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的形式；

（2）看系数：看比例系数

k是否可能等于0，对

b的取值不用考虑；

（3）下结论：确定是否为一次函数．

3．一次函数和正比例函数应满足的条件：某函数是一次函数应满足的条件为：自变量的次数为1，系数不为0．而正比例函数没有常数项这个“小尾巴”，所以某函数是正比例函数应满足的条件在“自变量的次数为1，系数不为0”的基础上，还需添加一个条件——常数项为0．

1．正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？

2．从函数解析式上看，一次函数

y＝kx＋b与正比例函数

y＝kx只差一个常数

b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？画出函数

y＝－3x与

y＝－3x＋1的图象．

解：函数

y＝－3x与

y＝－3x＋1中的自变量

x可为任意实数．列表表示几组对应值．

画出函数

y＝－3x与

y＝－3x＋1的图象．x···－1－0.500.51···y＝－3x···0－3···y＝－3x＋1···1－2···31.5－1.542.5－0.5你画出的图象与该图相同吗？问题比较这两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_______．函数

y＝－3x的图象经过原点，函数

y＝－3x＋1的图象与

y轴交于点_______，即它可以看作由直线

y＝－3x向_____平移_____个单位长度而得到．

直线

相同

(0，1)

上

1思考比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？联系上面结果，考虑一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线

y＝kx(k≠0)有什么关系．问题比较一次函数

y＝kx＋b(k≠0)与正比例函数

y＝kx(k≠0)的解析式，容易得出：一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线

y＝kx平移|b|个单位长度得到（当

b＞0时，向上平移；当

b＜0时，向下平移）．一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线

y＝kx＋b．新知

由于一次函数的图象是一条直线，因此只要确定两个点就能画出它的图象．

由一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的解析式可以得到，一次函数的图象与

x轴的交点为

，与

y轴的交点为(0，b)．新知xyO－4－3－2－11234－1－212435画出函数y＝2x＋3，y＝－x，y＝－x＋3，y＝5x－2的图象．x01y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2350－132－23y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2列表、描点、连线，得到函数图象如图．问题由这四个函数的图象联想：一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，随着x的增大，y的值分别如何变化？xyO－4－3－2－11234－1－212435y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2思考

观察前面一次函数的图象，可以发现规律：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．新知

直线y＝kx＋b的变化趋势和倾斜程度，都只由k

决定．当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升；当k＜0时，直线y＝kx＋b

从左向右下降．一般地，一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）具有如下性质：直线y＝2x＋3与直线y＝－x＋3有什么共同点？一般地，你能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值吗？两条直线与y轴相交于同一点(0，3)．xyO－4－3－2－11234－1－212435y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2思考直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标就是(0，b)，一般能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值．这四个函数的图象分别经过哪些象限？（1）函数y＝2x＋3的图象经过__________________象限；（2）函数y＝－x的图象经过___________象限；第二、第四第一、第二、第三xyO－4－3－2－11234－1－212435y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2问题（3）函数y＝－x＋3的图象经过_________________象限；（4）函数y＝5x－2的图象经过_________________象限．第一、第三、第四第一、第二、第四xyO－4－3－2－11234－1－212435y＝2x＋3y＝－xy＝－x＋3y＝5x－2这四个函数的图象分别经过哪些象限？问题如何确定一次函数y＝kx＋b

(k≠0)所经过的象限呢？y＝kx＋b(k≠0)k＞0k＜0b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0图象经过象限OxyOxyOxyOxyOxyOxy第一、二、三象限第一、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、四象限第二、三、四象限总结C

例1

下列函数中，y的值随

x值的增大而增大的函数是（）．

A．y＝－2x

B．y＝－2x＋1

C．y＝x－2

D．y＝－x－2

例2

直线

y＝3x－2可由直线

y＝3x向_____平移_____个单位长度得到，直线

y＝x＋2可由直线

y＝x－1向_____平移_____个单位长度得到．

例3

函数

y＝2x－4与

y轴的交点为__________，与x轴交于点________．

(0，－4)

(2，0)下

2

上

3

例4

画出函数

y＝2x－1与

y＝－0.5x＋1的图象．xyO1y＝2x－1y＝－0.5x＋1－11(1，1)(1，0.5)

解：列表表示当

x＝0，x＝1时两个函数的对应值．

过点(0，－1)与点(1，1)画出直线

y＝2x－1；过点(0，1)与点(1，0.5)画出直线

y＝－0.5x＋1．x01y＝2x－1－11y＝－0.5x＋110.5xyO1y＝2x－1y＝－0.5x＋1－11y＝2xy＝－0.5x

先画直线

y＝2x与

y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线

y＝2x－1与

y＝－0.5x＋1．一次函数图象的两种画法

（1）两点法：当b≠0时，一般先选取(0，b)和

两点，再描点连线．有时为了描点方便，也可取横、纵坐标都是整数的点．

（2）平移法：将直线y＝kx平移|b|个单位长度，即可得到直线y＝kx＋b．当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．

观察下列动图，进一步体会和理解一次函数的图象与性质等知识．一次函数图象性质的应用画法性质正比例函数图象平移一次函数的图象和性质（第3课时）

1．什么是一次函数？一次函数与正比例函数有什么关系？

一般地，形如

y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中

x是自变量．

当

b＝0时，y＝kx＋b即

y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

2．一次函数的图象是什么？

一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线

y＝kx＋b．

直线

y＝kx＋b可以由直线

y＝kx通过平移得到．

3．一次函数有什么性质？一次函数

y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）具有如下性质：当

k＞0时，y随

x的增大而增大；当

k＜0时，y随

x的增大而减小．

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度

v（m/s）与其下滑时间

t（s）的关系如图所示．（1）写出

v关于

t的函数解析式；（2）下滑3s

时物体的速度是多少？确定正比例函数

v＝kt的解析式需要几个条件？问题t/s321Ov/（m/s）1234564确定正比例函数

v＝kt的解析式，只需要求出

k的值．从已知条件可以列出关于

k的一元一次方程，即可求出

k．问题（1）写出

v关于

t的函数解析式；（2）下滑3s

时物体的速度是多少？t/s321Ov/（m/s）1234564

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度

v（m/s）与其下滑时间

t（s）的关系如图所示．

解：（1）设

v关于

t的函数解析式为

v＝kt(k≠0)．因为点(2，5)在图象上，所以5＝2k，解得

k＝2.5，所以

v＝2.5t．

（2）当

t＝3时，v＝2.5×3＝7.5（m/s）．t/s321Ov/（m/s）1234564先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．

已知一次函数的图象过点(2，－4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式．

分析：求一次函数

y＝kx＋b的解析式，关键是求出

k，b的值．从已知条件可以列出关于

k，b的二元一次方程组，并求出

k，b．问题

解：设这个一次函数的解析式为

y＝kx＋b(k≠0)．因为

y＝kx＋b的图象过点(2，－4)与(－3，11)，所以解这个方程组，得因此，这个一次函数的解析式为

y＝－3x+2．一设二列三解四写由于一次函数

y＝kx＋b中有

k和

b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以

k和

b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式．画一次函数的图象和用待定系数法求一次函数的解析式从两方面说明：函数解析式y＝kx＋b满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)一次函数的图象直线l选取解出画出选取

例1

已知一次函数

y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当

x＝5时，函数

y的值．

解：由题意，得解这个方程组，得这个一次函数的解析式为

y＝－3x－2．当

x＝5时，y＝－3×5－2＝－17．用待定系数法求一次函数解析式的步骤：（1）设一次函数的解析式为

y＝kx＋b(k≠0)；（2）将已知的

x，y的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数

k，b的方程组；（3）解方程组求得系数

k，b的值；（4）把

k，b的值代入所设的解析式，写出解析式．

例2

已知某一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为_____________．

解析：由图可知，直线交

x轴于点(3，0)，交

y轴于点(0，－1)，可设其解析式为y＝kx＋b(k≠0)，于是得方程组解方程组得所以这个一次函数的解析式为

．求一次函数的解析式时，关键是找出图象所经过的两点，常见的有两种类型：（1）以“数”的方式给出两点（如直接给出直线经过的两点的坐标），此时需要借助方程思想，列方程（组）求解．（2）以“形”的方式给出两点（如给出一次函数的图象），此时需要找出图象上的两点的坐标，代入解析式正确求解．在找图象上的两点时，往往优先选取图象与坐标轴的交点或坐标为整数的点．

例3

一辆汽车匀速行驶，当行驶了20km时，油箱剩余58.4L油，当行驶了50km时，油箱剩余56L油．如果油箱中剩余油量

y（L）与汽车行驶的路程

x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的解析式，并写出自变量

x的取值范围以及常数项的意义．

解：设所求一次函数的解析式为

y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，把已知的两组对应值(20，58.4)和(50，56)代入y＝kx＋b，得所以－0.08x＋60≥0，所以0≤x≤750．解方程组得这个一次函数的解析式为

y＝－0.08x＋60．因为剩余油量

y≥0，解得

x≤750．因为路程

x≥0，因为当

x＝0时，y＝60，所以常数项60代表这辆汽车行驶前油箱存油60L．在实际问题中确定函数解析式的两个关键：（1）根据实际问题确定函数类型（是一次函数还是正比例函数），并设出相应的函数解析式．（2）根据函数解析式中未知系数的个数，在实际问题中获取相等组数的自变量与函数的对应值．用待定系数法求一次函数的解析式求一次函数解析式的两种类型待定系数法的概念用待定系数法求一次函数解析式的步骤在实际问题中确定函数解析式的两个关键一次函数的图象和性质（第4课时）

1．先设出___________，再根据条件确定___________________，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．

2．由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据__________________________________________．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式．函数解析式解析式中未知的系数两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）

3．用待定系数法求一次函数解析式的步骤：（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．（2）将已知的x，y的对应值（至少两组）代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程组．（3）解方程组求得系数k，b的值．（4）把k，b的值代入所设解析式，写出解析式．

4．求一次函数的解析式时，关键是找出图象所经过的两点，常见两种类型：（1）以“数”的方式给出两点（如直接给出直线经过的两点的坐标），此时需要借助方程思想，列方程（组）求解．

（2）以“形”的方式给出两点（如给出一次函数的图象），此时需要找出图象上的两点的坐标，正确代入解析式求解．在找图象上的两点时，往往优先选取图象与坐标轴的交点或坐标为整数的点．

下面哪个图形符合“龟兔赛跑”的故事情节？符合“龟兔赛跑”故事情节的是D．x/miny/mOA兔子乌龟x/miny/mOB兔子乌龟x/miny/mOC兔子乌龟x/miny/mOD兔子乌龟

该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？从图中你能获取哪些信息？与同学交流．

该图表示的函数不是正比例函数，也不是一次函数．

从图中可以看出，

当0≤x≤5时，兔子的速度为100÷5＝20（m/min）；x/miny/mO兔子51002503530

该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？从图中你能获取哪些信息？与同学交流．

当5＜x＜30时，兔子静止不动；

当30≤x≤35时，兔子的速度为(250－100)÷(35－30)＝30（m/min）．x/miny/mO兔子51002503530

“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．

解：（1）见表格．购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元

…2.557.51012141618（1）填写下表：

“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．

分析：付款金额与种子价格相关．问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关．设购买xkg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子按5元/kg计价，其余的(x－2)kg（即超出2kg部分）种子按4元/kg（即8折）计价．因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论．（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象．

解：（2）设购买量为xkg，付款金额为y元．

当0≤x≤2时，y＝5x；当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2．

y与x的函数解析式也可合起来表示为函数图象如图．你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？（1）一次购买1.5kg种子，需付款多少元？（2）一次购买3kg种子，需付款多少元？

能由函数解析式解决问题，也能由函数图象解决问题．

由函数解析式解决问题如下：

（1）因为当0≤x≤2时，y＝5x，

所以当x＝1.5时，y＝5x＝5×1.5＝7.5（元）．

所以一次购买1.5kg种子，需付款7.5元．你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？（1）一次购买1.5kg种子，需付款多少元？（2）一次购买3kg种子，需付款多少元？

（2）因为当x＞2时，y＝4